【世紀の大発見】素数生成多項式は存在しない！

１３２人目の素数さん

【命題】
素数だけを与える一変数整数係数多項式は存在しない。
すなわち、
a[0],a[1],…,a[n]∈Z,a[n]≠0,n≧1に対して、
f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+…+a[1]x+a[0]
なる多項式を考える。
xが任意の整数値をとるとき、
f(x)が素数の値のみをとることは不可能。

【証明】
a[n]≠0であるので、x∈Zが十分大きいとき、f(x)≠±1とできる。
このようなxをmとして、N=|f(m)|＞1とおく。
このとき、任意の正の整数kに対して、
a[n](m+kN)^n≡a[n]m^n (mod N)
a[n-1](m+kN)^(n-1)≡a[n-1]m^(n-1) (mod N)
…
a[1](m+kN)≡a[1]m (mod N)
a[0]≡a[0] (mod N)
この辺々を足し合わせて、
f(m+kN)≡f(m) (mod N)
となるが、
f(m)=±N≡0 (mod N)
であるから、
f(m+kN)≡0 (mod N)
となる。すなわち、f(m+kN)は任意の正の整数kに対してNの倍数となり、
f(x)が素数の値のみをとることは不可能。