純粋・応用数学（含むガロア理論）6

310 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/02(土) 00:10:00.50 ID:k00K5jWz.net

>>309

つづき

性質
G と H が群で φ: G → H が準同型であれば、φ の核の G における指数は像の位数に等しい：
|G:kerΦ|=|imΦ|.

有限指数
無限群 G は有限指数の部分群 H をもつかもしれない（例えば整数全体の群において偶数全体の部分群）。そのような部分群はつねにまた有限指数の（G の）正規部分群 N を含む。実は、H が指数 n をもてば、N の指数は n! のある因子としてとることができる。実際、N はG から H の左（または右）剰余類の置換群への自然な準同型の核にとることができる。

特別な場合 n = 2 は指数 2 の部分群は正規部分群であるという一般的な結果を与える、なぜならば正規群（上の N）は指数 2 をもたなければならずそれゆえもとの部分群と同一でなければならない。より一般に、（G が有限であれば）p を G の位数の最小素因子として指数 p の部分群は必ず正規である、なぜならば N の指数は p! を割り切るので他の素因数をもたないから p に等しくなければならない。

指数が最小素数 p の部分群は正規であるという結果の別証明や、素数指数の部分群の他の性質は (Lam 2004) において与えられる。

例
上記の考察は有限群に対しても正しい。

つづく