dx dy の意味は？★２

1 ：１３２人目の素数さん：2022/01/15(土) 21:40:30.08 ID:so1VKQTS.net

dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/

199 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:01:37.81 ID:HqLLFG7c.net

測度の方も変換するのでは？

200 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:05:15.43 ID:IwcYTa+Q.net

>>199
その通り
>>196は積分の変数変換ではない

201 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:05:16.42 ID:+B+HT00f.net

ヨコだが“dfが測度を与える”というのはStieltjes積分の意味やろ

関数φ(x)が与えられたときBorel可測集合上の測度μ(φ:X)を
μ( φ; (a,b) ) = f(b-0) - f(a+0)
μ( φ; {a} ) = f(a+0) - f(a-0)
で定めることができる
そしてこの測度による積分を∫f(x)dφ(x) などと書く場合がある
この場合のφは別に微分可能でなくても良いし、なんなら連続ですらなくてもよい、(むしろ連続でない場合にこそ真骨頂がある)
しかし可微分である場合には
∫f(x)dφ(x) = ∫f(x)φ'(x)dx
とかが成り立ったりしてる
もちろんこの意味でのdφの解釈は大切だし数学科卒なら絶対理解してないとだめなやつではあるんだけどな
しかし微分形式という解釈を押しのけて第一義的にこれとまでは言えないやろな

202 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:10:20.08 ID:J1/WkiBO.net

>>199
よくわからないんですけど、その測度の変換が常にヤコビアンになっているという主張なのではないですか？

203 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:19:47.61 ID:S8j7c3Fh.net

>>200
すみませんが、文献を示していただけないでしょうか？

204 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:27:22.31 ID:ULI7COT+.net

>>198の測度を使えば

∫_R dx = 1

x = 2y とおくと

∫_R dx ≠ ∫_R 2dy = 2

205 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:32:14.81 ID:J1/WkiBO.net

>>199
極座標の例では
f:X→Y、(r,θ)→(x,y)では、(r,θ)における長方形Dが、(x,y)においてはバウムクーヘンの切れ端f(D)みたいなものに変換されますよね？X=Y=R^2

その測度間の変換は比例関係にあるというのが通常の変数変換の公式です
μ_Y(f(D))=r*μ_X(D)
μ_X、μ_YはX,Yの測度


>>196の例では
f:X→Y、x→x+1によって、Xでの[0,1]区間CがYでの[1,2]区間f(C)へと移動しています
X=Y=[>>196における(R,Σ,μ)]

もし仮に、上の極座標と同様の関係が成り立つのであれば

μ_Y(f(C))=0∝μ_X(C)=1となるはずです

しかしそうではないということは、通常の常識は通用していないということですよね？

206 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:58:18.00 ID:J1/WkiBO.net

>>204
こちらの方がわかりやすいですね

通常の変換公式使うと答えが合いません

207 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:12:02.74 ID:kqlGdb+O.net

>>204
Mは1次元多様体
p∈M
(U, φ)は、pを含む座標近傍Uで、U〜R、φ(p) = 0となるもの。
ω∈Ω^1(M)、ωはU上でf(x)dx、M＼U上では0と表せるとする。fはなめらかな関数で、f(0)≠0とする。

Rの測度として、>>198のδ_0を取った場合を考える。

∫_M ω = ∫_R f(x)dx = ∫_R f(x)dδ_0 = f(0)

(V, ψ)は、pを含む別の開近傍で、V〜R、ψ(p) = 0。
V上でωはg(y)dy、M＼V上では0と表されるとする。このとき、

∫_M ω = ∫_R g(y)dy = ∫_R g(y)dδ_0 = g(0)

よって、f(0) = g(0)。

U∩V上では、ψ○φ^(-1)(x) = 2xと表されるとする。

このとき、

∫_R g(y)dy = ∫_R g(2x) 2dx = 2g(0) ≠ g(0)（矛盾）

なるほど

208 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:12:49.47 ID:J1/WkiBO.net

よくよく考えたら、変数変換でヤコビアンが出るという事実が測度に依存するなんて当たり前でしたね

物理の人とかはdxdyとかを微小体積としてヤコビアン出してるわけです
そうできるのは、dxを微小量として考えているからであって、微小変化量というのは明らかにルベーグ測度の考え方です

209 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:20:24.63 ID:jyfGByJ+.net

・微分形式は体積（測度）とは独立
・Lebesgue測度とはたまたま一致する

ことが示されたのでは？

210 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:25:52.12 ID:ZBzIPk+2.net

いや、

�@ Lebesgue測度では、微小変化量の2次以降の部分は消える
�A その構造をたまたま代数的に実現できる道具があったので、それを微分形式の定義にした

のでは？やはり微小変化量が本質。余接ベクトル場は方便

211 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:26:33.56 ID:S8j7c3Fh.net

どっちでもええのでは

212 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:28:35.43 ID:vMSo+2Nd.net

厳密さを謳えるような和書の「カレント」の理論の教科書ってないの？。

213 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:33:59.84 ID:iWu+1cUG.net

>>210
逆ではないのかと思う
すべては微分形式からはじまる

214 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:38:52.10 ID:J2mj5aKy.net

>>213
>>204で見たとおり、微分形式じゃルベーグ測度以外の積分と整合しないじゃん
つまり、微分形式は特別な場合に上手くいくだけのただのツール

215 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:39:27.90 ID:J1/WkiBO.net

>>213
微分形式を使って>>204を説明してください

216 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:44:57.45 ID:iWu+1cUG.net

多様体においては、微分形式と整合
しない測度は排除されるべきなのだよ

217 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:08:41.08 ID:HqLLFG7c.net

微分形式での測度って体積要素だろ
ルベーグ測度に対応する体積要素が dx
他の測度は別の体積要素になる
ディラック測度のような測度はカレントの理論が必要

218 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:12:09.88 ID:9Xp9ZnRc.net

微分形式は関手性と座標変換によって特徴付けられるわけだから
座標変換を変えることによって、Lebesgue測度以外の測度に対しても、微分形式のように振る舞うベクトル束を構成できる？

219 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:18:15.78 ID:9Xp9ZnRc.net

(U, φ_U), (V, φ_V), (W, φ_W)を3つの座標近傍
φ_V○φ_U^(-1) =: φ_VUなどと書くことにして、
座標変換fに伴うJacobianに相当するものを∂fなどと書くことにすると
U∩V∩W上で、

∂φ_UW ∂φ_WV ∂φ_VU = 1

みたいな条件が必要になると思うけど

220 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:18:32.87 ID:J1/WkiBO.net

>>217
前半はそうじゃないと思いますよ
ある体積要素でのあるサイクルの積分が実際のサイクルのルベーグ測度と一致するかどうかとは無関係に、微分形式である限り変数変換すればヤコビアン出てきちゃいますよね？
変数変換でヤコビアンが出るという性質は、測度に依存したものであることが先ほど示されたので、やはり微分形式と積分を両立させるには測度に依存した議論が必要になると思います

>>218
何を言ってるのかわかりません
座標変換を変えるってなんですか？
で変えるとなにがどう微分形式のようなベクトル束ができると言ってるのでしょうか

221 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:20:40.62 ID:9Xp9ZnRc.net

あとStokesの定理を成り立たせるためには、外微分も変えなきゃいかんね

222 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:32:40.23 ID:9Xp9ZnRc.net

�@
n次元多様体Mに対して、次数付けられたベクトル空間

Ω(M) = Ω^0(M)⊕...⊕Ω^n(M)

と、線形写像d: Ω^k(M) →Ω^(k+1)(M)が存在。

�A
多様体の射f: M → Nに対して、引き戻しf*: Ω(N)→Ω(M)が存在

�B
座標近傍(U, φ)上で、k次の成分がf(x)dxみたいに書けて、別の座標近傍(V, ψ)とそこでの表示g(y)dyを取ると、nCk次行列T(y)があって

f(x)dx = T(y) g(y)dy

をみたす（k = 0, 1, ..., n）


微分形式の場合は、dは外微分で、TはJacobi行列（から作られる行列）だったわけだが
dとTを適切に選べば、ルベーグ測度以外でも多様体上の積分と同じ理論を作れるか？
とりあえずは、Stokesの定理を成り立たせるのが目標

223 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:42:52.53 ID:9Xp9ZnRc.net

あと、de Rhamコホモロジーの類似もできるといい
だから

d○d = 0

も要求

224 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:53:34.52 ID:J1/WkiBO.net

難しいと思いますね

R上のディラック測度δ_0を考えます

y=x+1として

1=∫[-1/2,1/2]dx≠∫[1/2,3/2]f(y)dy=0

fとしてなにを選んでもこうなってしまうので、少なくとも、Ω^1(M)の元dxをそのまま積分記号と解釈することは難しいのではないかと思います

225 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:20:34.91 ID:J1/WkiBO.net

>>217
よくよく考えたらこれでいい気がしてきました

>>224の場合は、通常の測度と微分形式を用いて、ディラックのδ関数使って

1=∫[-1/2,1/2]δ(x)dx=∫[1/2,3/2]δ(y-1)dy=1

これでいいですもんね

δ関数の正当性とか考え始めるとカレントが必要ってことなのでしょう

であと問題になるのは、任意の測度を微分形式の言葉に書き直せるのかってところですけどそこらへんはどうなんでしょうか

226 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:29:45.51 ID:J1/WkiBO.net

というか違いますね
私なんか勘違いしてましたけど、多様体の測度と、チャートで映されたユークリッド空間の測度は別にしないといけないんですね

多様体上に変な測度を考えるときは、ルベーグ測度を用いたユークリッド空間上で非自明な体積形式を考えてそれに関するルベーグ測度を用いた積分を行えば良い

ですが、この方法で全ての多様体上の測度を尽くせるかはよくわからないと

227 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:32:33.35 ID:PurIzGqx.net

微分形式と全く同じく、たとえばMが2次元なら

Ω^0 = M上の関数
Ω^1 = M上の関数を係数としてdx, dyで張られる
Ω^2 = M上の関数dxdyで張られる

とすればよいのでは。

で、別のdx', dy'をとったときに

dx = A(x', y')dx' + B(x', y')dy'
dy = C(x', y')dx' + D(x', y')dy'

dxdy = E(x', y')dx'dy'

という座標変換が必要。
普通の微分形式の場合は、A, B, C, D, Eはヤコビ行列から決まった。
今回は、与えられた測度での積分の座標変換と整合するように定める。

あとは、ストークスやドラームを外微分dを適切に定義する必要がある。

228 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:37:53.42 ID:S8j7c3Fh.net

>>227
> ストークスやドラームを
ストークスやドラームが成り立つように

229 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:41:22.74 ID:eorRLiVQ.net

ストークスを考えるには、境界上の積分が必要だから、R^nの測度というより

R, R^2, ..., R^n

すべてに何らかの意味で一貫した測度が入ってなきゃいかんね

230 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:51:22.33 ID:S8j7c3Fh.net

そこはRの測度が最初にあって、その積測度で良さそう

231 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:57:16.57 ID:YwPImppC.net

まぁ自分の中で第一義に何をもつてくるのかは自由だわな
しかし理系の人間が話し合って、例えば何を最初に教えるかという議論をするなら話違ってくる
もちろんその場合は微分形式一択やろ
これだけ現代数学、現代物理学を学んでいく上で避けて通れない概念も中々ない
まず微分形式と解釈した場合の主だった定理や公式を理解した上で、その上でイヤイヤこんな解釈もあると進のはいいやろけど
そんな事考えるのはまず学部の数学一通り全部理解した後の話だよ

232 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 00:01:43.68 ID:t62VOHED.net

ディラック測度の積測度ってなに？
δ_a×δ_bは、

(a, b)を含むなら1、含まないなら0？

第一成分への射影がaを含む or 第二成分への射影がbを含むなら1、そうでなければ0？

233 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 00:05:07.84 ID:+7a+OQ6M.net

μ×λ(E×F) = μ(E)×λ(F)

234 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 00:05:15.16 ID:+7a+OQ6M.net

だから前者

235 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 00:11:37.91 ID:+7a+OQ6M.net

あと、測度に完備性を要求するなら、積取ったあとに完備化しないといけない

236 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 07:52:23.12 ID:7bYC0zD4.net

>>204,224
そうはならない
x,yそれぞれに測度を勝手に導入して
微分形式だけ変換しても一致するわけないだろ
測度とは長さ面積体積などの計量の一般化なのだから
それらが対応するように変換しなければ
そもそも積分の変数変換とは呼ばないのだよ
そんなの当たり前のことだ
ディラック測度δ_0はディラックのδ関数と微分形式によって
dδ_0(x)=δ(x)dxと解釈することはできる
x=2yとするなら
dδ_0(x)=δ(x)dx=δ(2y)d(2y)=(1/2)δ(y)2dy=δ(y)dy=dδ_0(y)
よって
f(0)=∫_Rf(x)dδ_0(x)=∫_Rf(2y)dδ_0(y)=f(0)
x=y-1とするなら
dδ_0(x)=δ(x)dx=δ(y-1)d(y-1)=δ(y-1)dy=dδ_1(y)
f(0)=∫_Rf(x)dδ_0(x)=∫_Rf(y-1)dδ_1(y)=f(0)
そもそも
変数変換で値が変わらないように測度が対応するからこそ積分の変数変換と呼ばれるのだよ
x=gIy)という変数の対応でdx=g'(y)dyなのだから
これで積分が変わらないように測度が対応するのが理の当然

237 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 08:01:43.75 ID:CTuxYQFj.net

この馬鹿の存在意義は何？

238 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 08:04:15.78 ID:7bYC0zD4.net

>>237
煽りたいんだろうけどつまんないから消えてくれないかな
自分の存在価値を認識していないからこそ居座ってるんだろうけど

239 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 08:06:30.88 ID:RG3eK+cf.net

>>236
それはどの本に書いてある？

240 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 08:07:49.14 ID:w3gTR0DZ.net

>>236
消えろ

241 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 08:19:57.48 ID:w3gTR0DZ.net

>>236
こいつのヤバさは、他人の書き込みを読まない上に、妄想全開の俺理論を自信満々に書いちゃうところ
誰も聞いてないのに唐突に言霊とか占星術とかの話を仕出すヤバい奴に似ている

242 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 08:35:53.88 ID:7bYC0zD4.net

>>241
下らない奴だな
感心するよ

243 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 08:43:43.43 ID:QtY3jn7V.net

>>236
話が噛み合ってない
野球の話をしているのに、「オフサイドというルールがある」とか言い出してるようなもん

244 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 08:47:05.37 ID:7bYC0zD4.net

>>225
>任意の測度を微分形式の言葉に書き直せるのか
できるように書くことはできる
ディラックのδ関数がまさにそれ
F(D,f(x))=∫_Df(x)dF=∫_Df(x)F'dx
みたいに書くだけ

245 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 08:49:23.26 ID:7bYC0zD4.net

>>243
アホかね
積分の変数変換で積分値が変わっちゃそりゃ変数変換とは呼ばない
これが根本原理なのだよ
俺はただそれだけ言っているに過ぎない
測度の方が対応せねばならないってだけ

246 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 08:50:15.49 ID:OK3EArEI.net

>>245
自分が会話できてない自覚ある？

247 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 08:53:09.65 ID:tazSePYK.net

>>245
> アホかね
鏡に向かって言ってんのか？

248 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 09:01:27.36 ID:tazSePYK.net

"話が噛み合ってない"んじゃなくて、明確に"間違っている"んだよなあ……

249 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 09:08:59.36 ID:+7a+OQ6M.net

そもそも誰も

「変数変換で積分値が変わる」

なんて言っとらんがな

250 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 09:21:43.32 ID:7bYC0zD4.net

>>249
理解できて何より
だから測度側が対応せねばならないわけ

251 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 09:24:15.91 ID:94fRbQFD.net

>>250
わかったから、もう書き込まないでね

252 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 09:25:20.35 ID:7bYC0zD4.net

はぁ
必要なら書き込むしそうでなければ書き込まないというだけ
当たり前の理の当然でしょ？

253 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 09:55:09.05 ID:gLQNC7ek.net

>>241
よほど悔しかったようだなｗ

254 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 11:09:23.39 ID:gsVb7mxT.net

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０　♪ｼﾂﾓﾝｯﾁｬﾏ!新ｽｨｨ彼ﾋﾟｯﾋﾟ
　　)ﾉ゛相性知ﾘﾀｨｶﾗ…
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b　　教ｪﾃｸﾗﾊｨ♪ｸﾗﾊｨ♪♪
|　　　(>>241)ノ゛ｩﾗﾅｨ!ﾅｨﾅｨ!!
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(　　)
( 　)!
! !Σ◇゛
　
　
０♯
(　　)ﾉ゛　当ﾀｯﾃﾙｶﾗ!
(　)
! !　□

255 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 11:26:56.49 ID:7P24zMv4.net

　０♯　教ｪﾃｧｹﾞﾅｨｼ
(`∆´#)　先生ﾆ言ｨｯｹﾃｬﾙ!
(ﾉ□٩)♯
　Ω
　

…ﾃﾞ、占ｨ嫌ｨﾅ>>241ｯﾁｬﾏゎ、
　　　♐射手座ｶﾅﾆｶﾅﾉ?
　
ｯﾃ…教ｪﾃｸﾚﾃﾓｺｯﾁゎ♯
　　 教ｪﾃｬﾗﾈｪｶﾗﾅｧ?　＃
　０＃
(`△´#)　ｨｷﾅﾘdisｶｮ?
（ﾉ◇٩)　 数板ﾗｼｨｾﾞ!
　√

256 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 11:28:30.68 ID:7P24zMv4.net

|ｧﾋｨﾝ!
|=3

257 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 12:16:33.43 ID:rPlioHHK.net

>>227
取れるなら一通りしかないのは明らかだが、取れるのかな？

φ: V → Uで変数変換したときに

∫_U f(x)dx = ∫_V f(φ(y))ψ(y)dy

の形のψ(y)が存在するかどうか？

258 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 12:22:14.21 ID:Beuf2hsZ.net

∫_V f(y)ψ(y) dy

を内積<f, ψ>のように考えて、リースの表現定理（ https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E5%AE%9A%E7%90%86 ）などを使って示すことになると思う
だから、fにも自乗可積分などの条件を課すことが必要そう（MがコンパクトならOK？）

259 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 15:57:37.00 ID:i1idL9ha.net

>>178
微分形式を考えるのは、積分のためではない。
だから代数多様体でも余接ベクトル空間を考えるのが役に立つ。
積分との関係は、ルベーグ積分のときのみうまくいき、ルベーグ測度以外ではうまく行かないのはあなたの言うとおり。

260 ：１３２人目の素数さん：2022/01/24(月) 10:46:23.70 ID:z3cHUaF6.net

そのとおり
積分のための微分形式ではない
微分形式のための積分なのだ

261 ：１３２人目の素数さん：2022/01/24(月) 12:31:08.05 ID:TkvF+Grc.net

知ったかぶったことをどうしてそんなに得意げに書き込めるの？

262 ：１３２人目の素数さん：2022/01/24(月) 13:44:09.69 ID:QCq7ihs1.net

>>258
>fにも自乗可積分などの条件を課すことが必要そう（MがコンパクトならOK？）
fに条件がいるかどうかは考えている積分の定義（測度の定義）による

263 ：１３２人目の素数さん：2022/01/24(月) 14:24:14.56 ID:4SSpBRxh.net

発作起こしてた松坂おばさん
やっと沈静化した？

264 ：１３２人目の素数さん：2022/01/24(月) 14:47:14.33 ID:yrZ8gMKs.net

>>262
そりゃそうだろ

265 ：１３２人目の素数さん：2022/01/24(月) 14:50:18.73 ID:RjGpGDAR.net

>>263
ここで発作起こしてたのは松坂くんではなく劣等感婆さんという別人です
松坂くんと比べると学力は圧倒的に劣等感婆さんのほうが上です

266 ：１３２人目の素数さん：2022/01/24(月) 16:30:29.92 ID:4SSpBRxh.net

>>265
似たり寄ったりでしょ

267 ：１３２人目の素数さん：2022/01/25(火) 16:32:10.72 ID:QsDvNn76.net

ｄｘのｘは点ｐに座標ｘ(ｐ)を対応させる座標関数

268 ：１３２人目の素数さん：2022/01/25(火) 20:30:29.30 ID:dkH9fU//.net

日英翻訳にもStokesの定理が成り立つ

∫_ねぎ green onion = ∫_玉ねぎ onion

269 ：１３２人目の素数さん：2022/01/25(火) 21:26:24.86 ID:uLUOKdsi.net

ごめん
わからない

270 ：１３２人目の素数さん：2022/01/25(火) 22:03:26.90 ID:QsDvNn76.net

(dy/dx)は(d/dx)yであって割り算ではない
(d/dx)は、いわゆる『導分』である

271 ：１３２人目の素数さん：2022/01/27(木) 23:48:04.93 ID:I2FzVPYe.net

玉ねぎ最近ぐう高い

272 ：１３２人目の素数さん：2022/01/28(金) 12:10:48.04 ID:urTAE4W7.net

微分形式は、複素多様体や代数多様体でのリーマン・ロッホの定理に出てくる。
可微分多様体では、微分形式は、ドラームコホモロジーの定義で必要となる。

273 ：１３２人目の素数さん：2022/02/02(水) 11:38:38.64 ID:w4zJIEf1.net

積分は難しく考えないほうがいいな
単に〈ω,D〉という内積みたいなもの
測度論は測度論であって数学ではない
応用集合論の一種だと思ってればいい
ルベーグ積分とか、それを必要とする
特殊な人間以外はやらなくてよいし

274 ：１３２人目の素数さん：2022/02/02(水) 19:18:46.80 ID:hHNr3y9c.net

>>273
お前ルベーグ積分を知らないだろ。
積分を使う者にとって、ルベーグ積分の各種定理は非常にありがたい定理だろ。
測度論をやるのは、積分を使う者には無意味と思うよ。
だから、コンパクトサポートの連続関数の積分を拡張するというやり方で、ルベーグ積分を定義すれば良い。

275 ：１３２人目の素数さん：2022/02/02(水) 20:12:53.79 ID:eyBYZhtb.net

>>273
>測度論は測度論であって数学ではない
>応用集合論の一種だと思ってればいい
？

276 ：１３２人目の素数さん：2022/02/08(火) 10:24:13.58 ID:bpmt6fe7.net

知ってるとか知らないとかいうよりむしろ
ルベーグ測度は一種のハール測度だからな
ハール測度はつねに存在し本質的にひとつ

277 ：１３２人目の素数さん：2022/02/09(水) 15:21:37.12 ID:2V0NF7bz.net

ルベーグ測度はハール測度だが
「一種の」とはどういう意味なんだ？

278 ：１３２人目の素数さん：2022/02/09(水) 15:30:47.39 ID:Vc4NhJ9s.net

実数上に定義されたのがルベーグ測度という意図では
ハール測度はもっと一般の位相群の場合として

279 ：１３２人目の素数さん：2022/02/15(火) 21:59:53.58 ID:ODbRnHMH.net

>>5
この前、読んだときはさっぱりわからなかったが
MTなんとかってyoutuberのおしゃべり聞いて
一般相対論おもい出したら理解できた。
MTなんとかって人すごすぎ。

280 ：１３２人目の素数さん：2022/02/15(火) 22:12:29.61 ID:ODbRnHMH.net

>>158
うん。
俺は全くの独学で一般相対論に挑戦したもんだから
dxやdyをバンバン使った定理の導出がしっくりいかなかった。
それらを微小な物理量をとして使いまくってるし。
微分形式つう考え方を昨日知って、かなり納得した。
ほかのスレを読むとらさらにいろいろあるんだな。
こりゃまだまだ勉強のしがいがあるね。

281 ：１３２人目の素数さん：2022/04/29(金) 20:09:31.76 ID:wkSbS1nf.net

http://cgi.2chan.net/m/thumb/1651219212325s.jpg

282 ：１３２人目の素数さん：2022/06/30(木) 23:57:29.61 ID:GkjSVMZ0.net

だれか日本語でたのむ

283 ：１３２人目の素数さん：2022/07/04(月) 01:12:33.28 ID:n7SpNwyl.net

>>280
無限小解析がいいよ

284 ：１３２人目の素数さん：2022/07/04(月) 16:45:45.37 ID:USvPXeOe.net

>>283
それは数学界の極秘事項

285 ：１３２人目の素数さん：2022/09/26(月) 21:44:52.84 ID:R9NWmhPe.net

>>268
おもろいやないか

286 ：１３２人目の素数さん：2022/12/11(日) 09:16:23.63 ID:9TtA0IG0.net

微分形式
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667892304/

287 ：１３２人目の素数さん：2022/12/11(日) 12:39:09.24 ID:/dTeH2uI.net

数学は概念の関係性を明らかにする学問。
dx,dyは無限小と見てもいいし、
線形写像と捉えてもいい。
集合論や圏論などを用いて基礎づけられ、
合理的考えることができればそれで良い。
定めたルールから逸脱しなければ良いのだ。

288 ：１３２人目の素数さん：2022/12/12(月) 04:34:17.58 ID:dmeLN5eH.net

Total calculus

∂x ∂y=dx+dy
∂^2 xy=dx+dy

289 ：&#127822;：2022/12/12(月) 05:21:10.30 ID:dmeLN5eH.net

Total calculus

∂x∂y=dx+dy

∂^2ζ2)xy=dζ(1)x+dζ(1)y

∂^2ζ(2)=(dx+dy)/xy

∂^2π^2/6=(dx+dy)/xy

∂^2π^2=6(dx+dy)/xy

xy∂^2=6(dx+dy)π^-2

🍎algebra

Infinite addition of normal natural numbers
±1±2±3±4±5±6±･･････±∞≒±1/12⇔
0=0,
0=0/0,
0=±∞/0,
0=±0/±∞,
0=±∞/±∞

±1/12=±0,±∞±1/2,±1,±2,±3,±4±,5,±6,±7,±8,±9,±10,±11,±12
when
-1/12⇔=0=⇔π^2/6

-1≈=π^2=e^πi ±1≈0=decimal

e^πi +1≒0⇔
→↑↓→e^πi±1←↑↓←

The type of space-time is
ζ、Γζη、ξ

0→M⇔➗⇔÷⇔2π^2


6･･････π^2
★
6･･････π^2

290 ：１３２人目の素数さん：2022/12/12(月) 05:36:41.63 ID:dmeLN5eH.net

It is renormalizable by supersymmetry transformation.

291 ：１３２人目の素数さん：2022/12/12(月) 05:54:09.66 ID:dmeLN5eH.net

Censoring the ζ(n) function, where n is the number of all mathematical symbolic digits used in the equation under consideration, returns the desired equation.

292 ：１３２人目の素数さん：2022/12/12(月) 11:06:12.30 ID:oxlRdJ6N.net

dxは無限小ではないだろう
無限小とか数学に必要なのか？

293 ：１３２人目の素数さん：2022/12/20(火) 17:02:18.39 ID:a7AHPdMN.net

まずもってdxは微分形式だわな
そこから適当な測度がえられる

294 ：１３２人目の素数さん：2022/12/21(水) 22:52:47.74 ID:F669Iarw.net

https://i.imgur.com/Pn9A3A0.jpg
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https://i.imgur.com/IGqJwD9.jpg

295 ：１３２人目の素数さん：2023/01/13(金) 16:18:24.75 ID:Pr3tqnRJ.net

地球上（簡単のため真球として）の1平方mは、事実上dsとみなせる。地面の1平方mの正方形を見て、「地球は丸いから平面からずれた曲面球面だと気にする人はいないだろう。

296 ：１３２人目の素数さん：2023/01/13(金) 16:39:31.96 ID:D/S7f5ap.net

無限小

297 ：１３２人目の素数さん：2023/01/14(土) 01:31:30.75 ID:J99W+3QX.net

曖昧すぎる

298 ：１３２人目の素数さん：2023/01/16(月) 08:02:52.69 ID:iEsfLPd1.net

無限小ってホントに存在するのか？