小学校のかけ算順序問題×15

201 ：１３２人目の素数さん：2017/01/27(金) 19:10:33.08 ID:+jkoSge4.net

>>197
>>182の集合 A＝{0,1,..,3} も算数の議論をしているときに挙げられていることから、
加減乗除の演算について考えればよい訳だ。>>182で挙げられた加法の二項演算+についての加算表は、
算数の話で挙げられている。だから、文脈によっては標数2と考えているとも標数0として考えている
とも読み取れる。加算表から、A＝{0,1,..,3} の標数は0か2のどちらかに限られる。
Case1)：Aの標数が0のとき。>182の乗算表から、通常の乗法・(×)の二項演算に関する
点 0∈A の逆元は存在せず、0の逆元はAには属さない。だから、Aは乗法・(×)について群ではない。
>182の加算表から、加法+の二項演算に関する1の逆元-1はAには属さない。だから、Aは加法+に
ついて群ではない。任意の体FはFに定義された乗法・(×)と加法+の各二項演算について、可換群だから、
Aは体ではない。任意の環RはRに定義された乗法・(×)の二項演算について閉じている。
>182の乗算表では3・3＝9＝1≠0 と定義されていて、Aは乗法・(×)について閉じていない。
従って、Aは環でもない。故に、Aは、群、環、体の何れの構造も持たない。
Case2)：：Aの標数が2のとき。Case1と同様に考えると、Aは乗法・(×)の二項演算
について群ではない。従って、Case1と同様に考えると、Aは体ではない。
>182の乗算表では3・3＝9＝1≠2＝0 と定義されていて、Aは乗法・(×)について閉じていない。
従って、Aは環でもない。故に、Aは、乗法・(×)についての群、標数2の環、体の何れの構造も持たない。
ここに、>182の加算表は左上から右下に引いたような対角線について対称であることに注意する
(1+2＝3＝1、1+3＝4＝0 のような、証明に必要な演算をすべて挙げることは省略)と、
Aの任意の2元a, bに対して、標数2として加法+の演算 a+b を施したときは、a+b∈A となり、
Aは加法+について閉じていて、Aは加法群となる。
Case1、2から、Aは乗法・(×)についての群、標数0か2の環、標数0か2体の何れでもない。
しかし、標数2のときに限り、Aは加法群の構造を持つ。