純粋・応用数学（含むガロア理論）6

318 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/02(土) 00:13:42.07 ID:k00K5jWz.net

>>317
つづき

P39
例 3 (問題が起こる場合)．Z の部分群 mZ を用いた類別 Z/mZ の代わりに，
3 次対称群 S3 = {(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)} の部分群 H = {(1),(1 2)} を用いた類別
S3 = (1)H ∪ (1 3)H ∪ (2 3)H
= {(1),(1 2)} ∪ {(1 3),(1 2 3)} ∪ {(2 3),(1 3 2)}
= (1 2)H ∪ (1 2 3)H ∪ (1 3 2)H
を考えてみる．このとき，3 つの元からなる集合 S3 /〜 = {(1)H,(1 3)H,(2 3)H} に対して，積 * を
(aH) * (bH) := (a ◯ b)H
と定義する．すなわち，代表元 a,b の積 a ◯ b = c の属する cH を積 (aH) * (bH) として定める．し
かし，これでは積は (うまく) 定義されていない．なぜなら，
(1 3)H * (2 3)H = (1 3)(2 3)H = (1 3 2)H = (2 3)H
であるが，別の代表元を取れば，
(1 3)H * (2 3)H = (1 2 3)H * (2 3)H = (1 2 3)(2 3)H = (1 2)H = (1)H
となり，積 (1 3)H * (2 3)H の結果が，代表元の選び方によって変わってしまうからである．

つづく