円の任意の2弦を選んだときにそれらが交わる確率は？

1 ：１３２人目の素数さん：2018/05/01(火) 21:13:06.50 ID:nIjWQ5+3.net

お願いします。

2 ：１３２人目の素数さん：2018/05/01(火) 22:17:37.01 ID:VsseSZYp.net

２

3 ：１３２人目の素数さん：2018/05/01(火) 23:10:32.08 ID:Be837sS1.net

３

4 ：イナ ：2018/05/01(火) 23:34:52.45 ID:VWn4t1yJ.net

1/2

じゃないかな？

5 ：イナ ：2018/05/01(火) 23:38:59.82 ID:VWn4t1yJ.net

どっちかが雨に濡れて消えたり、消しゴムが滑って消したりすることもあるだろ。
‖￣￣‖￣￣ ／■＼￣/
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（　(`)(^o^))つц~丿┃
（っ[￣]っц)　γ　)┃
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□/_UU_＿UU□､‖／＼┃＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿限りなく1/2に近い1/2未満。前>>4

6 ：１３２人目の素数さん：2018/05/01(火) 23:53:14.27 ID:p2IaVO1G.net

その確率は弦の集合にどういう測度を入れるかに依存する

7 ：１３２人目の素数さん：2018/05/02(水) 00:27:01.89 ID:OMSs1I9c.net

一様分布なら1/3

8 ：１３２人目の素数さん：2018/05/02(水) 00:51:17.25 ID:mJGWQQsb.net

>>7

円周上に４点を選び、順に A,B,C,D とする。
どう選んでも、弦の配置が３とおり可能で
　交わらない　…　2とおり（AB+CD、AD+BC)
　交わる　…　１とおり（AC+BD）

（4点とも同じ分布に従うとする）

9 ：１３２人目の素数さん：2018/05/02(水) 18:20:55.38 ID:oGWKC96S.net

>>7
> 一様分布なら1/3

だからその「一様」というのはどういう計量についての一様性なのかという事柄に確率は依存するんだよ

10 ：１３２人目の素数さん：2018/05/03(木) 02:27:34.07 ID:CZ0Fa01r.net

>>8

4点とも同じ分布なら（任意の分布で）OK
4点に相関があっても完全対称ならOK
かな

11 ：１３２人目の素数さん：2018/05/03(木) 05:00:46.00 ID:yXlJeHv9.net

>>8
分布が完全対称ってなんですか？

12 ：１３２人目の素数さん：2018/05/03(木) 05:10:46.24 ID:yXlJeHv9.net

>>8

任意のS_1上の区間I,J,K,Lについて

P(p_1∈I_1,p_2∈I_2,p_3∈I_3,p_4∈I_4)
=P(p_1∈I_2,p_2∈I_1,p_3∈I_3,p_4∈I_4)
=P(p_1∈I_3,p_2∈I_2,p_3∈I_1,p_4∈I_4)
=P(p_1∈I_1,p_2∈I_2,p_3∈I_3,p_4∈I_1)

かな？なら成立しますね。

13 ：１３２人目の素数さん：2018/05/03(木) 13:12:53.45 ID:i2deuK8x.net

任意なら100%やな

14 ：１３２人目の素数さん：2018/05/03(木) 13:24:32.71 ID:4YhlTbJU.net

弦の元になる直線が、位置と方向について一様ならどうだ

15 ：１３２人目の素数さん：2018/05/03(木) 13:50:51.14 ID:Y4g/yVBF.net

位置について一様な確率測度なんか存在せんやろ？

16 ：１３２人目の素数さん：2018/05/03(木) 15:54:58.78 ID:UrgENH9E.net

弦の中点が円の（周と中心を除く）内部において一様に分布する、ならあるだろうな。
さらに、その中点の選び方が、中心と中点を結んだベクトルの方向と大きさをそれぞれ
独立な一様分布で選ぶと、また別な議論になる。

ベルトランのパラドックスでよく出てくるやつ。

17 ：１３２人目の素数さん：2018/05/03(木) 17:52:31.42 ID:EUchk2o2.net

円周上の点なら[0, 2π]の一様分布でいいのでは？
0と2πは同じ点になるけど測度0なので無視

18 ：１３２人目の素数さん：2018/05/03(木) 20:54:24.56 ID:PQNVo0sN.net

ぶっちゃけどんな分布とっても大して面白くなりそうもないなぁ

19 ：１３２人目の素数さん：2018/05/03(木) 23:17:36.50 ID:UrgENH9E.net

弦の中心が円内に一様に分布するような確率分布を考えると、
問題はそんなに単純ではなくなってそれなりに面白いと思うが。

問題：
点Oを中心とする半径1の円の，Oを通らない２本の弦l1とl2を考える。
l1の中心をP，l2の中心をQとし、OP=r（0<r<1）とする。
l1とl2が交わっているとき，Pを定点とみなした場合のQの動きうる領域を図示し，
その面積を求めよ。
（逆三角関数を使ってよい）

20 ：１３２人目の素数さん：2018/05/04(金) 00:17:08.99 ID:9zRvuNhR.net

>>23

l1の端点の一方と円の中心を直径とする半径1/2の円２つの排他的論理和？

21 ：１３２人目の素数さん：2018/05/04(金) 02:13:19.01 ID:vWuMJwe/.net

>>20
その通りだと思います。
で、その面積は(1/2)(π+r√(1-r^2)-arcsin(r))　（計算ミスがなければ）
となり、それを円の面積πで割ったものがPを固定した時の弦同士が交わる確率。
あとは、Pを円内の一様分布としたときのrの確率分布を考えて
その確率分布で重み付けしてPを固定した時の確率を積分したものが
この設定での弦が交わる確率となります。

22 ：１３２人目の素数さん：2018/05/04(金) 02:38:22.31 ID:vWuMJwe/.net

>>21 計算違った。
誤：(1/2)(π+r√(1-r^2)-arcsin(r))
正：π/2+r√(1-r^2)-arcsin(r)

23 ：１３２人目の素数さん：2018/05/04(金) 02:45:23.97 ID:vWuMJwe/.net

それで、確率変数rの確率密度関数はf(r)=2rとなるので
求める確率は
∫[0〜1]2r(π/2+r√(1-r^2)-arcsin(r))/πdr = 3/8
となるようです。

周上に４点を独立に一様分布として取った場合の確率（=1/3）とは、
当然異なる結果となりました。

24 ：１３２人目の素数さん：2018/05/04(金) 11:03:20.47 ID:BIeZ36gV.net

正n角の場合の極限と一致すればいいのでは

25 ：１３２人目の素数さん：2018/05/04(金) 18:10:59.20 ID:5luOZIgf.net

これ問題の設定が不十分だから答えが何通りもあるやつじゃね？

26 ：１３２人目の素数さん：2018/05/04(金) 20:20:34.86 ID:KGgH0rWt.net

院試とかだと問題の設定をわざと曖昧にして学生に仮定を立てるところから解答させることがあるね

27 ：１３２人目の素数さん：2018/05/04(金) 23:39:31.96 ID:3hdq6jse.net

>>23

OP=r も OQ も0に近いときは（相対角にもよるが）ほとんどの場合に交叉する。
一方、OP=r または OQが１に近いときは、めったに交叉しない。
OP と OQ には正の相関があり、交叉確率は（独立分布の）1/3 より大きい。

28 ：￥ ：2018/05/07(月) 05:45:37.11 ID:EWP32cBY.net

￥

29 ：￥ ：2018/05/07(月) 05:45:59.78 ID:EWP32cBY.net

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30 ：￥ ：2018/05/07(月) 05:46:19.80 ID:EWP32cBY.net

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31 ：￥ ：2018/05/07(月) 05:46:40.12 ID:EWP32cBY.net

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32 ：￥ ：2018/05/07(月) 05:47:00.02 ID:EWP32cBY.net

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33 ：￥ ：2018/05/07(月) 05:47:16.83 ID:EWP32cBY.net

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34 ：￥ ：2018/05/07(月) 05:47:30.37 ID:EWP32cBY.net

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35 ：￥ ：2018/05/07(月) 05:47:50.23 ID:EWP32cBY.net

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36 ：￥ ：2018/05/07(月) 05:48:10.09 ID:EWP32cBY.net

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37 ：￥ ：2018/05/07(月) 05:48:29.77 ID:EWP32cBY.net

￥

38 ：１３２人目の素数さん：2018/05/07(月) 12:48:03.30 ID:SWI/sRCA.net

惨めな奴

39 ：１３２人目の素数さん：2018/05/08(火) 10:57:59.73 ID:Hp4/C/NR.net

my備忘録。
>>23の別解。２弦の中点をP,QとしてP=O,P=Qの場合は無視。
極座標P(r,α),Q(s,β)を
0＜r,s≦1,-π≦α,β≦π
であるように選ぶ。
測度はrs/(π^2)drdsdαdβ、∠POQはmin{|α-β|,π-|α-β|}、２弦が交差する条件は
|Acos(r) - Acos(s)| < ∠POQ < |Acos(r) + Acos(s)|。
r,sを固定してこの条件をみたすαβ平面上の領域は４つの台形になってその面積の和は
8πmin{Acos(r),Acos(s)}。
よって求める確率は
∫[0＜r,s≦1] 8πmin{Acos(r),Acos(s)} rs/(π^2) drds
=∫[0＜s≦r≦1] (16/π)Acos(r) rs drds
=∫[0＜r≦1] (8π)Acos(r) r^3 dr
=3/8。

40 ：１３２人目の素数さん：2018/05/10(木) 17:57:12.96 ID:xWcobH06.net

>>14
弦を円周上の2点の定めるものとし
点の分布が円周上で一様(均一)なら
1/3

41 ：１３２人目の素数さん：2020/04/17(金) 04:12:14 ID:58v3uiCb.net

真田重雄は何年地獄にいるのかな

42 ：イナ ：2020/04/17(金) 10:16:34.72 ID:UUkt12DA.net

前>>5訂正。
1/3
∵円周上に4点A,B,C,Dをとるとそれらを結んだ弦は、
AB,CDまたはAC,BDまたはAD,BCの3通り。
このうち2通りは弦がたがいに交わらないが、1通りは弦がたがいに交わる。

43 ：盗聴盗撮犯罪者・色川高志が嫌がらせをしつこく継続：2021/03/30(火) 11:58:36.23 ID:mvMvg5Js.net

色川高志（葛飾区青戸６−２３−２１ハイツニュー青戸１０３）
●色川高志「高添沼田の息子の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」
龍神連合五代目総長・高添沼田の息子（葛飾区青戸６−２６−６）の挑発
●高添沼田の息子「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合五代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!　糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)

492盗聴盗撮犯罪者色川高志（青戸６−２３−２１ハイツニュー青戸１０３2021/02/03(水) 13:53:22.55ID:QtP78E4Z
●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父の逮捕を要請します」
色川高志（盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6−23−21ハイツニュー青戸103
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父
高添沼田ハゲエロ老義父の住所＝東京都葛飾区青戸6−26−６
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19　�рO３ー３６０７ー０１１０

盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6−23−19）の
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アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父によりバスタ

44 ：１３２人目の素数さん：2021/06/01(火) 13:43:08.65 ID:0Wr4OfGm.net

円を描いた地面に棒を投げて弦を作れたら採用する方式
(ベルトランのパラドックスでは確率が1/2になる)で2弦を引いた時に
それらが交わる確率は1/4になったけど、合っているだろうか？

45 ：１３２人目の素数さん：2021/06/03(木) 18:54:15.53 ID:EteFXdCh.net

暗算で計算できなかった