直線とバッテンの法則。誰か教えてください。

1 ：フラミンゴ：2018/05/27(日) 03:00:25.99

数学は高校生義務教育でしか学んでいない素人ですが、ずっと気になる疑問があります。


直線を２つ書くとX(バツ)ができます。
また、直線を足すとXができて、ずっと増やし続けることができます。

でも四角や三角は均等に増やせず、丸◯は場所によって重なる線が異なってきます。
これってどういう法則になるのか、もしくはただ直線の法則的なものだから仕方ないのか。

どなたかこの疑問を解いてくれないでしょうか。。

2 ：Nanashi_et_al.：2018/05/27(日) 22:26:08.65 ID:Cxf//3lZ2

数学の前に、算数に戻ってみましょう。
（上底＋下底）X高さ÷２＝台形の求め方ですね？

この問題では、線の交わる点が１箇所です
さらに線が増える＝台形じゃない
つまり、５角形。もしくはもっと多い
つまり、面積の求め方は複雑になります。

簡単に直すと。。。
三角形が幾つできて、その三角形の面積の和＝多角形の面積ともなります。

という、義務教育卒業して20年の私。
合ってるかわからん

3 ：fjordy：2018/05/28(月) 22:45:26.07 ID:SK665PRMA

>>2 が言っていることは意味不明だが、
>>1の質問には明確な答えがあるのでここに記す。

直線は、ax+by+c=0 という形で表せる。
ここで次のような傾きの異なる直線を2本用意してみる。
ax+by+c=0
Ax+By+C=0
これを連立して解くと、
x = (Ac - aC) / (Ab - aB)
y = (Bc - bC) / (Ba - bA)
というようにx, y についてひとつずつ値が出てくる。
これが2本の直線が交わる点を表している。Ab ≠ aB ならば、つまり
2本の直線が並行でなければ、必ず交わる点が一つだけある、
ということもここからわかる。

では、円の場合はどうだろうか。
円は、a * x^2 + b * y^2 + c = 0 という式で表せる。
先ほどと同様に2つの円を用意してみる。
(x - a)^2 + (y - b)^2 + c = 0
(x - A)^2 + (y - B)^2 + C = 0
これを連立すると、

4 ：fjordy：2018/05/28(月) 22:46:31.01 ID:SK665PRMA

x = α+β√z
y = γ-δ√z
または
x = α-β√z
y = γ+δ√z
という2セットの式が出てくる。ここでα〜δとzは定数。
（これらはa,b,c,A,B,Cを使って表せるものだけれども、
書くと煩雑になるのでこれ以降はα,β,γ,δ,zで表現する。）

さて、この式からわかるように、本来は円と円の交点は必ず2つあるといえる。
式が2セット出てきているのだから。

しかし、zがもし負の数だと、√の中身が負になり、xやyの値が複素数になる。
つまり、zが負になるような場合だと、交点が虚数の空間に言ってしまうので、
2次元平面上では交わっているとは認識できなくなる。
これが「円と円が離れている」という状況だ。

もちろん交点がなくなったわけではないので、x軸に+1次元、y軸にも+1次元を与えて、
4次元上でxとyの値を表現すれば、交点の位置を示すことはできる。
座標が複素数の場合も含めれば、必ず円の交点は2個あるのだ。

また、zが0の時は重解といって、上の2つの式でxとyの値が一致する。
この時は同じ場所を2回、交点として数えていることになる。
2次元平面で見ると円が接していて、交点は一つしかないように見えるが、
実際には2つの交点がたまたま重なっているだけとなる。

5 ：fjordy：2018/05/28(月) 22:46:58.05 ID:SK665PRMA

逆に、互いに平行でない直線同士に必ず交点が見つかるのは、
単に直線の交点の座標が複素数にならないからだと言える。

三角形・四角形については、仮に辺を無限に伸ばせば、
直線と同様に必ず交点ができると言える。…（A）

しかし辺を伸ばさない場合、つまり三角形の辺の式を
直線の式ではなく線分の式(x+y=1かつ1<x<2など)にしたとき、
（A）の交点がもし三角形の外側にあれば、その座標は交点とはならない。

いわば、三角形は式に特殊な条件付けをしているため、その条件に
当てはまるか否かで交点の数が変わってしまうのだ。

四角形の場合も同様である。