純粋・応用数学（含むガロア理論）6

338 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/02(土) 09:39:00.75 ID:k00K5jWz.net

>>288 訂正と補足

　　動画冒頭の”定理 群準同型 Φ：G→G’による正規部分群N’の逆像 Φ-1(N’)はGの正規部分群である”の証明は、結構難しい
　　（多分、下記 大矢 浩徳 定理 10.6 (第 3 同型定理) を、使って証明することになると思う ）
　　　↓
　　動画の”定理 群準同型 Φ：G→G’による正規部分群N’の逆像 Φ-1(N’)はGの正規部分群である”の証明は、結構難しい
　　（多分、下記 大矢 浩徳 定理 10.6 (第 3 同型定理)等を、使って証明することになると思う ）
（補足）
準同型写像Φで
　Im Φ＝G’⊇　Ｎ’　　　⊇{e’} で、
　　↑↓
逆像　 Ｇ　　⊇Φ-1(N’)⊇kerΦ⊇{e}
という対応関係になる
（簡単のために、G’は有限群とする）
検索しても、良い文献が見つからないので、自分で考えてみると

証明の筋としては、kerΦが正規部分群になることを言って、剰余類群 Ｇ/kerΦを作って（kerΦ＝Ｎとして G/N={g1N,g2N,・・・,gm-1N,N} ）
{g1N,g2N,・・・,gm-1N,N} の成す商群を考える（mはn！の約数）
第一同型定理より、G’≡G/N（同型）で、
Ｎ’の逆像、Φ-1(N’)が群になることを、G/N={g1N,g2N,・・・,gm-1N,N} を使っていう
（実質は、群同型 G’←→G/N：Φ （全単射（又は１体１対応））で終わっている気がする）
あらすじとしては、全単射から、Ｇ’＝{g1’,g2’,・・・,gm-1’,e’} と書けて、商群Ｇ’/N’＝[g1’N’,g2’N’,・・・,gm-1’N’,N’]を作ると、N’は正規部分群だから任意のgi’でgi’N’gi’-1 =N’を示して
Ｇ’/N’＝[g1’N’,g2’N’,・・・,gm-1’N’,N’]の逆像で
N’の像Φ-1(N’)が群を成し（結合則、単位元、逆元を示す）、任意のg∈Gに対して、g(Φ-1(N’))g-1＝Φ-1(N’)を示す（ここで「gi’N’gi’-1 =N’」を使う）
こんな感じでしょう

途中で、”kerΦが正規部分群になることを言って、剰余類群 Ｇ/kerΦを作って”とやっているから、この証明だと、龍氏の動画の証明は循環論法になってしまうのです
なお、「（簡単のために、G’は有限群とする）」としたけど、G’が無限群の場合はどうなるのでしょうかね？ よく分からなかったな（＾＾；