dx dy の意味は？★２

1 ：１３２人目の素数さん：2022/01/15(土) 21:40:30.08 ID:so1VKQTS.net

dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/

136 ：１３２人目の素数さん：2022/01/20(木) 19:18:19.25 ID:bi6aYMcM.net

>>135
ハイハイどもすみませｎ

137 ：１３２人目の素数さん：2022/01/20(木) 21:33:29.66 ID:RIDP7V6h.net

この（前）スレでたびたび出てくる「双代空間」ってのは、要するに

通常空間にたいして、それにぴったりひっついているような別の空間、例えば電場の空間とか磁場とか…

みたいなのを想定するみたいなカンジ？？
線形性を保持しているとかの性質があるような条件が必要で…

138 ：１３２人目の素数さん：2022/01/20(木) 21:56:10.35 ID:xJXfm/Bp.net

>>137
＞双代空間

双対はそうたい(そうだい？)ではなく「そうつい」と読みます……簡単に言えば与えられた空間上の関数全体からなる空間です
電場や磁場のように「(物理的な)ベクトル場の作用している空間」ではなく、3次元空間に対してその線形関数全体のなすベクトル空間のことです
線形性を保持というのは意味がわかりませんが、ベクトル空間の双対空間はベクトル空間になるので、その上の線形写像を考えることはできますね

139 ：１３２人目の素数さん：2022/01/20(木) 23:49:11.46 ID:iH9Wu1Ef.net

双対の明確な定義はないけど、入れ替えても同じなので、片方を証明すれば、もう片方も証明できる

140 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 00:39:17.17 ID:6tN2yX9s.net

>>137
たとえ話的に言うとベクトルに対する物差しみたいなのが双対ベクトル
双対ベクトルはベクトルを受け取ってそのベクトルに対してある種の量を返す
例えばベクトルのx成分を測ってくれる物差しは双対ベクトル
こういう物差し全体を双対空間(dual space)といってV^*とか表記する
(但し物差しで測られるベクトル全体(=ベクトル空間)をVとした)
物理的な例でいえば、一定の力Fとの内積<F,->は変位ベクトルrを測って力Fがした仕事Wがどれぐらいか教えてくれるので双対ベクトル
他にも一定の電場Eとの内積<E,->が変位ベクトルrに対して双対ベクトル(測定結果は電位差)だったり色んなところに出て来る
双対ベクトル(covector)の図示に関してはこれが分かりやすい
https://www.youtube.com/watch?v=LNoQ_Q5JQMY

141 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 00:42:56.62 ID:+HaI3rF6.net

>>137
k上のVに対してV*=Hom(V,k)

142 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 00:44:23.60 ID:+HaI3rF6.net

Hom_k(V,k)か

143 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 00:49:14.55 ID:Xg1Nb4Vi.net

測度のようなちょっと難しい話だとwikipedia以上のことは出てこないのに、双対空間のような簡単な話題になると沢山のレスが即座に着くんですね

144 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 01:02:25.67 ID:F4x/y85F.net

またおまえかｗ

145 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 02:25:42.04 ID:bMhMb28h.net

質問の内容がはっきりしてると答えやすいってのはありそう

146 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 09:25:27.46 ID:5KxroCc0.net

>>137
ゴミ

147 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 11:28:47.47 ID:OiDYUFN1.net

>>137
あなたに必要なのは
思い込みを捨てること

歴代の数学者が連綿と紡いできた学問体系を
自身の瑣末な知識の類推と捉えないこと

数学を理解するには
一字一句丁寧に数学書を読むしかないんです

概念の定義を正確に理解する
具体例を計算する
証明の行間を補う
ある性質を示すために、何の定理を使ったのか
その仮定と結論は何か、本当に仮定の条件を満たしているのか
ある条件がいかに証明に用いられるのか、その条件を除いたら反例を作れるのか
………

そういったことを丹念にこなして初めて数学は理解できるのです
時には別の文献に当たらねばならぬこともあるでしょう
有名な本であっても致命的な誤植や誤りがあることもあるでしょう
しかし、それは普通のことです
学術書は、それらの障害を乗り越えられる人を対象に書かれています

学問とは
試験のための知識を詰め込むことでも、他人にひけらかすための知恵を身に付けることでもありません
その学問が研究している対象それ自体を理解し、その深い洞察を前提として、独自の観点・問題意識から対象を分析・再体系化することです

あなたには学問をするための心構えがまるで足りていません
いつまでも親鳥に餌を運んでもらう雛のように、受動的に教えを乞うています

あるいはこう考えているのかも知れません
数学は受験勉強のように学ぶべき範囲が決まっていて
それを手取り足取り教ええくれる教材や学校があって
資格試験のようなものに合格しさえすれば数学を修めたと言える、と

そういう考えは今すぐに捨てなさい
学問とか以前の問題です
こんな考えを持っている人間は、社会で生きていくための基礎ができていません

148 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 15:16:48.08 ID:2VuWN/fK.net

アホな議論を、見て、
まず、微分可能とは、局所的に線型写像で近似できることであること、を確認する必要がある。
近似線型写像の定義域は、接ベクトル空間だろう。
実数値関数の近似線型写像は、接ベクトル空間を定義域とする実数値線型写像となる。
これは、接ベクトル空間の双対空間の要素（余接ベクトル）である。
接ベクトルは実体が解りにくいが、余接ベクトルは実数値関数の近似線型写像として実体を持つ。
で、次のように定義すればよい、
実数値関数の近似線型写像を余接ベクトルという、余接ベクトル全体は自然に加法とスカラー倍が定義出来る、これを余接ベクトル空間という。
代数多様体においても、類似の方法で、余接ベクトル空間を定義出来る（特異点以外）。

149 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 15:35:28.40 ID:2VuWN/fK.net

>>148
上記で、余接ベクトルが微分形式である。

150 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 15:47:15.95 ID:fCN3shDz.net

なあ
なぜ、ごく初歩的な教科書を読めば、誤解の余地のない説明がされているものを
わざわざ自己流に言い直すんだ？

馬鹿なのか？

151 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 17:44:07.68 ID:A4TW65KS.net

分かりやすく（少しぐらい厳密さを欠いたとしても）言い直そうと思っているとか？

152 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 17:47:31.61 ID:ilK07ywZ.net

微分形式は単なる余接ベクトルではないんだろ？

153 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 18:29:15.75 ID:ndFMSCWt.net

>>150
それよりも読点多すぎて馬鹿っぽく見える

154 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 23:01:37.27 ID:5KxroCc0.net

"dxは微小体積"派の人は、
χ_ℚをℚの特性関数として

∫_[0, 1] χ_ℚ(x) dx

は、どのように解釈するのですか？積分不可能？

155 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 23:39:05.93 ID:Xg1Nb4Vi.net

また面白そうなネタ持ってきましたね

156 ：１３２人目の素数さん：2022/01/21(金) 23:53:50.67 ID:bMhMb28h.net

>>154
そんな派閥ねえよ

157 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 00:27:43.92 ID:QB7P5WQ9.net

積分でなくdxが体積とか何その派閥
誰が言い出したんだよ

158 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 03:48:13.42 ID:vMSo+2Nd.net

>>147
微分形式は物理学でも便利な道具なんだが？。

なんか中途半端に解析概論ぐらいで厳密だと思って大上段からご講釈垂れられると思って偉そうにするほうがお門違い。

159 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 07:31:49.83 ID:J1/WkiBO.net

でもビブンケイシキガーさんは、>>122のようなちょっと突っ込んだ微分形式の議論に対してはまともなこと書き込めてなかったですよね

160 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 08:05:19.41 ID:rA+iqt4v.net

質問の意図が不明瞭だからな
「済む」って何だよ

161 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 09:17:44.09 ID:iWu+1cUG.net

ビブンケイシキガーって誰よ
そんな奴おらんよ？

162 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 10:56:14.74 ID:IwcYTa+Q.net

>>159
その人の懸念が何なのか不明確すぎて誰も答えられまいよ

163 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 12:24:22.53 ID:UVCje5B3.net

>>158
>>147のどこに「解析概論」の話が出てるの？

164 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 12:24:53.15 ID:UVCje5B3.net

>>160>>162
それはお前が馬鹿なだけ
質問の意図は明瞭

165 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 12:27:00.57 ID:UVCje5B3.net

実際>>130は答えてるじゃないか(笑)

166 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 13:30:20.13 ID:rjqBadwf.net

コミュ力が足りないんじゃないないのか？

167 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 14:47:06.23 ID:ZAKe07xD.net

劣等感婆ともう一人ヤバいやついないか？

168 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 14:51:18.22 ID:x205BXVe.net

>>130
開部分多様体を取るとコンパクトでなくなるから、各R^nの測度を取り替えたときまでは分からないな（分からないというか、議論の範囲外）

169 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 14:53:31.27 ID:iD0HdcE9.net

>>168
積分をするときに使う1の分割の各サポートはコンパクトにできるから、同じ議論でいけるのでは？

170 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 15:01:30.13 ID:kmtUzQci.net

で、問題はLebesgue測度以外の測度でも、変数変換したらJacobi行列式がでてくんの？

って話

171 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 15:07:31.61 ID:EvvVK1vl.net

測度のpush forwardというのがあってだな
重積分の変数変換公式はその特別な場合

172 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 15:44:18.95 ID:gukP0VNl.net

pull backでは？

173 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 15:47:14.39 ID:gukP0VNl.net

あ、いやなんでもない

174 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 16:16:45.93 ID:rSXcab0w.net

Wikipedia読んでも、具体的にどう対応するのかイマイチ掴めない
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Pushforward_measure

たとえば

D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≦ 1}

として

x = r cosθ
y = r sinθ

と変数変換したときの

∫ _D dxdy = ∫_[0, 1]×[0, 2π] rdrdθ

では、どうなってるん？

175 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 16:32:58.26 ID:+B+HT00f.net

dx = cosθdr - rsinθdθ
dy = sinθdr + rcosθdθ

dx∧dy
= ( cosθdr - rsinθdθ ) ∧ ( sinθdr + rcosθdθ )
= - rsinθdθ ∧ sinθdr + cosθdr ∧ rcosθdθ
= - rsinθsinθdθ∧dr + rcosθcosθdr∧dθ
= rsinθsinθdr∧dθ + rcosθcosθdr∧dθ
= rdr∧dθ

wikipediaで勉強するとかあり得ん

176 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 16:34:02.42 ID:IwcYTa+Q.net

>>164
ハイハイどもすんませんな
明確なら
微分形式の定義や操作が
変わるかも知れないと
思ったわけを説明してね

177 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 16:36:39.79 ID:mFLKbH+b.net

>>175
こいつは馬鹿なのか

178 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 16:37:08.72 ID:IwcYTa+Q.net

>>165
それは>>58への回答であって>>122の意味不明な懸念
>多様体上の積分における変数変換公式は、外微分と外積代数の性質から来ていて、それが上手いこと重積分の変数変換公式と整合している
>もし、R^nの測度としてLebesgue測度以外をとったら、微分形式側の定義や操作を修正しなくて済むのかどうか知りたい
への回答では無い

179 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 16:37:47.65 ID:mFLKbH+b.net

>>178
意味わからないのはお前の頭が悪いからだよ

180 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 16:37:52.82 ID:IwcYTa+Q.net

>>177
あんた
かき回したいだけならどっか行ってくれないかな

181 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 16:40:38.44 ID:mFLKbH+b.net

>>180
話の流れを理解できていないのはお前

182 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 16:41:42.26 ID:IwcYTa+Q.net

>>170
コレなら明確
変数変換した先の測度を元の測度を送った物として定義するなら
ヤコビアン出てくるのは理の当然

183 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 16:43:41.75 ID:Njw87jxp.net

>>182
それはどうして？

184 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 16:51:03.95 ID:fsCyphlD.net

>>182
Lebesgue測度に対しても、変数変換にJacobi行列式が出てくることは、全く自明ではないと思うのだが

その議論が書いてある参考文献教えてくれ

185 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 17:08:49.83 ID:IwcYTa+Q.net

送った先の測度が元の測度にヤコビアンを掛けた物と一致しているからこそ
積分の変数変換になるからだよ
だから理由も何も
定義そのものと言えるアホらしい状況

186 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 17:18:11.38 ID:twNHdfr4.net

>>185
ｋｗｓｋ

187 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 17:28:04.90 ID:05rIUjyz.net

>>185
繰り返しスマン
少なくともLebesgue測度に限っても、変数変換にJacobianが出てくることは全く自明ではないと思うのだが、そういう議論をしている教科書があるなら教えてくれ

188 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 18:13:20.93 ID:05rIUjyz.net

>>185
何度もすみません。

普通の微分積分の教科書で、変数変換公式の証明を「定義そのもの」で済ませているものは無いと思います。
たしかに微分積分の教科書はRiemann積分ですが、Lebesgue積分になったところで自明になるようなものでは無いと思います。
私の認識不足でしたらすみませんが、そういう議論をしている教科書があれば教えて下さい。お願いします

189 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 18:50:31.14 ID:WVP6yMrM.net

|(>>167)ｬﾊﾞｨｬｯ…
０
　　)…
〥)
! !
　
|　
０　…ﾋｪｯ
;´д`) ｬ゛ｩ゛ｧ゛ｨ゛ｬ゛ｯ゛
!　!)　ｶﾞｫﾙﾝｬ…
δδ

190 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 18:51:57.07 ID:WVP6yMrM.net

…ｺﾜｨﾅｧ…
…戸締り首都高…

191 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 18:56:43.35 ID:WVP6yMrM.net

ﾄﾞのﾚｽ のｺﾄゃろか…
ｺﾚｶﾞﾜｶﾗﾅｨ…

…難問ゃな…

　　。◯
　゜

192 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 19:09:55.27 ID:1E9gPKAd.net

>>174
これよくわからないんですけど、変数変換と関係あるんですか？
ないと思うんですけどどうなんでしょう？

測度空間(X1,Σ1,μ)を用いて、測度が未定義の可測空間(X2,Σ2)の測度f*μを新たに定義するという話ですよね？

変数変換の場合、どちらの空間にも測度は既に定義済みだと思います

にしても、ビブンケイシキガーは本当役に立ちませんね
グダグダ文句垂れてできることといえば脳死で変数変換の記号いじりだけじゃないですか

193 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 19:27:49.22 ID:S8j7c3Fh.net

>>185
お調べいただいている最中でしたらすみません。
何度もすみませんが、積分の変数変換にJacobi行列式が出てくることは、Lebesgue測度に限っても、全く自明なことではないと思います。
実際、微分積分の教科書では、変数変換公式を一般の場合に証明するのに多くのページを費やしています。学部1-2年でやる微分積分はRiemann積分ですが、Lebesgue積分になったからと言って、変数変換公式が自明になるとは思えません。
私が寡聞にして存じないだけでしたらすみませんが、そのような議論をしている文献があれば教えて下さい。

194 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 19:29:23.27 ID:iWu+1cUG.net

教えない

195 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 19:35:23.08 ID:iWu+1cUG.net

すまん
>>194は>>192

196 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 19:35:25.83 ID:J1/WkiBO.net

これが多分ルベーグ測度以外だと変数変換がおかしくなることの具体例になると思います

•X(R,Σ,μ)を測度空間とする。
R:実数
Σ:ボレル集合
μ: μ(E)=μ_L{x∈E| 0≦x≦1}、E∈Σ
ここで、μ_Lは通常のルベーグ測度

f:X→X、f(x)=x+1を考える
C=[0,1]⊂Xとすると、f(C)=[1,2]⊂X

このとき
∫_C dx=1、∫_f(C) dx=0
fのヤコビアンは1ですが、積分の値は一致していません

197 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 19:39:34.33 ID:S8j7c3Fh.net

>>196
なるほど

198 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 19:47:13.53 ID:S8j7c3Fh.net

Dirac測度
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E6%B8%AC%E5%BA%A6

δ_x(A) := 1 if x∈A, 0 otherwise

を考えても、変数変換公式成り立たない例を作れますね！

199 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:01:37.81 ID:HqLLFG7c.net

測度の方も変換するのでは？

200 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:05:15.43 ID:IwcYTa+Q.net

>>199
その通り
>>196は積分の変数変換ではない

201 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:05:16.42 ID:+B+HT00f.net

ヨコだが“dfが測度を与える”というのはStieltjes積分の意味やろ

関数φ(x)が与えられたときBorel可測集合上の測度μ(φ:X)を
μ( φ; (a,b) ) = f(b-0) - f(a+0)
μ( φ; {a} ) = f(a+0) - f(a-0)
で定めることができる
そしてこの測度による積分を∫f(x)dφ(x) などと書く場合がある
この場合のφは別に微分可能でなくても良いし、なんなら連続ですらなくてもよい、(むしろ連続でない場合にこそ真骨頂がある)
しかし可微分である場合には
∫f(x)dφ(x) = ∫f(x)φ'(x)dx
とかが成り立ったりしてる
もちろんこの意味でのdφの解釈は大切だし数学科卒なら絶対理解してないとだめなやつではあるんだけどな
しかし微分形式という解釈を押しのけて第一義的にこれとまでは言えないやろな

202 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:10:20.08 ID:J1/WkiBO.net

>>199
よくわからないんですけど、その測度の変換が常にヤコビアンになっているという主張なのではないですか？

203 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:19:47.61 ID:S8j7c3Fh.net

>>200
すみませんが、文献を示していただけないでしょうか？

204 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:27:22.31 ID:ULI7COT+.net

>>198の測度を使えば

∫_R dx = 1

x = 2y とおくと

∫_R dx ≠ ∫_R 2dy = 2

205 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:32:14.81 ID:J1/WkiBO.net

>>199
極座標の例では
f:X→Y、(r,θ)→(x,y)では、(r,θ)における長方形Dが、(x,y)においてはバウムクーヘンの切れ端f(D)みたいなものに変換されますよね？X=Y=R^2

その測度間の変換は比例関係にあるというのが通常の変数変換の公式です
μ_Y(f(D))=r*μ_X(D)
μ_X、μ_YはX,Yの測度


>>196の例では
f:X→Y、x→x+1によって、Xでの[0,1]区間CがYでの[1,2]区間f(C)へと移動しています
X=Y=[>>196における(R,Σ,μ)]

もし仮に、上の極座標と同様の関係が成り立つのであれば

μ_Y(f(C))=0∝μ_X(C)=1となるはずです

しかしそうではないということは、通常の常識は通用していないということですよね？

206 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 20:58:18.00 ID:J1/WkiBO.net

>>204
こちらの方がわかりやすいですね

通常の変換公式使うと答えが合いません

207 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:12:02.74 ID:kqlGdb+O.net

>>204
Mは1次元多様体
p∈M
(U, φ)は、pを含む座標近傍Uで、U〜R、φ(p) = 0となるもの。
ω∈Ω^1(M)、ωはU上でf(x)dx、M＼U上では0と表せるとする。fはなめらかな関数で、f(0)≠0とする。

Rの測度として、>>198のδ_0を取った場合を考える。

∫_M ω = ∫_R f(x)dx = ∫_R f(x)dδ_0 = f(0)

(V, ψ)は、pを含む別の開近傍で、V〜R、ψ(p) = 0。
V上でωはg(y)dy、M＼V上では0と表されるとする。このとき、

∫_M ω = ∫_R g(y)dy = ∫_R g(y)dδ_0 = g(0)

よって、f(0) = g(0)。

U∩V上では、ψ○φ^(-1)(x) = 2xと表されるとする。

このとき、

∫_R g(y)dy = ∫_R g(2x) 2dx = 2g(0) ≠ g(0)（矛盾）

なるほど

208 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:12:49.47 ID:J1/WkiBO.net

よくよく考えたら、変数変換でヤコビアンが出るという事実が測度に依存するなんて当たり前でしたね

物理の人とかはdxdyとかを微小体積としてヤコビアン出してるわけです
そうできるのは、dxを微小量として考えているからであって、微小変化量というのは明らかにルベーグ測度の考え方です

209 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:20:24.63 ID:jyfGByJ+.net

・微分形式は体積（測度）とは独立
・Lebesgue測度とはたまたま一致する

ことが示されたのでは？

210 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:25:52.12 ID:ZBzIPk+2.net

いや、

�@ Lebesgue測度では、微小変化量の2次以降の部分は消える
�A その構造をたまたま代数的に実現できる道具があったので、それを微分形式の定義にした

のでは？やはり微小変化量が本質。余接ベクトル場は方便

211 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:26:33.56 ID:S8j7c3Fh.net

どっちでもええのでは

212 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:28:35.43 ID:vMSo+2Nd.net

厳密さを謳えるような和書の「カレント」の理論の教科書ってないの？。

213 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:33:59.84 ID:iWu+1cUG.net

>>210
逆ではないのかと思う
すべては微分形式からはじまる

214 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:38:52.10 ID:J2mj5aKy.net

>>213
>>204で見たとおり、微分形式じゃルベーグ測度以外の積分と整合しないじゃん
つまり、微分形式は特別な場合に上手くいくだけのただのツール

215 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:39:27.90 ID:J1/WkiBO.net

>>213
微分形式を使って>>204を説明してください

216 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 21:44:57.45 ID:iWu+1cUG.net

多様体においては、微分形式と整合
しない測度は排除されるべきなのだよ

217 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:08:41.08 ID:HqLLFG7c.net

微分形式での測度って体積要素だろ
ルベーグ測度に対応する体積要素が dx
他の測度は別の体積要素になる
ディラック測度のような測度はカレントの理論が必要

218 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:12:09.88 ID:9Xp9ZnRc.net

微分形式は関手性と座標変換によって特徴付けられるわけだから
座標変換を変えることによって、Lebesgue測度以外の測度に対しても、微分形式のように振る舞うベクトル束を構成できる？

219 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:18:15.78 ID:9Xp9ZnRc.net

(U, φ_U), (V, φ_V), (W, φ_W)を3つの座標近傍
φ_V○φ_U^(-1) =: φ_VUなどと書くことにして、
座標変換fに伴うJacobianに相当するものを∂fなどと書くことにすると
U∩V∩W上で、

∂φ_UW ∂φ_WV ∂φ_VU = 1

みたいな条件が必要になると思うけど

220 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:18:32.87 ID:J1/WkiBO.net

>>217
前半はそうじゃないと思いますよ
ある体積要素でのあるサイクルの積分が実際のサイクルのルベーグ測度と一致するかどうかとは無関係に、微分形式である限り変数変換すればヤコビアン出てきちゃいますよね？
変数変換でヤコビアンが出るという性質は、測度に依存したものであることが先ほど示されたので、やはり微分形式と積分を両立させるには測度に依存した議論が必要になると思います

>>218
何を言ってるのかわかりません
座標変換を変えるってなんですか？
で変えるとなにがどう微分形式のようなベクトル束ができると言ってるのでしょうか

221 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:20:40.62 ID:9Xp9ZnRc.net

あとStokesの定理を成り立たせるためには、外微分も変えなきゃいかんね

222 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:32:40.23 ID:9Xp9ZnRc.net

�@
n次元多様体Mに対して、次数付けられたベクトル空間

Ω(M) = Ω^0(M)⊕...⊕Ω^n(M)

と、線形写像d: Ω^k(M) →Ω^(k+1)(M)が存在。

�A
多様体の射f: M → Nに対して、引き戻しf*: Ω(N)→Ω(M)が存在

�B
座標近傍(U, φ)上で、k次の成分がf(x)dxみたいに書けて、別の座標近傍(V, ψ)とそこでの表示g(y)dyを取ると、nCk次行列T(y)があって

f(x)dx = T(y) g(y)dy

をみたす（k = 0, 1, ..., n）


微分形式の場合は、dは外微分で、TはJacobi行列（から作られる行列）だったわけだが
dとTを適切に選べば、ルベーグ測度以外でも多様体上の積分と同じ理論を作れるか？
とりあえずは、Stokesの定理を成り立たせるのが目標

223 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:42:52.53 ID:9Xp9ZnRc.net

あと、de Rhamコホモロジーの類似もできるといい
だから

d○d = 0

も要求

224 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 22:53:34.52 ID:J1/WkiBO.net

難しいと思いますね

R上のディラック測度δ_0を考えます

y=x+1として

1=∫[-1/2,1/2]dx≠∫[1/2,3/2]f(y)dy=0

fとしてなにを選んでもこうなってしまうので、少なくとも、Ω^1(M)の元dxをそのまま積分記号と解釈することは難しいのではないかと思います

225 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:20:34.91 ID:J1/WkiBO.net

>>217
よくよく考えたらこれでいい気がしてきました

>>224の場合は、通常の測度と微分形式を用いて、ディラックのδ関数使って

1=∫[-1/2,1/2]δ(x)dx=∫[1/2,3/2]δ(y-1)dy=1

これでいいですもんね

δ関数の正当性とか考え始めるとカレントが必要ってことなのでしょう

であと問題になるのは、任意の測度を微分形式の言葉に書き直せるのかってところですけどそこらへんはどうなんでしょうか

226 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:29:45.51 ID:J1/WkiBO.net

というか違いますね
私なんか勘違いしてましたけど、多様体の測度と、チャートで映されたユークリッド空間の測度は別にしないといけないんですね

多様体上に変な測度を考えるときは、ルベーグ測度を用いたユークリッド空間上で非自明な体積形式を考えてそれに関するルベーグ測度を用いた積分を行えば良い

ですが、この方法で全ての多様体上の測度を尽くせるかはよくわからないと

227 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:32:33.35 ID:PurIzGqx.net

微分形式と全く同じく、たとえばMが2次元なら

Ω^0 = M上の関数
Ω^1 = M上の関数を係数としてdx, dyで張られる
Ω^2 = M上の関数dxdyで張られる

とすればよいのでは。

で、別のdx', dy'をとったときに

dx = A(x', y')dx' + B(x', y')dy'
dy = C(x', y')dx' + D(x', y')dy'

dxdy = E(x', y')dx'dy'

という座標変換が必要。
普通の微分形式の場合は、A, B, C, D, Eはヤコビ行列から決まった。
今回は、与えられた測度での積分の座標変換と整合するように定める。

あとは、ストークスやドラームを外微分dを適切に定義する必要がある。

228 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:37:53.42 ID:S8j7c3Fh.net

>>227
> ストークスやドラームを
ストークスやドラームが成り立つように

229 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:41:22.74 ID:eorRLiVQ.net

ストークスを考えるには、境界上の積分が必要だから、R^nの測度というより

R, R^2, ..., R^n

すべてに何らかの意味で一貫した測度が入ってなきゃいかんね

230 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:51:22.33 ID:S8j7c3Fh.net

そこはRの測度が最初にあって、その積測度で良さそう

231 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:57:16.57 ID:YwPImppC.net

まぁ自分の中で第一義に何をもつてくるのかは自由だわな
しかし理系の人間が話し合って、例えば何を最初に教えるかという議論をするなら話違ってくる
もちろんその場合は微分形式一択やろ
これだけ現代数学、現代物理学を学んでいく上で避けて通れない概念も中々ない
まず微分形式と解釈した場合の主だった定理や公式を理解した上で、その上でイヤイヤこんな解釈もあると進のはいいやろけど
そんな事考えるのはまず学部の数学一通り全部理解した後の話だよ

232 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 00:01:43.68 ID:t62VOHED.net

ディラック測度の積測度ってなに？
δ_a×δ_bは、

(a, b)を含むなら1、含まないなら0？

第一成分への射影がaを含む or 第二成分への射影がbを含むなら1、そうでなければ0？

233 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 00:05:07.84 ID:+7a+OQ6M.net

μ×λ(E×F) = μ(E)×λ(F)

234 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 00:05:15.16 ID:+7a+OQ6M.net

だから前者

235 ：１３２人目の素数さん：2022/01/23(日) 00:11:37.91 ID:+7a+OQ6M.net

あと、測度に完備性を要求するなら、積取ったあとに完備化しないといけない