dx dy の意味は?★2
512 :132人目の素数さん :2024/03/19(火) 23:03:22.86 ID:EJrt/yJO.net dx ≒ dy なら、dx≒0.001でいいんぢゃなーーい
513 :132人目の素数さん :2024/03/20(水) 13:25:44.46 ID:YIpNyLh8.net 全微分は多変数でないと分からんわな
514 :132人目の素数さん :2024/03/20(水) 19:02:55.66 ID:x8KFPbip.net ごちゃごちゃ言わないでtangentBundleとcotangentBandleの定義を眺めたらいいのに
515 :132人目の素数さん :2024/03/20(水) 22:35:40.35 ID:l1g0ZqUw.net 測度の比だよ
516 :132人目の素数さん :2024/03/21(木) 15:40:38.93 ID:cuZGxIVV.net >>510 接空間って要するに接線を2次元とか3次元とかに一般化したモノでしょ?
517 :132人目の素数さん :2024/03/21(木) 23:02:44.60 ID:jDc10zUA.net >>516 それをさらに一般化したものだよ
518 :132人目の素数さん :2024/03/22(金) 00:57:41.89 ID:stCCMxWS.net >>517 どっち方面にw
519 :132人目の素数さん :2024/03/22(金) 12:15:09.89 ID:x9+L0zvm.net >>518 厳密に言えば多様体に 厳密でない言い方をすれば、ユークリッド空間に埋め込まれてるとは限らない曲線や曲面やその他曲がった多次元空間に
520 :132人目の素数さん :2024/03/23(土) 01:12:01.52 ID:gMwBe72B.net とりあえず厳密じゃなくてもなんとなく納得できる回答が欲しい人はいると思う。 だから、これだけ紛糾しているわけだ。 局所的にユークリッド空間とみなせる空間に接線を接空間とかに拡張したもの…でなんとなく通じるんじゃないの? 後でそれじゃ厳密性が不足するなら注意を付け足せば良いわけだし。
521 :132人目の素数さん :2024/03/23(土) 13:24:22.26 ID:oTMUBg0r.net >>512 実際、原子質量からすると電子質量は無視できるしな。水素原子と水素イオンの質量差=電子1個の質量は無視。
522 :132人目の素数さん :2024/03/23(土) 13:26:31.64 ID:la6VuWST.net >>520 個人的に「局所的にユークリッド空間とみなす」的な考え方は案外しっくりこないんだよね 例えば曲線に座標を与えても「直線と見なしてる」って感じがしなくて、あくまでも「曲線の各点と直線の各点を対応させてる」だけというか
523 :132人目の素数さん :2024/03/23(土) 13:40:45.37 ID:oTMUBg0r.net >局所的にユークリッド空間 地球上の数mの範囲とか
524 :132人目の素数さん :2024/03/23(土) 13:47:22.79 ID:la6VuWST.net >>523 馬鹿は黙ってて
525 :132人目の素数さん :2024/03/23(土) 15:14:58.26 ID:gMwBe72B.net >>522 結局、dx dy の定義で微小増分ってのが曖昧で嫌だってのを、多様体の空間が「局所的にユークリッド空間とみなせる」ってのに 単に置き換えて満足しているのかも…?うーん。
526 :132人目の素数さん :2024/03/23(土) 16:14:14.53 ID:vHrlgd3o.net 微分形式から定まる測度
527 :132人目の素数さん :2024/03/26(火) 13:21:40.88 ID:HpXS7lLW.net 接空間を「局所的にユークリッド空間とみなす」なんて考える必要あるか? 最初に微分と接線を学んだ時も「局所的に直線とみなす」なんて思った事ないぞ
528 :132人目の素数さん :2024/03/26(火) 17:22:57.35 ID:umzhxECP.net まあ、曲線を拡大して見て、局所的に直線になっていると捉えることは可能だな。
529 :132人目の素数さん :2024/03/26(火) 20:26:58.38 ID:ul2VYFRV.net >>528 馬鹿は黙ってて
530 :132人目の素数さん :2024/03/26(火) 20:47:39.04 ID:ul2VYFRV.net >>527 接線って曲線を近似する直線なわけだけど、「近似」って近くて似てるけど異なるものなのよね
531 :132人目の素数さん :2024/03/27(水) 14:47:35.80 ID:MA/zdQyl.net 円に1点だけ共通部分があるのが接線 何も近似してない
532 :132人目の素数さん :2024/03/27(水) 17:13:58.33 ID:Tv2vID6a.net >>531 びっくりするかもしれねぇけど円以外の曲線も接線を持つんだぜ!
533 :132人目の素数さん :2024/03/28(木) 12:43:06.27 ID:bdyAo30D.net 近似の定義はεδ法みたいな形式で記述できるんじゃないの?
534 :132人目の素数さん :2024/03/28(木) 19:13:35.60 ID:YaoH9RHd.net 微分の定義からして f(x)-(f(a)+f'(a)(x-a))→0 (x→a) であるのみならず (f(x)-(f(a)+f'(a)(x-a)))/(x-a)→0 (x→a) だからね f(a)+f'(a)(x-a)がf(x)を近似してないってのは無理がある
535 :132人目の素数さん :2024/03/29(金) 14:14:52.86 ID:k4bFXZdE.net >>530 接線を重解として考えれば微分係数の厳密値が出るな。dxやεだと、超微小量だとしてもズレは0ではないし。 εδ論法や対角線論法とかで無限小は考慮されるが。(対角線論法は2^nというところを見落としているから論外)非代数関数への拡張は難しいかもしれんが。 https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/38/38-8.pdf あと、変分δxもdxのように、積の公式とか成り立つんだろうか。
536 :132人目の素数さん :2024/03/29(金) 19:21:23.47 ID:Rr1gMtwd.net >>535 馬鹿は黙ってて
537 :132人目の素数さん :2024/03/31(日) 22:19:09.76 ID:p6wE37V/.net 足を引っ張るだけの劣等感こそ黙れ
538 :132人目の素数さん :2024/04/02(火) 12:37:08.18 ID:jGCEL89q.net dy/dxをdxとdyに分離できるならdxもd×x(d掛けるx)とうように分離できるかな。
539 :132人目の素数さん :2024/04/02(火) 16:10:32.37 ID:9fKf9myp.net 掛けるというか作用ね 昔はf(x)もfxと書いてた sin,cos.tan.log,exp等名残
540 :132人目の素数さん :2024/04/07(日) 10:07:36.78 ID:kGb4JOWj.net 結局、dx dy って「局所的にユークリッド空間とみなせる空間(多様体)に接線を接空間とかに拡張したもの」でいいんかいな? 「局所的にユークリッド空間とみなせる空間」の厳密な定義は、指定した点の近く(近傍)に開集合を取るとユークリッド空間の 性質に無限に近くなるモノが取れるなどで行うとして。曖昧な考えでテキトーw
541 :132人目の素数さん :2024/04/07(日) 10:40:22.31 ID:cdvHXkED.net >>540 適当でいいんだよ
542 :132人目の素数さん :2024/04/07(日) 11:23:24.02 ID:f0UdZ9sX.net わかってさえいればの話
543 :132人目の素数さん :2024/04/07(日) 13:12:31.66 ID:cmyQpGfV.net >>540 文盲
544 :132人目の素数さん :2024/04/08(月) 22:15:24.35 ID:5B4vhjxm.net >>540 あの意図不明な多様体の定義はその解釈で理解可能なのか?
545 :132人目の素数さん :2024/04/18(木) 19:37:47.83 ID:qI+kaR63.net 多様体ってユークリッド空間の貼り合わせというよりは曲面の貼り合わせって印象
546 :132人目の素数さん :2024/04/18(木) 20:09:33.02 ID:9DQ6O8eP.net >>545 T2=[0,1]×[0,1]/<(x,0)〜(x,1),(0,y)〜(1,y)>も?
547 :132人目の素数さん :2024/04/18(木) 22:42:17.71 ID:W65yRImT.net 大域的な問題を局所的に解いて 貼り合わせによって解を構成する
548 :132人目の素数さん :2024/04/19(金) 07:42:47.41 ID:o7NDCrQE.net 層を使う
549 :132人目の素数さん :2024/04/19(金) 07:46:36.26 ID:p6YqavVz.net トーラスも多様体として扱うならそりゃ貼り合わせとして扱うことになるでしょ
550 :132人目の素数さん :2024/04/19(金) 10:04:52.64 ID:fnpmo5F/.net ユークリッド空間の商空間として扱っても 多様体として扱うことになるだろう
551 :132人目の素数さん :2024/04/19(金) 11:02:11.62 ID:ksY4e4ty.net 円周の直積とみなしても 多様体として扱うことになるだろう
552 :132人目の素数さん :2024/04/19(金) 17:36:52.26 ID:p6YqavVz.net >>550 ならないでしょ 多様体からテキトーに商空間を作っても一般には多様体にならない 商空間として構成しても、結局貼り合わせであることを確認しない限りただの位相空間じゃん
553 :132人目の素数さん :2024/04/19(金) 18:14:44.31 ID:bZSXXXrr.net >>552 トーラスのことと思うよ
554 :132人目の素数さん :2024/04/19(金) 18:43:29.48 ID:p6YqavVz.net >>553 トーラスも商空間として構成しただけでは多様体にはならなくて、座標を貼り合わせて初めて多様体になるわけじゃん そして多様体として扱って多様体としての構造を見ている間は構成を忘れて座標の貼り合わせとして扱うことになるでしょ
555 :132人目の素数さん :2024/04/19(金) 20:44:31.54 ID:bZSXXXrr.net >>554 いや別にそこ反論してるわけではなく R^2→T^2で多様体として扱ってるってことを>>550 は言いたいのだろうってこと もちろん座標も込めてさ
556 :132人目の素数さん :2024/04/20(土) 16:39:11.20 ID:lgVZM1FC.net >>552 テキトーにではなく適当に作れば多様体になる
557 :132人目の素数さん :2024/04/20(土) 20:30:20.11 ID:lgVZM1FC.net 多様体の商空間が多様体になるための条件
558 :132人目の素数さん :2024/04/21(日) 17:48:58.53 ID:WRaJc4pY.net 可解多様体とか
559 :132人目の素数さん :2024/04/26(金) 00:35:36.24 ID:Nnj4aAHS.net >>535 変分も積の公式は成り立つ
560 :132人目の素数さん :2024/04/26(金) 00:36:19.71 ID:Nnj4aAHS.net >>538 それが外微分
561 :132人目の素数さん :2024/04/28(日) 09:42:51.86 ID:JbWAVbl4.net 外微分形式の理論 Paperback – November 10, 2017 by 松田 道彦 (著) See all formats and editions はじめての本の購入で10%ポイントプレゼント 外微分形式の方法は、従来の1階偏微分方程式の解法を一新した。まず、座標系によらず自由に駆使する基礎を与え、特性系の概念のもとに偏微分方程式の古典的求積論を統一する。包合系の理論の最近の発展をも紹介。
562 :132人目の素数さん :2024/04/28(日) 21:36:00.74 ID:gjKINs88.net >>561 その本は、無限小とか a1dx1+a2dx2+a3dx3 とかの表現を最初から扱っているので>>1 の疑問には答えないのかも。
563 :132人目の素数さん :2024/04/29(月) 11:06:45.92 ID:or3lrBic.net 外微分形式の理論―積分不変式 (1964年) Unknown Binding by エリー・カルタン (著), 矢野 健太郎 (翻訳)
564 :132人目の素数さん :2024/04/29(月) 23:12:35.54 ID:Hr3zU5cv.net >>563 こっちは微分方程式を元にしていて、なにやら物理学系統の匂いが。 いずれにせよ極小時間とか使っているし。
565 :132人目の素数さん :2024/04/29(月) 23:18:19.27 ID:W8AYFE3P.net 問題なかろ
566 :132人目の素数さん :2024/04/30(火) 02:06:05.68 ID:KhJCxJ5B.net カレント
567 :132人目の素数さん :2024/04/30(火) 09:56:59.51 ID:CMtddt7Z.net >>565 >1の素朴な疑問的には問題ありあり
568 :132人目の素数さん :2024/04/30(火) 11:53:21.45 ID:dZrmuZxS.net 明確な意味を述べると授業の欠席者が増える
569 :132人目の素数さん :2024/04/30(火) 13:10:47.14 ID:I7aNbH2d.net 昔は高校入試で微積分主題 https://www.jstage.jst.go.jp/article/jshsme/2/0/2_22/_pdf/-char/ja
570 :132人目の素数さん :2024/04/30(火) 13:25:39.52 ID:eeZTB8FP.net そもそもこのスレ自体>>1 が疑問を解決するために立てたわけではあるまい 前スレならともかく
571 :132人目の素数さん :2024/04/30(火) 20:51:54.70 ID:CMtddt7Z.net >>568 明確な定義のアイディアの骨子を知りたい!天下り的なものじゃなく。 「~を拡張したもの」程度で良いんだよ。
572 :132人目の素数さん :2024/04/30(火) 23:21:01.53 ID:WMyDaPyf.net >>571 カン拡張 を連呼
573 :132人目の素数さん :2024/04/30(火) 23:21:42.05 ID:WMyDaPyf.net >>572 止せっつってんのに余接空間で連呼
574 :132人目の素数さん :2024/05/01(水) 09:17:12.88 ID:sgJI4piv.net 100位
575 :132人目の素数さん :2024/05/01(水) 09:18:59.56 ID:8OeQUrrJ.net >>1 >根底に潜むだろう思想 それってどんなん?
576 :132人目の素数さん :2024/05/01(水) 09:22:23.77 ID:8OeQUrrJ.net 微積分のdxとかdyを微分形式だというのは、説明になってない dxとかdyって余接空間のただの基底だから そんでもって∂f/∂xとか∂f/∂yもただの係数だから 関数の線形近似が理解できて初めて微分形式とかも理解できるから
577 :132人目の素数さん :2024/05/01(水) 09:26:45.98 ID:8OeQUrrJ.net もしかしてdfとかdxが数だったら 単純に割り算してdf/dxが求まるとか思ってる? それ素人の初歩的妄想的誤解 結局差分商の差の部分を小さくしていった場合の極限が微分係数だから 極限が心理的に受け入れられないからって、 極限抜きの方法なんか求めるのは○違いだよ
578 :132人目の素数さん :2024/05/01(水) 09:30:08.70 ID:8OeQUrrJ.net df=(df/dx)dx って書いたところで、 「df/dxってなんだ?」 「dfをdxで割った値だよ」 とかいってるならそれ無意味なトートロジーだよな df/dxは先に決まってるんで、それをdfをdxで割ったものとか言っても意味ない
579 :132人目の素数さん :2024/05/01(水) 09:41:44.60 ID:8OeQUrrJ.net ところで「(多変数写像)変数変換でヤコビアンが出る」のは 線型写像で近似してるからだぞ その行列がヤコビ行列で、行列式がヤコビアン 線形代数わかってないなら、ヤコビアンわかるわけないからな 陰関数定理、逆関数定理がわからんとかいってるのも もとをたどるとそもそも線型写像で近似してることが わかってない場合が多い 対応する線型代数の命題を理解せずして理解できるわけないから
580 :132人目の素数さん :2024/05/01(水) 11:56:43.66 ID:tkbookfX.net >>571 関数f:R^n→Rが滑らか、任意の点p∈R^nとすると、横ベクトル(∂f/∂x1(p), …, ∂f/∂xn(p))により線形写像df_p: R^n→Rが得られる これが各点pごとに定義されるので、線形写像の族としてdfを定義できる これを拡張して、関数f: M→Nが滑らか、任意の点p∈Mとすると、上手いことやれば線形写像df_p: (Mの点pにおける接空間)→(Nの点f(p)における接空間)が得られる これが各点pごとに定義されるので、線形写像の族としてdfを定義できる
581 :132人目の素数さん :2024/05/01(水) 21:51:51.07 ID:fmjEF4yW.net >>580 ふむふむ
582 :132人目の素数さん :2024/05/01(水) 22:09:21.11 ID:sgJI4piv.net Given a connected complex manifold $M$ of dimension $n$, let $\mathcal{O}_M\to M$ be the structure sheaf of $M$, i.e. the sheaf of germs of holomorphic functions on $M$, and let $\frak{m}_x$ be the maximal ideal of $\mathcal{O}_{M,x}$, i.e. the set of germs at $x\in M$ of holomorphic functions vanishing at $x$. Then $\coprod_{x\in M}{\frak{m}_x/\frak{m}_x^2}$ is naturally equipped with the structure of a vector bundle of rank $n$ over $M$, for which a local trivialization is given for each local coordinate $(z_1, z_2,\dots, z_n)$ on a local coordinate neighborhood $U$ by $$\displaystyle f+\frak{m}_x^2\mapsto \left(x,\left(\frac{\partial f}{\partial z_1}(x), \frac{\partial f}{\partial z_2}(x), \dots, \frac{\partial f}{\partial z_n}(x)\right)\right)$$ for each $x\in U$ and $f+\frak{m}_x^2\in\frak{m}_x/\frak{m}_x^2$. The bundle $\coprod_{x\in M}{\frak{m}_x/\frak{m}_x^2}$ is called the cotangent bundle of $M$.
583 :132人目の素数さん :2024/05/04(土) 13:21:56.51 ID:myAjc1vp.net 加算不加算は、ヨーロッパ言語の加算名詞の考えから来てるのかな。
584 :132人目の素数さん :2024/05/05(日) 08:28:58.59 ID:IVZzp+jD.net denumerable
585 :132人目の素数さん :2024/05/05(日) 10:12:21.66 ID:IVZzp+jD.net innumerable
586 :132人目の素数さん :2024/05/06(月) 18:51:15.83 ID:ZxBZ9IvW.net 微分形式を計算規則で公理的に定義する立場って存在すんの? 多様体上の関数上の加群であることくらいは記述できても、自由加群であることとか合成(特に制限)に関することを上手く記述できそうだと思えないが
587 :132人目の素数さん :2024/05/06(月) 22:24:02.06 ID:BrY/Xomq.net >>586 dg algebraのこと?
588 : 警備員[Lv.10][苗] :2024/05/07(火) 18:32:24.32 ID:9LgougMS.net 分数になったり分数にならなかったり 約分できたりできなかったり 人を惑わすための記号です
589 :132人目の素数さん :2024/05/07(火) 19:04:20.28 ID:5E2dMoXD.net >>587 見た感じ、確かに微分形式の集合が満たす代数構造ではあるが、「多様体Mの微分形式とはこういう代数系の元のことである」と定義できる類のものではないな 一応>>505 の問いに肯定的に答える方法が存在するかって疑問なんだが
590 :132人目の素数さん :2024/05/14(火) 19:22:23.31 ID:P0cKpxiS.net 単なる微分形式の多元環じゃなく 多様体と関連するならライプニッツ則を含んだ定義しかないだろ
591 :132人目の素数さん :2024/05/15(水) 00:33:41.98 ID:EQ3/SQn8.net 物理学にしろ幾何学にしろ 座標系に依存しない コーディネートフリーに理論を記述したい。
592 :132人目の素数さん :2024/05/15(水) 19:08:19.49 ID:+zn+M4xO.net それ普通
593 :132人目の素数さん :2024/05/16(木) 13:51:57.87 ID:dOg/6qA3.net 自然現象違って実験のしようがないから、無限とか虚数とか数学概念の一部は結局人間の脳内にあるじゃないの?
594 :132人目の素数さん :2024/05/16(木) 16:56:06.34 ID:JNgkuu8E.net 物理法則だって人間の脳内にしかないだろ
595 :132人目の素数さん :2024/05/16(木) 19:45:02.32 ID:W3TcXR3J.net 論理式という文字列によって表現可能なもののみが数学的対象だよ そして虚数は余裕で論理式で表現できるし、超準解析の無限小は少し特殊な論理体系を使わないと表現できない
596 :132人目の素数さん :2024/05/17(金) 20:47:44.92 ID:4CanK5sL.net 普通だろ
597 :132人目の素数さn :2024/06/08(土) 19:42:12.52 ID:HKo3244h.net クイズ。 円 x^2 + y^2 = 1 を ( 1, 0 ) で 微分できる or できない ?
598 :132人目の素数さん :2024/06/08(土) 20:36:56.75 ID:9YNLa9eX.net 微分できない 円は図形であって関数ではないから
599 :132人目の素数さん :2024/06/19(水) 20:37:53.33 ID:l06AewWa.net 接線ならあるぜ
600 :132人目の素数さん :2024/06/20(木) 19:15:54.15 ID:rnLLWG/C.net 微分できるのは関数であって、図形ではない 接線があるのは図形であって、関数ではない 円は図形なので微分はできないが、接線がある
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