dx dy の意味は？★２

1 ：１３２人目の素数さん：2022/01/15(土) 21:40:30.08 ID:so1VKQTS.net

dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/

381 ：１３２人目の素数さん：2023/11/04(土) 17:28:58.37 ID:YeW6FE7J.net

>>379
消えろｗｗ

382 ：１３２人目の素数さん：2023/11/04(土) 17:33:34.90 ID:ZJbHQ0TF.net

>>380
ホントの意味は何にバッチリ書いているの？

383 ：１３２人目の素数さん：2023/11/04(土) 18:37:59.93 ID:i2S5g4xz.net

>>382
トゥー多様体とか多様体の教科書なら載ってると思う

384 ：１３２人目の素数さん：2023/11/04(土) 19:00:07.07 ID:YeW6FE7J.net

日本の教科書終わってるなｗ

385 ：１３２人目の素数さん：2023/11/04(土) 21:30:16.78 ID:YeW6FE7J.net

まあ接線の傾きすら知らんアホがいるスレだしなｗ

386 ：１３２人目の素数さん：2023/11/04(土) 22:51:46.55 ID:38wyn8QN.net

>>382
何にでも載ってるだろ
微分幾何学べよ

387 ：１３２人目の素数さん：2023/11/04(土) 23:22:32.26 ID:0W+oH0g5.net

まず微分作用素としての
接ベクトルの定義から

388 ：１３２人目の素数さん：2023/11/05(日) 00:59:36.54 ID:BR7I8ifb.net

おいおい大丈夫か？
Δと微分記号で使うdは同じだと盛大に勘違いしてる奴がいるぞw しかも自信満々なのが痛いw

Δとdの使い分け
https://science.shinshu-u.ac.jp/~tiiyama/?page_id=9128

Δ は 2 つの値の「差」を意味します。
(例えば、ΔU は 2 つの状態での内部エネルギー U の差 )

差をとるときは、常に「新しい方から古い方を引く」と覚えておいてください。(中略)
dU という表記が出てくるときがあります。これは ΔU と同じように 2 つの状態のエネルギー差を表しているのですが、その差が無限小まで小さくなっていることを表しています。

初歩中の初歩ですよマジで

389 ：１３２人目の素数さん：2023/11/05(日) 01:19:50.27 ID:mnbABCCP.net

>>388
ニュートン記法とかランダウの記号のほうがいいの？

390 ：１３２人目の素数さん：2023/11/05(日) 01:44:41.01 ID:IqHMdRFa.net

Δｙ＝ｆ'(ｘ)Δｘ ＋ αΔｘ 　　但しΔｘ→0のときα→0

これが答えだ

391 ：１３２人目の素数さん：2023/11/05(日) 05:40:08.92 ID:WtePLvZ5.net

>>388
同じでもいいやん

392 ：１３２人目の素数さん：2023/11/05(日) 14:18:12.34 ID:ZLXDCpHP.net

>>386
大抵の本は >>390 みたいな説明が書かれていて、直感的には分かるが厳密性に欠けるんじゃね？とハテナマークが壮大につくわけで。

393 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 09:03:44.67 ID:4HoFsi7p.net

接線とか接平面で理解したらいいだけでは？

394 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 10:42:34.23 ID:DN7G53u1.net

>>392
どの程度の厳密性を求めるかにもよるだろう

395 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 11:21:54.92 ID:AJDimmk/.net

>>394
他の学問ならまだしも、数学である以上論理学に還元できるレベルの厳密さが必要だよね

396 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 12:32:22.71 ID:DN7G53u1.net

論理学に還元できるレベルのことだと分かるなら
実際に厳密にそれを実行する必要はない
ラッセルとホワイトヘッドがやったことを
いちいちすべての数学でやってもしょうがない

397 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 16:35:17.34 ID:RVEkBJTR.net

だからって、「微小変位」みたいなのに戻れってのは抵抗感があまりにも大きすぎる。

398 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 17:03:48.94 ID:VoR2jbkn.net

どこがどう厳密じゃないのか一切言わないからな

ところで最近の日本人が使う「接ベクトル」という用語法は間違ってるはず

399 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 17:09:06.59 ID:VoR2jbkn.net

数学は論理がすべてとか言ってる奴こそ１００年前から進歩していない

400 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 18:58:49.04 ID:RVEkBJTR.net

>>398
微小とかが嫌だって書いているだろうにｗ

401 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 19:42:26.73 ID:AJDimmk/.net

>>396
「～のことだと分かる」って日本語の意味がよく分からないんだけど

402 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 20:10:20.65 ID:VoR2jbkn.net

>>400
dy≒Δｙとする事ができる程の微小という事

403 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 21:52:48.92 ID:W0cso/Z5.net

>>397
無限小でイイでしょ？
数列なら{1/n}は無限小
超準解析持ち出す必要も無し
持ち出して来てもいいけど

404 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 22:41:38.42 ID:BibX6e7B.net

>>399
数学は論理が全てではなくて、他にお気持ちとか重要なものはあるけど、それもこれも論理的正しさがベースにあってこそ

405 ：１３２人目の素数さん：2023/11/06(月) 23:54:01.29 ID:RVEkBJTR.net

>>402-403
曖昧過ぎるｗ
超準解析使うなら、「ここの理論は普通の数学者が忌み嫌う特殊理論を使いますよ！」みたいなのをはっきりと明記して欲しい。

406 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 00:20:59.50 ID:VbFajO2c.net

>>405
ワカランなら別にいいよ

407 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 00:22:06.63 ID:VbFajO2c.net

だいたい書いてる趣旨を誤認してるのは読んでないからだろうシナ

408 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 07:47:43.37 ID:EhFc3J9H.net

>>407
何番の書き込みのことをいっているのだ？

409 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 10:31:00.67 ID:ivDADiXg.net

>>397
390のどこに「微小変位」が必要？

410 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 11:00:40.38 ID:EhFc3J9H.net

Δx→0とあるぞ

411 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 11:16:34.50 ID:ivDADiXg.net

Δxは単なる変位では？

412 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 11:25:50.26 ID:VbFajO2c.net

だよね
微笑じゃない
→０の部分が微小の意と解釈できるけど
そこは無限小で

413 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 11:40:18.25 ID:1g155nkN.net

そもそもΔx→0って言葉も未定義語ではあるんだが

414 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 12:09:38.07 ID:EhFc3J9H.net

いずれにせよ曖昧だろｗ

415 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 13:53:50.92 ID:SLlI+vpk.net

極限の概念の基本的なところを
しっかり押さえていれば
全然あいまいなことはない

416 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 14:09:32.87 ID:SSuvZGNJ.net

>>413
未定義語じゃなく、「収束する」な

417 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 15:15:33.24 ID:eAJ2AoXz.net

普通の場合、単独では微分形式を表すし
積分記号∫と一緒のdx、dyは測度を表す

418 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 16:01:44.61 ID:1g155nkN.net

>>416
定義されてると思うなら論理式で定義を書いてみたら？
不可能だろうけど

419 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 19:48:27.29 ID:SSuvZGNJ.net

∃δ > 0, ∀Δｘ, 0 < |Δｘ| < δ

420 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 20:12:12.70 ID:vJtxykk/.net

>>419
閉論理式ワロタ
任意のδ>0に対してδ<|2δ|なので
∀δ > 0, ∃Δｘ, ¬(0 < |Δｘ| < δ)
よって偽

Δx→0が未定義じゃないとか「dxは微小変位」が厳密な定義とか言ってるやつって結局この程度の馬鹿しかいないんだよな

421 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 21:59:23.19 ID:ivDADiXg.net

>>420

>>Δx→0が未定義じゃないとか

全然未定義じゃない

422 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 22:30:51.29 ID:EwFVtkuX.net

>>421
だったら論理式で定義を書いてみたら？
ちなみに>>419の論理式は「実数には最大値が存在する」って意味の論理式で、もちろん偽だよ

423 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 23:09:10.78 ID:ivDADiXg.net

>>422
論理式の問題などではない

424 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 23:27:36.94 ID:SSuvZGNJ.net

∃δ>0, Δx∈A，B⊂A，∀h(h∈B→0<|ｈ|<δ)

425 ：１３２人目の素数さん：2023/11/07(火) 23:58:09.69 ID:EwFVtkuX.net

>>424
今度は集合Aに関する論理式かよワロタ
A=∅ならばΔx∈Aが存在しないので偽
A≠∅ならばδ=1, ΔxはAの元, B=∅とすることで∀h(h∈B→0<|ｈ|<δ)が真となるので全体も真
よってこの論理式は集合Aが空でないことと同値

で、集合Aが空でないことが何の定義になるんだよｗｗｗ

426 ：１３２人目の素数さん：2023/11/08(水) 00:03:59.47 ID:yWqWZedh.net

>>423
じゃあ君はどんな言語で定義を示してくれるの？

427 ：１３２人目の素数さん：2023/11/08(水) 00:17:35.65 ID:HaeF5xg3.net

既に定義済みなので必要なし

428 ：１３２人目の素数さん：2023/11/08(水) 07:04:44.39 ID:HaeF5xg3.net

対角線の近傍内の点

429 ：１３２人目の素数さん：2023/11/08(水) 08:27:10.85 ID:vXRh60v7.net

>>422
Δｘ→0はΔｘが０に近づくとき、であって近づくとは言っていない。

430 ：１３２人目の素数さん：2023/11/08(水) 08:28:46.65 ID:HaeF5xg3.net

Δはdiagonal

431 ：１３２人目の素数さん：2023/11/08(水) 16:28:55.08 ID:yWqWZedh.net

>>427
じゃあどこに定義が書かれてるの？

432 ：１３２人目の素数さん：2023/11/08(水) 16:29:40.67 ID:yWqWZedh.net

>>429
「Δｘが０に近づくとき」の定義は？

433 ：１３２人目の素数さん：2023/11/08(水) 16:42:38.69 ID:vXRh60v7.net

すべてのδより大きいΔｘをとって定義できなくしても
すべてのΔｘより大きいδをとって定義をすればおｋ

434 ：１３２人目の素数さん：2023/11/08(水) 17:06:51.66 ID:yWqWZedh.net

>>433
意味の取れない部分が多々あるんだけど、
1) まずそれは>>432の質問に対する回答ってことでいい？だとするとそれは「Δｘが０に近づくとき」の定義と解釈することになるけど
2) 「すべてのδより大きいΔｘをとって」や「すべてのΔｘより大きいδをとって」とは「∀δ, Δx>δを満たすΔxをとって」や「∀Δx, δ>Δxを満たすδをとって」という意味でいい？だとするとそのようなΔxもδも存在しないけど

435 ：１３２人目の素数さん：2023/11/08(水) 17:51:26.55 ID:vXRh60v7.net

じゃあ何が存在すんだよｗ

436 ：１３２人目の素数さん：2023/11/08(水) 18:46:49.74 ID:yWqWZedh.net

>>435
質問の意図が分からないけど、実数には0や1が存在するよ

それよりまず>>434の質問2つに答えろよ
はいかいいえの二択なんだから

437 ：１３２人目の素数さん：2023/11/08(水) 19:42:36.85 ID:vXRh60v7.net

>>436
学校行って聞いて来いやハゲ親父ｗ

438 ：１３２人目の素数さん：2023/11/09(木) 00:02:02.52 ID:b+6xWo5P.net

>>437
お前が書いた文章に関してお前がどういう意図で書いたか聞いてるんだからお前にしか聞きようがないだろ

439 ：１３２人目の素数さん：2023/11/09(木) 05:10:32.32 ID:p/K1taSK.net

クッサ

440 ：１３２人目の素数さん：2023/11/09(木) 07:06:19.86 ID:1ZwzN0Uh.net

田舎者たち

441 ：１３２人目の素数さん：2023/11/09(木) 14:59:53.80 ID:fDzcuy02.net

>>377 >>388
を書いた者だけど、つくづくレベル低いスレだな
的を外した聞きかじりの用語の羅列ばかり

誰か>>377の問いかけに答えてくれないものだろうか？

442 ：１３２人目の素数さん：2023/11/09(木) 20:17:16.12 ID:p/K1taSK.net

バカにはむーりー。

443 ：１３２人目の素数さん：2023/11/09(木) 22:37:10.97 ID:b+6xWo5P.net

>>441
数学的には不正確だけど、物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思う

444 ：１３２人目の素数さん：2023/11/10(金) 00:51:22.79 ID:AwagT77D.net

>>443
ここは数学板

445 ：１３２人目の素数さん：2023/11/10(金) 04:06:46.23 ID:cyl4Hcbk.net

自演糞死ね！

446 ：１３２人目の素数さん：2023/11/10(金) 09:16:39.43 ID:cyl4Hcbk.net

f(x)dxが原始関数の微分dF(x)になるというのが面白い

447 ：１３２人目の素数さん：2023/11/10(金) 14:18:33.82 ID:KxjkkWzW.net

>>444
物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思うけど、数学的には不正確、って言えばいい？

448 ：１３２人目の素数さん：2023/11/11(土) 00:12:25.12 ID:g3geMlEw.net

https://ameblo.jp/dance-dice/entry-12653770556.html

＞この無限小概念恐らくほぼ全ての工学者が理解しないまま使っています。博士号を取得した研究者や大学教授などに聞いても
＞「多分エンタルピーとか微分方程式の解法の操作とか本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいないと思う・・」
＞という意見をよく聞きます。そもそも教えられてないんだから分からないのも当然なんです。

そなの？ｗ

449 ：１３２人目の素数さん：2023/11/11(土) 18:45:17.83 ID:VM1+NUJR.net

ほぼ全ての工学者というか数学科を除くほぼ全ての理工系が理解してないし理解してないことを自覚してない

450 ：１３２人目の素数さん：2023/11/11(土) 19:43:12.32 ID:PBRHU33B.net

>>449
そんなことないよ
むしろ素朴な概念として理解できてる
その拡張はしないってだけ

451 ：１３２人目の素数さん：2023/11/11(土) 20:31:49.03 ID:8yU7EMOV.net

>>390が理解できるか理解できないかだろ

452 ：１３２人目の素数さん：2023/11/11(土) 20:41:47.85 ID:g3geMlEw.net

>>448
数学科の本だって、意味をズバリ書いた参考書はあれこれ探してやっとあるって状況なのに？

453 ：１３２人目の素数さん：2023/11/11(土) 21:10:50.97 ID:PBRHU33B.net

物理の人にたまによく聞かれるのは
なんで
(∂P/∂V)_T(∂V/∂T)_P(∂T/∂P)_V=-1
なのかってこと

454 ：１３２人目の素数さん：2023/11/11(土) 23:37:38.27 ID:VM1+NUJR.net

>>452
微分形式なんて多様体論の教科書ならどれでも載ってる

455 ：１３２人目の素数さん：2023/11/12(日) 01:10:04.65 ID:NO7vYvM7.net

>>454
意味をズバリやのに構文だけの微分形式とかｗ

456 ：１３２人目の素数さん：2023/11/12(日) 01:36:30.11 ID:X9OLp5fz.net

コタンジェントスペース
巨旦将来

457 ：１３２人目の素数さん：2023/11/12(日) 09:57:43.72 ID:NxcYCZJI.net

>>455
どういうこと？
微分形式が意味を持たないと思ってる？

458 ：１３２人目の素数さん：2023/11/12(日) 12:06:41.20 ID:X9OLp5fz.net

>>457
意味なんてない！だからいいんだ！！

459 ：１３２人目の素数さん：2023/11/12(日) 13:44:43.31 ID:SOc9iGva.net

意味が無いのにいきなり計算規則が発生するというのは不可解ｗ

460 ：１３２人目の素数さん：2023/11/12(日) 13:57:41.72 ID:xiujlBcd.net

現代数学そんなんばっかりヤー

461 ：１３２人目の素数さん：2023/11/12(日) 15:12:07.47 ID:/A4A4C9B.net

>>458
何言ってんだお前
微分形式は多様体上の共変テンソル場だろ

462 ：１３２人目の素数さん：2023/11/12(日) 17:05:01.24 ID:mnfmYQME.net

>>461
それ抽象的すぎて何も言っていないのと同義かと。
結局微少増分って元のアイディアがあって、その性質を突き詰めて考えるとそうなるってやつでしょ？
その結果、どうしてその計算規則が成り立つかわからんから >>448 みたいに「博士号を取得した研究者や大学教授
も本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない」という惨状に繋がっているんじゃないの？

463 ：１３２人目の素数さん：2023/11/13(月) 03:09:15.69 ID:Y7Xk5f++.net

>>本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない

それは「本当の意味で」の意味にもよるだろう

464 ：１３２人目の素数さん：2023/11/13(月) 16:22:18.48 ID:NKfcmFD+.net

>>462
> そうなるってやつでしょ？
伝聞調に見えるけどお前自身が微分形式の定義理解して書いてる？
中身知らずにポエム聞きかじっただけで理解したつもりになってない？

465 ：１３２人目の素数さん：2023/11/13(月) 20:54:18.05 ID:hpgCN73x.net

基地害見参

466 ：１３２人目の素数さん：2023/11/13(月) 23:59:34.74 ID:3ivFNyzC.net

>>464
それこそ微少増分程度の理解ですまして疑問符いっぱい状態。
というか、授業がどんどん先に進むから戻ってじっくり考えるってことができなかったし、しっかり理解できていたなら
ここでグチグチ言わんよｗ

467 ：１３２人目の素数さん：2023/11/20(月) 16:39:07.33 ID:1aWSKqzz.net

微分形式に関して多様体論の教科書の導入部分に書かれてるようなことを1から説明してみるか

まず、流れとしてはR^nにおいての接平面だの微分形式だのの定義があって、それの拡張として多様体での定義が得られる。
以下ではR^nをn次元縦ベクトルのなす集合、R_nをn次元横ベクトルのなす集合とする。またUをR^nの開集合、f: U→Rとする。
【微分の定義】
任意に点x∈Uをとる。以下の式が成り立つ横ベクトルA∈R_nが存在すれば、「関数fは点xで微分可能」という。
f(x+h)=f(x)+Ah+o(h) (h→0)
このときAをfの点xにおける微分係数といい、f'(x)と表す。fが任意の点で微分可能ならfは微分可能といい、導関数f': U→R_nが定義される。以下fを微分可能であるとする
【R^nにおける微分形式の定義】
任意に点x∈Uをとる。f'(x)∈R_nなので以下のように線形関数df_x: R^n→Rを定義できる。
df_x(v)=f'(x)v
これが任意の点xで定義されるから、Uの元を添字にもつ線形写像の族dfを定義できる。このdfをfの外微分という。
【微分形式の直感的意味】
点p∈Uをとる。微分の定義より
f(p+h)-f(p)=df_p(h)+o(h) (h→0)
が成り立つ。逆に言えばこのような線形関数df_pが存在することが微分可能性の定義とも言える。気持ちとしては点pの近くで関数f(p+h)-f(p)を線形関数df_pによって近似できるということ。
【dxについて】
第i座標への射影(x_1, …, x_n)→x_iをx_iと書く。(多項式関数のイメージ。記号の濫用なので注意。)するとdx_iは第i座標への射影となる。特にn=1ならば(このとき一般的にx_1と書かずxと書くが)xは恒等関数なので、dxは恒等関数である。
【多様体について】
多様体とはざっくり言えば座標を一つ与えればR^nの議論に落とし込める空間のこと。なので多様体の接平面や微分形式は、座標を一つ与えればR^nの接平面や微分形式が誘導されるように定義される。詳細は自分で勉強して。

要するにdfは微小量ではなく線形関数です、という話

468 ：１３２人目の素数さん：2023/11/20(月) 21:03:25.23 ID:mGrD9qP0.net

>>467
やっぱ微小量がいいなあ
nonstandard解析で

469 ：１３２人目の素数さん：2023/11/20(月) 21:04:12.41 ID:mGrD9qP0.net

位相もnonstandardでmonadだっけ
アレでやった方がいいような気がする

470 ：１３２人目の素数さん：2023/11/21(火) 03:28:41.00 ID:xqhq4zSt.net

>>467
長文書いて画面占領すれば勝ちと思ってるAhoh(アホウ)

471 ：１３２人目の素数さん：2023/11/21(火) 09:09:16.83 ID:P91Hf6On.net

微小量では近似的な関係にすぎないところを
厳密になりたつように改良したのが微分形式

472 ：１３２人目の素数さん：2023/11/21(火) 13:37:48.54 ID:W0lkXlzY.net

>>467
フムフム
なるほど

473 ：１３２人目の素数さん：2023/11/21(火) 21:05:51.77 ID:xqhq4zSt.net

>>467は>>390と全く同じなんだがｗ

474 ：１３２人目の素数さん：2023/11/21(火) 21:58:57.24 ID:tkt2EQPE.net

>>468
メタ定理ってあんまり使いたくないんだよな

475 ：１３２人目の素数さん：2023/11/21(火) 22:32:08.37 ID:P91Hf6On.net

∫F(x)dxのdxは微分形式から定まる測度
という意味で、本来ならば、∫F(x)[dx]
のように区別して書くべきところだけど
単にdxと書かれるから混乱が生じている

476 ：１３２人目の素数さん：2023/11/21(火) 22:52:22.62 ID:Q4KrBHYQ.net

>>475
f(x)dxで1-formでしょ？

477 ：１３２人目の素数さん：2023/11/22(水) 00:02:32.51 ID:+pjWx480.net

dx:微分形式
δx:微小量
Δx:無限小
[dx]:測度
みたいな区別をして教えるべき

478 ：１３２人目の素数さん：2023/11/22(水) 00:08:51.55 ID:qA5tKRcg.net

>>473
そういやそうだなｗ

479 ：１３２人目の素数さん：2023/11/22(水) 00:42:39.99 ID:cvDYtBuK.net

>>476
それがどうした？

480 ：１３２人目の素数さん：2023/11/22(水) 00:43:16.11 ID:WsDwy1Le.net

>>390
現代数学っていうのはそもそもこういう変数の関係式？みたいなもので記述する建て付けになっていないんだけどな
まあここの奴らは理解できないしする気もないんだろうが