周の長さが一定の四角形（長方形以外も含む）はどうしたら面積が最大になるの？

1 ：１３２人目の素数さん：2016/12/19(月) 23:38:53.82 ID:yHsqJun3.net

周の長さが一定の長方形は正方形のときに面積が最大だろ？四角形全体の場合はどうなるんだよ

2 ：１３２人目の素数さん：2016/12/20(火) 00:38:07.62 ID:MrnHPDKB.net

�@ 3辺の長さがa,b,cの3角形があるとする.
今s=(a+b+c)/2とcを固定したときに, この3角形の面積Sを最大とするa,bを求める.
S^2/{s(s-c)}=(s-a)(s-b)=1/4 {c+a-b}{c-(a-b)}=1/4 {c^2-(a-b)^2}
よりa=bのときがSは最大となる.

�A 次に4角形ABCDを考えAB, BC, CD, DAの長さをa,b,c,dとおく.
今点A,Cを固定した状態で, a+b, c+dを固定して点B,Dを動かしABCDの面積を
最大化することを考える. このとき対角線ACの長さは不変である. a+b,
c+dを固定すれば, 4辺の長さを変えずに面積を最大化するように, 対角線を
構成しない2点を動かすことで�@を適用できるので, 面積が最大となる場合に
a=b, c=dとなる. このとき周の長さは変わらない.

同様に点B,Dを固定して点A,Cを動かせばa=d, b=cとなる.
ゆえに任意の4角形の面積は周の長さが等しい正方形の面積以下である.
つまり正方形の場合が面積は最大ということ.

3 ：１３２人目の素数さん：2016/12/20(火) 00:45:38.37 ID:MrnHPDKB.net

「4辺の長さを変えずに」ではなく, 「4辺の長さの和を変えずに」だった.
これは菱形になるところまでしか示していないが, 一辺aの菱形の面積は
1/2 a^2(sinA+sinC)≦a^2であるので, 正方形になるときが面積が最大と
なることは簡単に示せるからとにかく正方形のときが最大でいい.

4 ：１３２人目の素数さん：2016/12/20(火) 02:02:50.14 ID:w0BD+eCZ.net

頂点 A，C を固定して AB+BC = 一定 のもとで B を動かすと
B は A，C を焦点とする楕円上にあるので
△ABC の面積は B が線分 AC の垂直2等分線上に来るときに最大
同様にして結局菱形で考察すればいいことがわかる

5 ：１３２人目の素数さん：2016/12/20(火) 15:23:10.96 ID:Iy0eZ3d1.net

ここまで凸前提で草

6 ：１３２人目の素数さん：2016/12/20(火) 15:31:06.37 ID:MrnHPDKB.net

凹なら対角線を対称軸として反転すれば周の長さが変わらずに
面積の大きい凸4角形を作れるんだから考えるまでもない.
模範解答じゃないんだからその辺はそこそこ適当だ.

7 ：１３２人目の素数さん：2016/12/20(火) 16:11:34.39 ID:zl7aE1co.net

試験の採点やってるつもりの勘違い馬鹿はどこにでもいる

8 ：１３２人目の素数さん：2016/12/20(火) 16:37:24.95 ID:ujd5tlai.net

試験死ねな俺かっけー馬鹿と似たりよったり

9 ：１３２人目の素数さん：2016/12/20(火) 16:48:16.69 ID:zl7aE1co.net

またそうやって言ってもいない極論で非難する

10 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/12/20(火) 22:29:16.69 ID:W0M90ObI.net

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20 ：１３２人目の素数さん：2016/12/25(日) 23:26:36.89 ID:HgkzhkFu.net

>>3 を少し一般化すると、

〔補題〕
「２辺の長さが a, b である△の面積は ab/2 以下（等号成立は直角�凾ﾌとき）」

(略証)
△の面積は（底辺)･(高さ)/2 だから、･･･

これを使うと、
◇ABCD = △ABC + △CDA ≦ (ab+cd)/2,
◇ABCD = △BCD + △DAB ≦ (bc+da)/2,
たして2で割ると
◇ABCD ≦ (a+c)(b+d)/4,
　等号成立は長方形のとき。

ここで相乗-相加平均より
(a+c)(b+d) ≦ {(a+b+c+d)/2}^2,
　等号成立は a+c=b+d のとき。

∴　◇ABCD ≦ {(a+b+c+d)/4}^2
　等号成立は、長方形かつ a+c=b+d、即ち 正方形のとき。

21 ：１３２人目の素数さん：2016/12/26(月) 00:30:42.52 ID:Mf/4LXM8.net

>>4
> 頂点 A，C を固定して AB + BC = 一定 のもとで B を動かすと…

これは四角形に限らず一般の多角形にも使えそうです。

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32 ：１３２人目の素数さん：2016/12/26(月) 06:28:03.83 ID:oaNh/qe+.net

相加平均≧相乗平均でほぼ自明じゃないのか

33 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/12/26(月) 08:12:57.90 ID:P7KkK7Ue.net

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34 ：１３２人目の素数さん：2016/12/26(月) 12:03:40.82 ID:1+zDpADD.net

>>20
その証明は正しいし, 初等幾何的で簡潔ですばらしいが,
◇ABCD ≦ (a+c)(b+d)/4, 　等号成立は長方形のとき。
の時点で長方形の場合が面積が最大となることが自明ではないことが気持ち悪い.

というのも長方形は角度だけでなく長さにも制約(a=c, b=d)が出てくるので,
(a+c)(b+d)/4を最大化するa,b,c,dの組が長方形を為せるとは限らない.

たとえば(2a+b+c+d=4s)の拘束のもとでは, (a+c)(b+d)はa=0,b+d=c=2sのもとで
最大になるだろうが, これは長方形を為せる組ではない.

35 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/12/26(月) 12:45:28.08 ID:P7KkK7Ue.net

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45 ：１３２人目の素数さん：2016/12/27(火) 07:06:08.23 ID:T1Hn0uqH.net

>>2 のようにHeronの公式を使うなら、>>32 のとおりです。
（Heronの公式をどう示すか...）

>>4
> 頂点 A，C を固定して AB+BC = 一定 のもとで B を動かすと
> B は A，C を焦点とする楕円上にあるので
（これをどう示すか...）

46 ：１３２人目の素数さん：2016/12/27(火) 07:40:27.66 ID:T1Hn0uqH.net

>>4 >>21
デカルト流で
　A(-c,0)　B(x,y)　C(c,0)
とおくと、
　AB + BC = √{(x+c)^2 + y^2} + √{(x-c)^2 + y^2} = 2L,
　(L>c>0)
これより
　(x/L)^2 + y^2/(LL-cc) = 1　　(楕円)
ACからの高さ｜y｜が最大になるのはx=0 のとき、すなわち AB=BC,
ですね。

47 ：１３２人目の素数さん：2016/12/29(木) 16:53:38.07 ID:g/epfTbT.net

>>34
正方形以外で等号が成立する可能性を排除できぬ？

48 ：１３２人目の素数さん：2017/01/04(水) 05:27:23.62 ID:F1JEFz8G.net

〔ラングレーの問題〕
凸４角形BCEDについて、
∠B＝4θ、∠C＝120°−2θ、∠EBC＝3θ、∠DCB＝90°−2θ（15ﾟ<θ<30ﾟ）
である。∠DEBを求めよ。

（元の問題ではθ=20°ですが、少し拡張しました。）

49 ：１３２人目の素数さん：2017/01/04(水) 05:34:39.57 ID:F1JEFz8G.net

>>48 のヒント

　辺CE上に∠DBF=60°となる点Fをとる。

50 ：１３２人目の素数さん：2018/01/28(日) 03:13:46.21 ID:ru4HDAPy.net

>>48

∠DBCの二等分線と直線CEの交点をFとすれば
（1/2)∠B + ∠C = 120°より∠BFC = 60°
∠DCE = 30°よりCDとBFは垂直で、内角の二等分線であることからBD=BC, ∠DBF=∠CBF
これと∠B = 4θ = 4∠DBE から∠DBE=∠FBE
また、対称性から∠DFB = ∠CFB = 60°であり∠DFE = 60°
よって直線EFは∠DFBの外角の二等分線であり
点Eは△DBFの傍心の１つ
よって ∠DEB =（1/2)∠DFB = 30°

最後に補題
　点Eが△DBFの傍心のとき、∠DEB =（1/2)∠DFB
を使いました。

面白スレ２４　686-691

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61 ：１３２人目の素数さん：2018/08/10(金) 03:48:45.46 ID:MxWQLJMW.net

〔次の問題〕
一辺の長さ１の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ。
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532824890/

62 ：イナ ：2018/08/14(火) 01:10:55.27 ID:MFgI4XXz.net

>>61カブトガニが最小で落ちついたはず。
カブトガニ型の左右対称な分岐点3つの経路は、
(斜め線4つ)=(1+√5)/2×(2/√3)
=(1+√5)/√3
(短い縦線)=(正五角形の高さ)-(中央と左右の分岐点の水平距離)(1/√3)-(長い縦線)
=√[{(1+√5)/2}^2-(1/2)^2}]-1/2√3-(長い縦線)
(長い縦線)=(左右の頂点の高さ)-(左右の頂点と左右のの分岐点の水平距離)×(1/√3)
=√[1-{(1+√5)/4 -(1/2)}^2]-{(1+√5)/4 -(1/2)}(1/√3)
=(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
(最小値)=(1+√5)/√3+(1/2)√(5+2√5)-1/2√3+(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
=(1+2√5)/2√3+(1-√5)/4√3+(1/4)2√(5+2√5)+(1/4)√(10+2√5)
=(1/4){2√(5+2√5)+√(10+2√5)+(1+√5)√3}
≒(1/4)(6.15536707+3.80422607+5.60503415)
=3.8911568225

63 ：１３２人目の素数さん：2019/03/19(火) 19:25:58.19 ID:5ELC37Jq.net

この差って何ですか?★1