小学校のかけ算順序問題×15

１３２人目の素数さん

さて、「量」を群環 R[G] の元と考えた場合に、
群 G が有限生成であれば、
G の一組の生成元 {u1,u2,u3,…} を固定して
G の元を一般に (u1^n1)(u2^n2)(u3^n3)…
と書くことができる。

次元解析の言葉は混乱していて、
u=(u1^n1)(u2^n2)(u3^n3)… に関して
分解式 (u1^n1)(u2^n2)(u3^n3)… 自体を
「uの次元」と呼ぶ場合と、
指数の組 (n1,n2,n3,…) のほうを
「uの次元」と呼ぶ場合がある。

「無次元の量」という場合の「次元」は後者で、
(n1,n2,n3,…)=(0,0,0,…) と 0 が現れることを
「無」と表現している。
「無次元の量」には、無次元の単位 1　が付いている。

「次元1の量」という場合の「次元」は前者で、
(u1^n1)(u2^n2)(u3^n3)…=1 であることを言っている。
これは「単位１を持つ量」と呼んだほうが
おそらく混乱が少ない。こう書けば、
「無次元の量」と「単位１を持つ量」とが
同じ「次元」の量であることはすぐ判る。

「次元1^0の量」と「次元1^1の量」は更にダメで、
生成系 {u1,u2,u3,…} の中に G の単位元 1 を
含めてしまっている。単位 u が
u=(u1^n1)(u2^n2)(u3^n3)… と表されるとき、
例えば u1=1 としてしまうと、n1 が一意でなく、
次元解析ができなくなってしまう。