dx dy の意味は？★２

1 ：１３２人目の素数さん：2022/01/15(土) 21:40:30.08 ID:so1VKQTS.net

dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/

506 ：１３２人目の素数さん：2024/03/19(火) 13:42:21.44 ID:ExCJHSAY.net

下手に計算規則で定義すると

次の計算規則(i)(ii)が成り立つ非空集合SとS上の二項演算*の対(S, *)をチャオちゅ～ると定義する
(i) 任意のSの元aに対してa*a=a
(ii) 任意のSの元aに対してa*a≠a

みたいなレベルの無意味な定義になりかねないんだよね

507 ：１３２人目の素数さん：2024/03/19(火) 14:53:10.01 ID:vJk88FwX.net

受精卵は質量・体積の観点からすると、ほとんどが卵子由来。ゲノム情報は半々だが。精子残骸は受精後卵子に分解・吸収される。卵子細胞核まで泳ぎ切るかどうか不明だが。男・精子は卵子質量体積からすると微分量dmなのか。

508 ：めだかの学校：2024/03/19(火) 15:45:18.10 ID:m4LUFK3v.net

やはり微分（全微分）は微分形式を学ばないと理解できないのか？
20年くらい前やはり同じ話題があがり
　　微分は数でもないし、関数でもない
というレスを見て考え込んでしまった。
　純粋数学とは全く無縁の自分は「微小変化」で満足しているけどwww

509 ：１３２人目の素数さん：2024/03/19(火) 16:12:36.84 ID:XefYR4bA.net

>>508
むしろ微分形式のほうが
純粋数学色なく実用ツールとして有用ですらある。

510 ：１３２人目の素数さん：2024/03/19(火) 18:26:37.40 ID:bkwMl2kT.net

逆だろ
微分(接空間)が分からんのに微分形式が分かる訳がない

511 ：１３２人目の素数さん：2024/03/19(火) 20:12:31.93 ID:SooiL5Ao.net

>>510
あるいは多変数のほうが現実的具体的で簡単明瞭な可能性もある。

512 ：１３２人目の素数さん：2024/03/19(火) 23:03:22.86 ID:EJrt/yJO.net

dx ≒　dy なら、dx≒0.001でいいんぢゃなーーい

513 ：１３２人目の素数さん：2024/03/20(水) 13:25:44.46 ID:YIpNyLh8.net

全微分は多変数でないと分からんわな

514 ：１３２人目の素数さん：2024/03/20(水) 19:02:55.66 ID:x8KFPbip.net

ごちゃごちゃ言わないでtangentBundleとcotangentBandleの定義を眺めたらいいのに

515 ：１３２人目の素数さん：2024/03/20(水) 22:35:40.35 ID:l1g0ZqUw.net

測度の比だよ

516 ：１３２人目の素数さん：2024/03/21(木) 15:40:38.93 ID:cuZGxIVV.net

>>510
接空間って要するに接線を２次元とか３次元とかに一般化したモノでしょ？

517 ：１３２人目の素数さん：2024/03/21(木) 23:02:44.60 ID:jDc10zUA.net

>>516
それをさらに一般化したものだよ

518 ：１３２人目の素数さん：2024/03/22(金) 00:57:41.89 ID:stCCMxWS.net

>>517
どっち方面にｗ

519 ：１３２人目の素数さん：2024/03/22(金) 12:15:09.89 ID:x9+L0zvm.net

>>518
厳密に言えば多様体に
厳密でない言い方をすれば、ユークリッド空間に埋め込まれてるとは限らない曲線や曲面やその他曲がった多次元空間に

520 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 01:12:01.52 ID:gMwBe72B.net

とりあえず厳密じゃなくてもなんとなく納得できる回答が欲しい人はいると思う。
だから、これだけ紛糾しているわけだ。

局所的にユークリッド空間とみなせる空間に接線を接空間とかに拡張したもの…でなんとなく通じるんじゃないの？
後でそれじゃ厳密性が不足するなら注意を付け足せば良いわけだし。

521 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 13:24:22.26 ID:oTMUBg0r.net

>>512
実際、原子質量からすると電子質量は無視できるしな。水素原子と水素イオンの質量差＝電子1個の質量は無視。

522 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 13:26:31.64 ID:la6VuWST.net

>>520
個人的に「局所的にユークリッド空間とみなす」的な考え方は案外しっくりこないんだよね
例えば曲線に座標を与えても「直線と見なしてる」って感じがしなくて、あくまでも「曲線の各点と直線の各点を対応させてる」だけというか

523 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 13:40:45.37 ID:oTMUBg0r.net

＞局所的にユークリッド空間

地球上の数mの範囲とか

524 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 13:47:22.79 ID:la6VuWST.net

>>523
馬鹿は黙ってて

525 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 15:14:58.26 ID:gMwBe72B.net

>>522
結局、dx dy の定義で微小増分ってのが曖昧で嫌だってのを、多様体の空間が「局所的にユークリッド空間とみなせる」ってのに
単に置き換えて満足しているのかも…？うーん。

526 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 16:14:14.53 ID:vHrlgd3o.net

微分形式から定まる測度

527 ：１３２人目の素数さん：2024/03/26(火) 13:21:40.88 ID:HpXS7lLW.net

接空間を「局所的にユークリッド空間とみなす」なんて考える必要あるか？
最初に微分と接線を学んだ時も「局所的に直線とみなす」なんて思った事ないぞ

528 ：１３２人目の素数さん：2024/03/26(火) 17:22:57.35 ID:umzhxECP.net

まあ、曲線を拡大して見て、局所的に直線になっていると捉えることは可能だな。

529 ：１３２人目の素数さん：2024/03/26(火) 20:26:58.38 ID:ul2VYFRV.net

>>528
馬鹿は黙ってて

530 ：１３２人目の素数さん：2024/03/26(火) 20:47:39.04 ID:ul2VYFRV.net

>>527
接線って曲線を近似する直線なわけだけど、「近似」って近くて似てるけど異なるものなのよね

531 ：１３２人目の素数さん：2024/03/27(水) 14:47:35.80 ID:MA/zdQyl.net

円に1点だけ共通部分があるのが接線
何も近似してない

532 ：１３２人目の素数さん：2024/03/27(水) 17:13:58.33 ID:Tv2vID6a.net

>>531
びっくりするかもしれねぇけど円以外の曲線も接線を持つんだぜ！

533 ：１３２人目の素数さん：2024/03/28(木) 12:43:06.27 ID:bdyAo30D.net

近似の定義はεδ法みたいな形式で記述できるんじゃないの？

534 ：１３２人目の素数さん：2024/03/28(木) 19:13:35.60 ID:YaoH9RHd.net

微分の定義からして
f(x)-(f(a)+f'(a)(x-a))→0 (x→a)
であるのみならず
(f(x)-(f(a)+f'(a)(x-a)))/(x-a)→0 (x→a)
だからね
f(a)+f'(a)(x-a)がf(x)を近似してないってのは無理がある

535 ：１３２人目の素数さん：2024/03/29(金) 14:14:52.86 ID:k4bFXZdE.net

>>530
接線を重解として考えれば微分係数の厳密値が出るな。dxやεだと、超微小量だとしてもズレは0ではないし。
εδ論法や対角線論法とかで無限小は考慮されるが。（対角線論法は2^nというところを見落としているから論外）非代数関数への拡張は難しいかもしれんが。
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/38/38-8.pdf
あと、変分δxもdxのように、積の公式とか成り立つんだろうか。

536 ：１３２人目の素数さん：2024/03/29(金) 19:21:23.47 ID:Rr1gMtwd.net

>>535
馬鹿は黙ってて

537 ：１３２人目の素数さん：2024/03/31(日) 22:19:09.76 ID:p6wE37V/.net

足を引っ張るだけの劣等感こそ黙れ

538 ：１３２人目の素数さん：2024/04/02(火) 12:37:08.18 ID:jGCEL89q.net

dy/dxをdxとdyに分離できるならdxもd×x(ｄ掛けるx)とうように分離できるかな。

539 ：１３２人目の素数さん：2024/04/02(火) 16:10:32.37 ID:9fKf9myp.net

掛けるというか作用ね
昔はf(x)もfxと書いてた
sin,cos.tan.log,exp等名残

540 ：１３２人目の素数さん：2024/04/07(日) 10:07:36.78 ID:kGb4JOWj.net

結局、dx dy って「局所的にユークリッド空間とみなせる空間（多様体）に接線を接空間とかに拡張したもの」でいいんかいな？

「局所的にユークリッド空間とみなせる空間」の厳密な定義は、指定した点の近く（近傍）に開集合を取るとユークリッド空間の
性質に無限に近くなるモノが取れるなどで行うとして。曖昧な考えでテキトーｗ

541 ：１３２人目の素数さん：2024/04/07(日) 10:40:22.31 ID:cdvHXkED.net

>>540
適当でいいんだよ

542 ：１３２人目の素数さん：2024/04/07(日) 11:23:24.02 ID:f0UdZ9sX.net

わかってさえいればの話

543 ：１３２人目の素数さん：2024/04/07(日) 13:12:31.66 ID:cmyQpGfV.net

>>540
文盲

544 ：１３２人目の素数さん：2024/04/08(月) 22:15:24.35 ID:5B4vhjxm.net

>>540
あの意図不明な多様体の定義はその解釈で理解可能なのか？

545 ：１３２人目の素数さん：2024/04/18(木) 19:37:47.83 ID:qI+kaR63.net

多様体ってユークリッド空間の貼り合わせというよりは曲面の貼り合わせって印象

546 ：１３２人目の素数さん：2024/04/18(木) 20:09:33.02 ID:9DQ6O8eP.net

>>545
T2=[0,1]×[0,1]/<(x,0)〜(x,1),(0,y)〜(1,y)>も？

547 ：１３２人目の素数さん：2024/04/18(木) 22:42:17.71 ID:W65yRImT.net

大域的な問題を局所的に解いて
貼り合わせによって解を構成する

548 ：１３２人目の素数さん：2024/04/19(金) 07:42:47.41 ID:o7NDCrQE.net

層を使う

549 ：１３２人目の素数さん：2024/04/19(金) 07:46:36.26 ID:p6YqavVz.net

トーラスも多様体として扱うならそりゃ貼り合わせとして扱うことになるでしょ

550 ：１３２人目の素数さん：2024/04/19(金) 10:04:52.64 ID:fnpmo5F/.net

ユークリッド空間の商空間として扱っても
多様体として扱うことになるだろう

551 ：１３２人目の素数さん：2024/04/19(金) 11:02:11.62 ID:ksY4e4ty.net

円周の直積とみなしても
多様体として扱うことになるだろう

552 ：１３２人目の素数さん：2024/04/19(金) 17:36:52.26 ID:p6YqavVz.net

>>550
ならないでしょ
多様体からテキトーに商空間を作っても一般には多様体にならない
商空間として構成しても、結局貼り合わせであることを確認しない限りただの位相空間じゃん

553 ：１３２人目の素数さん：2024/04/19(金) 18:14:44.31 ID:bZSXXXrr.net

>>552
トーラスのことと思うよ

554 ：１３２人目の素数さん：2024/04/19(金) 18:43:29.48 ID:p6YqavVz.net

>>553
トーラスも商空間として構成しただけでは多様体にはならなくて、座標を貼り合わせて初めて多様体になるわけじゃん
そして多様体として扱って多様体としての構造を見ている間は構成を忘れて座標の貼り合わせとして扱うことになるでしょ

555 ：１３２人目の素数さん：2024/04/19(金) 20:44:31.54 ID:bZSXXXrr.net

>>554
いや別にそこ反論してるわけではなく
R^2→T^2で多様体として扱ってるってことを>>550は言いたいのだろうってこと
もちろん座標も込めてさ

556 ：１３２人目の素数さん：2024/04/20(土) 16:39:11.20 ID:lgVZM1FC.net

>>552
テキトーにではなく適当に作れば多様体になる

557 ：１３２人目の素数さん：2024/04/20(土) 20:30:20.11 ID:lgVZM1FC.net

多様体の商空間が多様体になるための条件

558 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 17:48:58.53 ID:WRaJc4pY.net

可解多様体とか

559 ：１３２人目の素数さん：2024/04/26(金) 00:35:36.24 ID:Nnj4aAHS.net

>>535
変分も積の公式は成り立つ

560 ：１３２人目の素数さん：2024/04/26(金) 00:36:19.71 ID:Nnj4aAHS.net

>>538
それが外微分

561 ：１３２人目の素数さん：2024/04/28(日) 09:42:51.86 ID:JbWAVbl4.net

外微分形式の理論 Paperback – November 10, 2017
by 松田 道彦 (著)
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外微分形式の方法は、従来の1階偏微分方程式の解法を一新した。まず、座標系によらず自由に駆使する基礎を与え、特性系の概念のもとに偏微分方程式の古典的求積論を統一する。包合系の理論の最近の発展をも紹介。

562 ：１３２人目の素数さん：2024/04/28(日) 21:36:00.74 ID:gjKINs88.net

>>561
その本は、無限小とか a1dx1+a2dx2+a3dx3 とかの表現を最初から扱っているので>>1の疑問には答えないのかも。

563 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 11:06:45.92 ID:or3lrBic.net

外微分形式の理論―積分不変式 (1964年) Unknown Binding
by エリー・カルタン (著), 矢野 健太郎 (翻訳)

564 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 23:12:35.54 ID:Hr3zU5cv.net

>>563
こっちは微分方程式を元にしていて、なにやら物理学系統の匂いが。
いずれにせよ極小時間とか使っているし。

565 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 23:18:19.27 ID:W8AYFE3P.net

問題なかろ

566 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 02:06:05.68 ID:KhJCxJ5B.net

カレント

567 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 09:56:59.51 ID:CMtddt7Z.net

>>565
>1の素朴な疑問的には問題ありあり

568 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 11:53:21.45 ID:dZrmuZxS.net

明確な意味を述べると授業の欠席者が増える

569 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 13:10:47.14 ID:I7aNbH2d.net

昔は高校入試で微積分主題
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jshsme/2/0/2_22/_pdf/-char/ja

570 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 13:25:39.52 ID:eeZTB8FP.net

そもそもこのスレ自体>>1が疑問を解決するために立てたわけではあるまい
前スレならともかく

571 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 20:51:54.70 ID:CMtddt7Z.net

>>568
明確な定義のアイディアの骨子を知りたい！天下り的なものじゃなく。
「～を拡張したもの」程度で良いんだよ。

572 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 23:21:01.53 ID:WMyDaPyf.net

>>571
カン拡張
を連呼

573 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 23:21:42.05 ID:WMyDaPyf.net

>>572
止せっつってんのに余接空間で連呼

574 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 09:17:12.88 ID:sgJI4piv.net

100位

575 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 09:18:59.56 ID:8OeQUrrJ.net

>>1
>根底に潜むだろう思想

それってどんなん？

576 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 09:22:23.77 ID:8OeQUrrJ.net

微積分のdxとかdyを微分形式だというのは、説明になってない
dxとかdyって余接空間のただの基底だから
そんでもって∂f/∂xとか∂f/∂yもただの係数だから

関数の線形近似が理解できて初めて微分形式とかも理解できるから

577 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 09:26:45.98 ID:8OeQUrrJ.net

もしかしてdfとかdxが数だったら
単純に割り算してdf/dxが求まるとか思ってる？
それ素人の初歩的妄想的誤解

結局差分商の差の部分を小さくしていった場合の極限が微分係数だから
極限が心理的に受け入れられないからって、
極限抜きの方法なんか求めるのは○違いだよ

578 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 09:30:08.70 ID:8OeQUrrJ.net

df=(df/dx)dx　って書いたところで、

「df/dxってなんだ？」
「dfをdxで割った値だよ」
とかいってるならそれ無意味なトートロジーだよな

df/dxは先に決まってるんで、それをdfをdxで割ったものとか言っても意味ない

579 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 09:41:44.60 ID:8OeQUrrJ.net

ところで「（多変数写像）変数変換でヤコビアンが出る」のは
線型写像で近似してるからだぞ
その行列がヤコビ行列で、行列式がヤコビアン
線形代数わかってないなら、ヤコビアンわかるわけないからな
陰関数定理、逆関数定理がわからんとかいってるのも
もとをたどるとそもそも線型写像で近似してることが
わかってない場合が多い
対応する線型代数の命題を理解せずして理解できるわけないから

580 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 11:56:43.66 ID:tkbookfX.net

>>571
関数f:R^n→Rが滑らか、任意の点p∈R^nとすると、横ベクトル(∂f/∂x1(p), …, ∂f/∂xn(p))により線形写像df_p: R^n→Rが得られる
これが各点pごとに定義されるので、線形写像の族としてdfを定義できる
これを拡張して、関数f: M→Nが滑らか、任意の点p∈Mとすると、上手いことやれば線形写像df_p: (Mの点pにおける接空間)→(Nの点f(p)における接空間)が得られる
これが各点pごとに定義されるので、線形写像の族としてdfを定義できる

581 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 21:51:51.07 ID:fmjEF4yW.net

>>580
ふむふむ

582 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 22:09:21.11 ID:sgJI4piv.net

Given a connected complex manifold $M$ of dimension $n$, let $\mathcal{O}_M\to M$ be the structure sheaf of $M$, i.e. the sheaf of germs of holomorphic functions on $M$, and let $\frak{m}_x$ be the maximal ideal of $\mathcal{O}_{M,x}$, i.e. the set of germs at $x\in M$ of holomorphic functions vanishing at $x$. Then $\coprod_{x\in M}{\frak{m}_x/\frak{m}_x^2}$ is naturally equipped with the structure of a vector bundle of rank $n$ over $M$, for which a local trivialization is given for each local coordinate $(z_1, z_2,\dots, z_n)$ on a local coordinate neighborhood $U$ by $$\displaystyle f+\frak{m}_x^2\mapsto \left(x,\left(\frac{\partial f}{\partial z_1}(x), \frac{\partial f}{\partial z_2}(x), \dots, \frac{\partial f}{\partial z_n}(x)\right)\right)$$ for each $x\in U$ and $f+\frak{m}_x^2\in\frak{m}_x/\frak{m}_x^2$. The bundle $\coprod_{x\in M}{\frak{m}_x/\frak{m}_x^2}$ is called the cotangent bundle of $M$.

583 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 13:21:56.51 ID:myAjc1vp.net

加算不加算は、ヨーロッパ言語の加算名詞の考えから来てるのかな。

584 ：１３２人目の素数さん：2024/05/05(日) 08:28:58.59 ID:IVZzp+jD.net

denumerable

585 ：１３２人目の素数さん：2024/05/05(日) 10:12:21.66 ID:IVZzp+jD.net

innumerable

586 ：１３２人目の素数さん：2024/05/06(月) 18:51:15.83 ID:ZxBZ9IvW.net

微分形式を計算規則で公理的に定義する立場って存在すんの？
多様体上の関数上の加群であることくらいは記述できても、自由加群であることとか合成(特に制限)に関することを上手く記述できそうだと思えないが

587 ：１３２人目の素数さん：2024/05/06(月) 22:24:02.06 ID:BrY/Xomq.net

>>586
dg algebraのこと？

588 ： 警備員[Lv.10][苗]：2024/05/07(火) 18:32:24.32 ID:9LgougMS.net

分数になったり分数にならなかったり
約分できたりできなかったり
人を惑わすための記号です

589 ：１３２人目の素数さん：2024/05/07(火) 19:04:20.28 ID:5E2dMoXD.net

>>587
見た感じ、確かに微分形式の集合が満たす代数構造ではあるが、「多様体Mの微分形式とはこういう代数系の元のことである」と定義できる類のものではないな
一応>>505の問いに肯定的に答える方法が存在するかって疑問なんだが

590 ：１３２人目の素数さん：2024/05/14(火) 19:22:23.31 ID:P0cKpxiS.net

単なる微分形式の多元環じゃなく
多様体と関連するならライプニッツ則を含んだ定義しかないだろ

591 ：１３２人目の素数さん：2024/05/15(水) 00:33:41.98 ID:EQ3/SQn8.net

物理学にしろ幾何学にしろ
座標系に依存しない
コーディネートフリーに理論を記述したい。

592 ：１３２人目の素数さん：2024/05/15(水) 19:08:19.49 ID:+zn+M4xO.net

それ普通

593 ：１３２人目の素数さん：2024/05/16(木) 13:51:57.87 ID:dOg/6qA3.net

自然現象違って実験のしようがないから、無限とか虚数とか数学概念の一部は結局人間の脳内にあるじゃないの？

594 ：１３２人目の素数さん：2024/05/16(木) 16:56:06.34 ID:JNgkuu8E.net

物理法則だって人間の脳内にしかないだろ

595 ：１３２人目の素数さん：2024/05/16(木) 19:45:02.32 ID:W3TcXR3J.net

論理式という文字列によって表現可能なもののみが数学的対象だよ
そして虚数は余裕で論理式で表現できるし、超準解析の無限小は少し特殊な論理体系を使わないと表現できない

596 ：１３２人目の素数さん：2024/05/17(金) 20:47:44.92 ID:4CanK5sL.net

普通だろ