チェバの定理なんやけど

1 ：１３２人目の素数さん：2017/09/27(水) 22:43:04.57 ID:0bz6qyd+.net

なんであの辺の分数3つを掛けるんですか？
誰か教えてください

2 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 07:14:04.60 ID:2Z6uP7V/.net

https://i.imgur.com/mbGqZVn.gif

3 ：１３２人目の素数さん：2017/10/18(水) 00:24:03.53 ID:2C2xD84x.net

まあチェバの証明する時に比を使うんだけど、それらを掛け合わせたら1になる。それは研究者の功績、もしくは偶然発見されたものだからなぜ掛け合わせたのかは試行錯誤の末なんじゃないか？

4 ：￥ ：2017/10/23(月) 18:32:12.73 ID:Dl6USvMt.net

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14 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 21:11:17.12 ID:gv7sXAuh.net

公式を暗記するだけのアホを判別するために、
全ての入試問題で基礎的な定理の証明を問題として出題すべきだ。

15 ：１３２人目の素数さん：2020/02/10(月) 06:27:11 ID:esjbRF9d.net

△ABCに対し、同じ平面上の点Pからその3辺BC,CA,ABまたは延長上に引いた垂線の足(垂線と辺との交点)を D,E,F とする。
3直線AD,BE,CFが同一点で交わるとき、点Pを垂足チェヴァ点と呼ぶことにする。

チェヴァの定理より
　Pが垂足チェヴァ点　　⇔　　f(P)=1
ここに
　f(P) = (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB),
ただし3点 D,E,F は上記のように定める。

〔補題〕
　P(≠O)が垂足チェヴァ点ならば、外心Oに関してPと対称な点P~も垂足チェヴァ点である。

初等幾何学ってなに.99-100
【数セミ】エレガントな解答をもとむ3-550

16 ：１３２人目の素数さん：2020/02/10(月) 06:29:23 ID:esjbRF9d.net

(略証)
　まず Oは△ABCの外心だから、OA=OB=OC
　ΔOBC, ΔOCA, ΔOAB は二等辺三角形。
　外心Oから辺BCに引いた垂線の足Lは、辺BCの中点。
　次に P,O,P~ から直線BCに引いた垂線の足を D,L,D~ とする。
　PD // OL // P~D~
　中点連結定理から、DD~ の中点も L
　BD=D~C,　BD~=DC
　(BD/DC)(BD~/D~C) = 1,
他の二辺についても同様だから掛け合わせて
　f(P)f(P~) = 1,
　f(P) = 1　⇔　f(P~) = 1.
言い換えれば、垂足チェヴァ点Pの軌跡は 外心Oに関して対称である。(終)

17 ：１３２人目の素数さん：2020/02/10(月) 06:53:39 ID:esjbRF9d.net

〔チェヴァの定理〕
直線BC上に点D、直線CA上に点E、直線AB上に点Fがあるとする。
3直線 AD、BE、CF が一点で交わるとき
　(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB) = 1
ただし、左辺の各項は有向比とする。

(略証)
3直線AD, BE, CFが一点Qで交わるとき
　(BD/DC) = △ABQ/△AQC、
　(CE/EA) = △BCQ/△BQA
　(AF/FB) = △CAQ/△CQB
辺々掛ける。(終)