ピーター・フランクル

1 ：１３２人目の素数さん：2018/05/08(火) 17:06:24.53 ID:MOvE4KTW.net

http://peterfrankl.com/

39 ：１３２人目の素数さん：2019/09/15(日) 14:49:26.24 ID:4zTXU1DN.net

>>32　訂正
〔リウヴィルの定理〕
　p,q が自然数ならば　|√2 - (p/q) | ≧ (6-4√2)/qq,

(略証)
・q=1 のとき
　(左辺) ≧ √2 -1 = 0.41421356… > 0.34314575… = 6-4√2,
・q≧2, p/q ≧ 3/2 のとき
　(左辺) ≧ 3/2 - √2 = (6-4√2)/4 ≧ (6-4√2)/qq,
・p/q < 3/2 のとき
　1/qq ≦ |2qq - pp| = (√2 + p/q)|√2 - (p/q)| < (√2 + 3/2)|√2 - (p/q)|
　(左辺) > (6-4√2)/qq,

40 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 01:15:10.40 ID:FF+PWEgn.net

〔リウヴィルの定理〕
　無理数αが整数係数のn次方程式の根（n次の代数的数）ならば、
ある定数 c(α) >0 が存在して、
　p/q ∈ Q　　⇒　　|α - p/q| ≧ c(α)/q^n.

41 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 17:41:48.15 ID:FF+PWEgn.net

(略証)
|α - p/q| > 1 のときは明らか。
|α - p/q| ≦ 1 のとき
αは整数係数のn次方程式 f(x)=0 の根だから
　f(α) = 0,
因数定理より
　f(x) = (x-α) g(x,α)
p,q を整数 (q≠0) とすれば
　(q^n)f(p/q) は0でない整数。
　1 ≦ |(q^n)f(p/q)| = |q|^n･|f(p/q)|
　= |q|^n･|α - p/q| g(p/q,α)
　≦ |q|^n･|α - p/q| / c(α),
ここに 1/c(α) は α-1≦x≦α+1 における |g(x,α)| の最大値。

42 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 17:44:22.65 ID:FF+PWEgn.net

(例)
c(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.34314575　　(3/2)
c(√3) = (1/2)(√3 -1)^2 = 0.26794919　(2/1)
c(√5) = 4(√5 -2)^2 = 0.22291236　　(9/4)
c(√6) = (√6 -2)^2 = 0.20204103　　　(5/2)
c(√7) = (3/2)(3-√7)^2 = 0.18823820　(8/3)
c(√8) = (1/4)(√8 -2)^2 = 0.17157288　(3/1)
c(√10) = 6(√10 -3)^2 = 0.15800423　　(19/6)
c(√11) = (3/2)(√11 -3)^2 = 0.15037689　(10/3)
c(√12) = (1/2)(4-√12)^2 = 0.14359354　(7/2)
c(√13) = 180(5√13 -18)^2 = 0.13867497　(649/180)
c(√14) = 2(4-√14)^2 = 0.13348181　　　(15/4)
c(√15) = (1/6)(√15 -3)^2 = 0.12701665　(4/1)
c(√17) = 8(√17 -4)^2 = 0.12123996　　(33/8)
c(√18) = (4/9)(9-2√18)^2 = 0.117749006 (9/2)
c(√19) = (39/2)(3√19 -13)^2 = 0.11470688　(170/39)
c(√20) = (√20 -4)^2 = 0.11145618　　　(9/2)
c(√50) = 14(√50 -7)^2 = 0.070708874　　(99/14)
c(√99) = (1/18)(√99 -9)^2 = 0.050125629 (10/1)
c(√200) = (7/4)(√200 -14)^2　= 0.35354437　(99/7)

c(√n) ≦ 1/(2√n),