dx dy の意味は？★２

19 ：１３２人目の素数さん：2022/01/17(月) 16:10:51.48 ID:R3o1PZL6.net

Mをn次元微分可能多様体、p_0∈Mとする。
Mは十分大きなR^Nに埋め込まれているとする。

p_0の十分小さな近傍Uでは、R^nの開集合Wとの間の同相写像。

p: W → U

が存在。

何次元でも同じなので、2次元とする
s_0, t_0を、p(s_0, t_0) = p_0を満たすものとする。
p_0における（幾何学的な）接平面はp_0を通り、{∂p/∂s(s_0, t_0), ∂p/∂t(s_0, t_0)} で張られる平面。


続いて、方向微分。p_0を通る曲線εを考える。IをRの開区間として、εは

ε: I → M

と書けるとする。これは上のpによって、局所的には

ε: I → W → M
u → (s(u), t(u)) → p(s(u), t(u))

を考えるのと同じ。これをuで微分すると、ε(u_0) =(s_0, t_0)として

∂s/∂u(u_0) ∂p/∂s(s_0, t_0) + ∂t/∂u(u_0) ∂p/∂t(s_0, t_0)

となる。つまり、これ + p_0は接平面上の点になる。