数理論理学（数学基礎論）　その14

1 ：１３２人目の素数さん：2019/03/22(金) 11:55:47.59 ID:oVa5RLRo.net

数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その13
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532721493/

555 ：１３２人目の素数さん：2021/07/17(土) 22:02:41.42 ID:y8Sg6VhU.net

>>554
はい、これ

Georg Kreisel and Jean-Louis Krivine, Elements of Mathematical Logic (Model Theory), North-Holland, 1967.

https://www.irif.fr/~krivine//articles/Elements_logic.pdf

556 ：１３２人目の素数さん：2021/07/17(土) 22:55:56.62 ID:fZREC01i.net

>>555
該当章なりページなりキーワードなり教えてもらえると有り難いです

557 ：１３２人目の素数さん：2021/07/18(日) 06:24:45.12 ID:u5PSE1Nv.net

読んで分からんのなら説明聞いても無駄だ

558 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 14:11:06.36 ID:t5qdrllK.net

Quora「不完全性定理とはなんですか？」

不完全性定理はヒルベルトの計画を破ったと言われる定理です。

ヒルベルトの時代においては述語論理は第一階述語論理、第二階述語論理と論理関数の階数建てに応じて別れていたのですが、ヒルベルトの計画としては述語論理は無矛盾であれば完全であることが示すことができると予想されていました。つまり第一階述語論理の完全性証明から初めて、第二階、第三階、‥と階数を上げて証明していき、数学的帰納法を使って第ｎ階述語論理も完全という命題を証明して述語論理は完全という証明をしていこうという方針だったようです。

実際1929年にはゲーデルが第一階述語論理の完全性証明を提出して全部の階数の述語論理の完全性証明に第一歩が踏み出されたかと思われました。

ところが1931年に同じくゲーデルが形式体系が自然数論を含んでいると決定不可能性命題を構成できてしまうという不完全性定理を証明してしまいました。実は次に完全性を示すべき第二階述語論理は、第一階述語論理と違って、その自然数論を含んでいる形式体系だったのです。

つまり控えめなゲーデルはヒルベルトに気を使ってまわりくどく、

第二階述語論理は決定不可能性命題が作れる形式体系ですよ＝第二階述語論理の完全性証明は不可能ですよ＝第二階以上も当然無理＝ヒルベルトの計画は破綻しましたよ

ということを不完全性定理を通して間接的に主張したのです。

ヒルベルトもそれを認めてアッケルマンとの共書の「記号論理学の基礎」の後の版で「ゲーデルは第二階述語論理が不完全であることを示した」と書いてヒルベルトの計画は打ち捨てられることになりました。結果、若い数学者のゲーデルが大数学者のヒルベルトを打ち倒すというセンセーショナルな結果をもたらした定理となりました。

つまり質問に回答すると「第二階以上の述語論理は、第一階述語論理と違って、不完全な形式体系であることを控えめに回りくどく主張した定理」です。


こんな話聞いたことない。

559 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 02:37:29.76 ID:XFSJMVT+.net

出典のリンク貼ってくれ

560 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 02:50:53.28 ID:mgXrJ18Y.net

Quora「不完全性定理とはなんですか？」
でググると最初に出てくる
https://jp.quora.com/%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%A8%E3%81%AF%E3%81%AA%E3%82%93%E3%81%A7%E3%81%99%E3%81%8B

561 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 02:55:29.50 ID:XFSJMVT+.net

最初から貼っとけ

562 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 02:57:01.20 ID:myN7dHaI.net

基礎論とか数理論理、集合論でおすすめの洋書を教えてください

563 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 02:59:37.60 ID:XFSJMVT+.net

解答した人のプロフィールから過去の解答をみたら出鱈目ばっかり書いている
無視が正解

564 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 03:09:05.66 ID:27sSD0Eb.net

http://alg-d.com/
↑この人は若手の研究者っぽいが入門者でも触れられる話題が非常に詳しい

参考文献でよく見る書籍
Axiom of Choice(Horst Herrlich)
Set Theory -An Introduction to Independence Proofs-(Kenneth Kunen)
Set Theory(Thomas Jech)
The Axiom of Choice(Thomas J.Jech)

General Topology(John L.Kelley)
Topology(James R.Munkres)

[Bibliotheca Mathematica 01]　Introduction to Metamathematics(Stephen Cole Kleene)
Introduction to Metamathematics(Stephen Cole Kleene)
Mathematical Logic(H.D.Ebbinghaus,J.Flum,W.Thomas)
Mathematical Logic(Joseph R.Shoenfield)

Theory of Recursive Functions and Effective Computability(Hartley Rogers Jr.)
Recursion Theory(Joseph R.Shoenfield)

565 ：553：2021/07/25(日) 04:05:12.94 ID:8D2BnmTY.net

>>561
最初からったって俺は>>558じゃないしな
ググればすぐ見つかるんだから貼る「必要」はないだろうし

566 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 09:27:48.50 ID:X9sEL5Xn.net

質問する側が出典を明示しないのは駄目だと思う。
リンク先を見たら筆者がおかしな人だってすぐに分かるのに。

567 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 09:46:34.61 ID:pMx3Ql/8.net

>>566
別におかしな人には思えないけどなあ

568 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 10:11:38.42 ID:X9sEL5Xn.net

https://jp.quora.com/profile/IWAKI-Hidekazu
工学や電磁気の世界ではなぜ複素数を使っているのですか？そのメリットは何ですか？

の解答が、この人変？、と思えた。

569 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 10:23:05.09 ID:VgVa1qgU.net

林晋著『ゲーデル不完全性定理』は、長年の謎がつながるようになる著作。ようやく繋がったありがとうって感じになるね。

570 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 10:39:24.90 ID:X9sEL5Xn.net

新刊？
林によるゲーデルの原論文の翻訳のこと？

571 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 10:46:41.04 ID:NH5BCXVt.net

そうあの読み方が特殊な翻訳本

572 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 10:55:45.90 ID:NH5BCXVt.net

「ウソつきのパラドックス」ってそういう意味かよって納得できるようになる。

573 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 12:21:32.55 ID:W/Husazs.net

ある試験を受けた学生達は全員不合格だった
の否定は
全ての試験を受けた学生達の中には合格した者もいた
ですか？

574 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 12:25:34.37 ID:X9sEL5Xn.net

この場合、「ある試験」を固定して考えるのでは

575 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 14:22:07.87 ID:pRMst001.net

>>566
質問はしてないし、1行目の
"Quora「不完全性定理とはなんですか？」"でググればすぐ見つかる
筆者がどんな人か知りたければそれで足りるでしょ

576 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 14:43:23.49 ID:myN7dHaI.net

>>573
論理式で書いたらわかりやすいと思うよ

577 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 14:56:38.28 ID:X9sEL5Xn.net

>>575
黙ればいいと思うよ

578 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 23:35:06.60 ID:27sSD0Eb.net

>>573
exi t in Test, all s in Student [ Take(s,t) -> Fail(s,t) ]
を否定すると
all t in Test, exi s in Student [ Take(s,t) and not Fail(s,t) ]
＝どのテストにも合格者は居た

579 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 23:40:57.10 ID:27sSD0Eb.net

ある試験を受けた学生達は全員不合格だった
よくよく考えたら2つの解釈がある

１　常識的に解釈したら、｢とある試験では、受験者全員が不合格だった｣
この解釈の否定が>>５７１

２　偏屈的に次のようにも解釈できる：｢学生が、ある試験を受けてしまうと、全部の試験が不合格になってしまう｣
　この解釈は社会通念に照らすとありえないが、文言解釈のみにとどまればこのように理解することも一応可能
この否定は演習問題として考えてみｗ

580 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 23:49:45.60 ID:27sSD0Eb.net

全ての試験を受けた学生達の中には合格した者もいた
は、
exi s in Student [ all t in Test Take(s,t) and exi t in Test not Fail(s,t) ]
となる。これを否定すると二重否定により原文に戻るのでやってみると、
all s in Student [ ( all t in Test Take(s,t) ) -> ( all t in Test Fail(s,t) ) ]
≡学生が全ての試験を受験していたならば、その学生は全てのテストに落ちていた。
≡全科目受験しておきながら１科目でも合格してるような学生は居なかった

まぁおかしな日本語になったが、結局は記号表現のほうが正しくかつ機械的に計算できるから、自然言語で考えるのは辞めたほうがいい

581 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 00:29:35.29 ID:ZY+g7c/X.net

>>579
｢学生が、ある試験を受けてしまうと、全部の試験が不合格になってしまう｣
学生が任意なのか特定なのか曖昧
偏屈じゃなくて知能が足りない

582 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 00:50:24.34 ID:JnL+zc4n.net

>>581
粗探しは、粗探ししてる奴の粗探しの仕方に知能のレベルが現れる
多分論理学を学び始めた学生なんだろうけど、今後もそうやって教科書の文章も目を光らせて粗探しのレベルを鍛えていったらいいと思うよ

583 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 01:00:36.37 ID:ZY+g7c/X.net

馬鹿が恥の上塗りをしている

584 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 01:03:31.10 ID:JnL+zc4n.net

>>583
要するにお前の読解力の問題
>>581で任意か特定かでどういう齟齬、違いが出るのか言ってみ

585 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 01:07:52.51 ID:XTJ0aNsT.net

ゲーデルの不完全性定理から数学的資源は無尽蔵であることが保証されている。
「ウソつき」のパラドックスの本質とはそういうことだ

586 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 01:14:08.58 ID:XTJ0aNsT.net

世の中にはハイゼンベルグの不確定性原理と不完全性定理を混同するという、もう一回科学史年表を書いて整理してみろと言いたくなるような人が実在するんだぜ。
全く動機が異なる、もっと言えばそもそも分野が違う。
ツイッターや5chでドヤ顔演じている前にそういう基本的な事をだななぞなぞするしかない

587 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 01:28:00.76 ID:JnL+zc4n.net

>>583
な？低次元な粗探ししか出来ないからお前は頭悪いんだよ
実際>>584に答えることすらできないのがお前の頭のだろ
くっそアホやわお前

低次元な粗探ししか出来ないくせに、ちょっと聞かれたらなぁ〜んも答えられない
これを世間一般的にアホという

588 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 01:35:34.79 ID:XTJ0aNsT.net

だったら、いちいち含みのある話を要所要所に突っ込んでくんなよ！
何も知らんいたいけな素人相手に唐突にSNS上でこんなところあるよ？どう？とかやって落ちたらそら気になるわ！

589 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 01:52:14.07 ID:XTJ0aNsT.net

あれは要するにやんわりとＴ芝に考え直させたかったんだろ。
そんなもん本気じゃないよって。わかるかよそんなもん

590 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 08:13:13.19 ID:tWdrJyRm.net

なぞなぞは続ける。文句行っても仕方なかった。スマヌ。

591 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 10:17:45.84 ID:+i1tNIIC.net

>>558
意味論的に一階述語論理は完全で
二階以上の高階述語論理は不完全で、
その理由は二階論理では単体でペアノ算術が
解釈できる事なので、一応内容的には正しい。
その旨の言及もあるので解答者がちゃんと理解している
可能性も結構ある。

ただこれ読んだ初学者は結構な確率で誤解しそうなので
その辺はアレではある。

592 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 15:05:20.25 ID:Bq8hSf20.net

>>591
551は数学的内容ではなくて
控えめにとかその辺のことを言ってるんだと思った

593 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 18:43:17.34 ID:+i1tNIIC.net

ああ、成る程。それは確かに。

真面目に読むとちょこちょこおかしいな。
まあ、物理の人っぽいから仕方ないけど。

ヒルベルトの時代には述語論理が
一階と高階に分かれていたとか（今は違うんかい）
ヒルベルトの計画は述語論理は無矛盾であれば
完全である事を示す事だとか
（ヒルベルト・プログラムは、信頼のおける
実在的な数学（≒算術）のみを用いて、
より広い概念的な数学の信頼性を確立する計画）、
n階述語論理の完全性をnに関する帰納法で
示そうとした、とかはこの人が捏ねたストーリーだね。

ヒルベルトに気を使って、は、
当時ゲーデルが無名の若手で
ヒルベルトは数学界の最高の権威で、
自分と異なる主義の学者を
政治的に排除とかもしてたから、
まあ常識的に考えてそれなりに配慮はするんじゃ
ないかなとは思う。

594 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 19:37:37.60 ID:Wo6j3jc1.net

ヒルベルトが果たして本当に大御所だったかなんてわかんなくない？
俺が思うにどうもヒルベルトは当時の時流からワンテンポ遅い。
大御所は大御所だろうけどすごい政治力があったかと言われるとそうは言えないんじゃないかと。
ブラウワーを排除したとも言われるけどあれもブラウワーと示し合わせただけで、黒幕は別にいるだろ。
ホワイトヘッドとか。

今もその系譜が一番政治力があるんだと思うんだが

595 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 21:39:38.76 ID:ZY+g7c/X.net

>>594
ヒルベルトは1961年生まれ
ゲーデルの不完全性定理発表が1931年でヒルベルトが70歳のとき

596 ：１３２人目の素数さん：2021/07/26(月) 22:38:45.80 ID:XTJ0aNsT.net

ヒルベルト計画ってPM引きずってるよね。
不完全性定理の体系もPMの建て増しだし。

計画の基本コンセプトは広義の述語論理の完全性証明じゃない？
それが無理そうだっただからアッカーマンのイプシロン公理を突っ込んで、
広義の述語論理を狭い意味で完全性証明しようとしたってことじゃない？

ゲーデルはイプシロン関数を入れ子にしたらどうなるだろうって考えて不完全性定理に到達したと思う。

597 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 00:11:51.14 ID:urOCv5O3.net

日本の大学で数学基礎論や数理論理学か盛んなところってありますか？

598 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 02:19:44.61 ID:Vuzbeo0/.net

東北、名古屋、神戸か

599 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 16:17:12.34 ID:w01S8XFD.net

何故、数理論理学や数学基礎論の研究者が所属する院は情報科学みたいな場合が多いのでしょうか？
数学科では無いのでしょうか？

600 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 16:28:59.05 ID:joo85DAH.net

ゲーデルに微積や線形代数の授業をさせられる？

601 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 17:20:42.81 ID:w01S8XFD.net

>>600
そういう意味もあるんですね

602 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 17:23:31.36 ID:w01S8XFD.net

逆に数学科（学部）で数理論理学や数学基礎論の授業は無いのでしょうか？

603 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 17:30:34.01 ID:jIwcvUii.net

せいぜい集合と位相ぐらいが

604 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 17:48:57.39 ID:joo85DAH.net

順序数は数学科では教えない