ベクトル、テンソルの厳密な定義を説明してください。

1 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/04(水) 18:39:48.12 ID:CmzNl7RJ.net

ベクトル、テンソルの厳密な定義を説明してください。

28 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/14(土) 18:42:30.20 ID:???.net

>>14

共変ベクトル、反変ベクトル、スピノールは座標変換でどうなるかの違いしかなく、
見てくれではどれも数が4つ並ぶだけだから区別がつかない。
そんなわけで>>4のような定義が必要になる。

軸性ベクトルと極性ベクトルの違いに似た感じ。

29 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/14(土) 22:47:01.11 ID:h86KY/uR.net

あほがいっぱい、末期の日本

30 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 13:50:24.36 ID:???.net

軸性ベクトルと極性ベクトルも座標変換でどうなるかの違いでもあるし
根本的なベクトルかどうかの違いでもある
スピノールは座標変換でどうなるかの違いとは言えんだろ
更に根本的な違いがある
要素が独立じゃないしな

31 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 13:53:07.39 ID:NhkNUE0v.net

>>4
を分かるようになるにはどの本を読めばいいですか？

32 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 13:53:43.39 ID:NhkNUE0v.net

>>4
が何を言っているのか何が言いたいのかさっぱり分かりません。

33 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 14:45:05.22 ID:???.net

要素が独立でないということなら、四元速度などでもある。

34 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 15:50:09.27 ID:???.net

物理のための微分幾何の本でしょ

35 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 18:12:39.42 ID:NhkNUE0v.net

Daniel Fleischのベクトルとテンソルについての本はどうですか？

36 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 20:14:57.72 ID:???.net

君は何を読んでも無理だと思う

37 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 20:39:23.23 ID:XWPvj9rw.net

いや、100冊くらい本を揃えば、理解できるようになるよ

38 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 20:54:45.58 ID:???.net

本を１００冊買うだけでは、本の内容を理解できるようにはなりません。

39 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 21:07:22.15 ID:???.net

>>33
それは要素が独立でないベクトル
ベクトルであるだけで要素が独立でない、なんてことはない

40 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 21:08:30.41 ID:NhkNUE0v.net

If you’re like most students, you first encountered vectors when you took a course
dealing with mechanics in high school or college. At that level, you almost certainly learned that
vectors are mathematical representations of quantities that have both magnitude and direction, such as
velocity and force. You may also have learned how to add vectors graphically and by using their
components in the x-, y- and z-directions.
That’s a fine place to start, but it turns out that such treatments only scratch the surface of the power
of vectors. You can harness that power and make it work for you if you’re willing to delve a bit
deeper – to see vectors not just as objects with magnitude and direction, but rather as objects that
behave in very predictable ways when viewed from different reference frames. That’s because vectors
are a subset of a larger class of objects called “tensors,” which most students encounter much later in
their academic careers, and which have been called “the facts of the Universe.”

41 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 21:09:25.57 ID:???.net

>>32
>>13 は読んだのか？

42 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 21:10:40.37 ID:???.net

これも答を見ない奴じゃない？

43 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/15(日) 21:24:28.20 ID:???.net

檜山氏のblog「檜山正幸のキマイラ飼育記」で「微分幾何」でblog内検索をかければ色々面白そうな記事が見つかる。
「テンソル：なぜ難しいのか」という記事はここで話題にしていることズバリだし、
「古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化」という記事も興味深い。

44 ：うんちマン：2023/01/16(月) 00:11:47.85 ID:???.net

>>4
説明しよう！
まず位置rの座標変換について考える
座標系Sでのi番目の基底をe^i、S'でのi番目の基底をe'^iとおく
S系からS'系への基底変換がe'^i=A[i,j]e^jと表されるとする
Aの逆行列をBとおくと、e^i=B[i,j]e'^j…①
また、位置rのS系での座標がc[i]と表されるとすると、rの位置をS系で表すと
r=c[i]*e^iとなる
ここで、位置は座標系によらず不変である…①
よってS'系での位置rもまた
r=c[i]*e^iとなる
基底を変換すると
r=c[i]*(B[i,j]e'^j)
=(c[i]B[i,j])*e'^j
位置rのS'系での座標がc'[i]と表されるとすると、
=c'[j]*e'_j
よって、S系からS'系への座標変換は
c'[j]=c[i]B[i,j]=c[i](A^(-1))[i,j]となる
また、基底変換はe'^i=A[i,j]e^jなので、座標変換行列と基底変換行列は互いに対して逆行列となる
こういった性質を反変性という
この反変性を持つ量をベクトル、反変ベクトルと物理学では呼ぶ
ベクトルの反変性は①で挙げた「位置は座標系によらない」という性質が理由である
つまりこの性質を満たす量なら位置以外でもベクトルとなる
例えば速度、加速度、運動量、力などは座標系によらないのでベクトルとなる

これとは反対に、座標変換と基底変換で行列が同じになる場合がある
そういった性質を共変性と呼び、共変性を持つ量を擬ベクトル、または共編ベクトルと呼ぶ
例えばスカラー場fの勾配∇f
∇f=(∂f/∂x^i)*e^i
=(∂f/∂x'^j)(∂x'^j/∂x^i)*e^i
=(∂f/∂x'^j)*((∂x'^j/∂x^i)e^i)
=(∂f/∂x'^j)*e'^j
となり、変換行列は同じになる

45 ：うんちマン：2023/01/16(月) 00:13:59.55 ID:???.net

>>44
ちな座標変換の際に基底の変換行列をn回、逆行列をm回かける量をm階反変n階共変テンソル、または(m,n)テンソルって言うで～ｗ

46 ：うんちマン：2023/01/16(月) 00:19:08.74 ID:???.net

>>44
物理学においては先にベクトルがあって、後から人間が勝手に座標系を張って成分表示しとるって認識なんやろな
せやから座標系によって姿が変わるような量はベクトルやないんや

47 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/16(月) 01:17:14.12 ID:???.net

反変・共変の区別と軸性・極性の区別は別概念な

48 ：うんちマン：2023/01/16(月) 01:24:08.25 ID:???.net

>>47
確かに

49 ：うんちマン：2023/01/16(月) 01:26:00.92 ID:???.net

間違ってたわ
ごめん

50 ：うんちマン：2023/01/16(月) 01:35:45.32 ID:???.net

擬ベクトルを調べ直した
どうやら3次元空間における二階反対称テンソルのことで、独立成分が3つであることから、レヴィ・チビタテンソルを縮約させるなどするとあたかもベクトルのように見える寮のことらしい
ちなwikipediaやｗｗ

51 ：うんちマン：2023/01/16(月) 01:43:15.61 ID:???.net

勉強になったで

52 ：うんちマン：2023/01/16(月) 01:59:29.32 ID:???.net

「擬き」の「擬」やな！
つまり擬ベクトルはベクトルやないってことやったんやな！
アハ体験やで

53 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/16(月) 11:03:22.77 ID:???.net

反変・共変は同じベクトルの単なる表現方法の違い(計量がある場合)

54 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/17(火) 18:34:59.61 ID:???.net

情報幾何学の確率分布空間では反変と共変は違うんだよねー

55 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/17(火) 18:44:10.06 ID:???.net

計量があればテンソルに計量テンソルを縮約させてスケール変化させずに添字の上げ下げが可能

56 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/18(水) 13:05:09.17 ID:???.net

自己双対

57 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/19(木) 18:11:35.55 ID:ZHwOK/GB.net

小松彦三郎さんのベクトル解析の本はどうですか？

58 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/19(木) 18:24:59.54 ID:T3B7VwC1.net

2022年10月2日没、涙

59 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/23(月) 11:30:56.69 ID:???.net

誰？

60 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/23(月) 12:06:02.51 ID:0mx2YuhC.net

三郎さん

61 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/23(月) 18:47:05.06 ID:???.net

いやさ、お富ぃ〜　(与三郎)

62 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/23(月) 22:11:16.57 ID:???.net

クリストッフェル記号とかいうテンソルじゃないのに「自分、テンソルです」とでも言いたげな量

63 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/23(月) 22:47:15.73 ID:???.net

クリストッフェル記号は偏微分演算子と寄り添って一人前

64 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/24(火) 12:51:45.21 ID:???.net

クリストッフェル記号はただの記号
接続の係数にすぎん
接続は局所定義でないからテンソルであるわけがない
偏微分との関係も接続から出る

65 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/24(火) 22:35:30.26 ID:???.net

テンソルの添字の派閥

66 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/28(土) 20:01:23.54 ID:???.net

接続係数を Γ で書いたり括弧で書いたり
符号が +, −, −, − だったり −, +, +, + だったり

67 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/28(土) 20:07:46.81 ID:???.net

>>66
括弧はなんか異物感強くて苦手だな
テンソルじゃないのはわかるけどテンソル的に添え字を付けたいからΓが良い
符号は3次元のユークリッド計量の自然な拡張として見たら前者が良いな

68 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/29(日) 19:07:09.49 ID:???.net

テンソルの添字って上と下の二種類しかないの？
N種類に一般化するとどうなるの？

69 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/29(日) 20:21:50.22 ID:???.net

テンソルの添字は座標変換時の変換行列が基底変換行列かあるいは逆行列になるかに対応する
逆行列は行列の-1乗だから、複素数なり分解型複素数なりを使って1のn乗根乗を定義すれば有理数範囲に拡大してn種類の添字にできるかもしれない
さらにコーシー列として無理数乗も定義できるかもしれないが、そうなると添字の種類が無限になってしまうな

あるいは共変微分の接続係数の符号とかかな
これも1のn乗根を接続係数の係数とすればいいのか

どんな物理的意味があるかはわからない

70 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/29(日) 21:41:48.24 ID:ShoI21dK.net

何もわからないことがよくわかった

71 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/30(月) 00:29:04.43 ID:???.net

接続係数の係数が複素数……解釈が難しいですね

72 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/30(月) 11:37:40.25 ID:???.net

添字の上下は双対空間だから
そっちの方から拡張せなあかんな

73 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/30(月) 11:41:59.41 ID:Htah07ba.net

右計量と左計量と上計量と下計量などなど、計量が複数あればしっちゃかな宇宙がつくれそう。いや、本当の宇宙はそうなっとるのかも。それがダークなんちゃらの正体と見たり枯れ蚓好き

74 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/30(月) 14:46:49.29 ID:???.net

スピノルなら、ワイル表示だと点付きの添字が出てくるから上下だけじゃないと言えなくもないかな
ただ　>>7の言う通り、添字の上下は双対性由来だからその方向での拡張は考えにくい

75 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2023/01/30(月) 23:32:18.88 ID:???.net

>>67
後者

76 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2024/03/29(金) 01:36:40.57 ID:E1tN0Dyk.net

効果ありそうでつら
https://i.imgur.com/CDK7oDu.png

77 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2024/03/29(金) 19:53:56.40 ID:???.net

>>72
空間を増やすと言えば
帯電ブラックホールがワームホールになる時
ワームホールで接続する宇宙は無限分岐になるよね
それともM理論で出てくる非可換空間の接空間は一意なんだろうか？
この辺に可能性ないかな？