ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

496 ：１３２人目の素数さん：2024/02/07(水) 16:58:42.09 ID:8CxIm6kX.net

>>495
・それらしきもの（解答）は、下記（再録した）にある
　当時は分からなかったが >>435 DCT=ルベーグの収束定理 (優収束定理; dominated convergence theorem, DCT)らしいな
　(参考) https://mathlandscape.com/dct/ 数学の景色 ルベーグの収束定理(優収束定理)とその例題・証明 2022.02.12
・『ルベーグ積分・測度論における「積分と極限の交換定理」の1つで，ルベーグ積分の根幹をなす定理』らしい
　そういう 積分と極限の交換という目で見ると、なんとなく意味わかるね
・一方、私は >>305で 西谷達雄 Lebesque積分 http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/Lebesgue.pdf
　に関する投稿を 2024/01/31(水) 00:07:36.40にしている
　4分差なので、まったく独立に準備していた投稿であることは分かるだろう
　私は 個人的には、西谷達雄で満足している
　というか、P10 "1.3零集合の定義と特徴づけ"辺りからやらないと、ダメなものでね ；ｐ）
・なお、下記>>304以上に教えると、大学ゼミにならんだろう？ｗ （それなら講義になるよ）
　まあ、君もゼミに参加して、なんか書いてみたらどうかな？

(参考)
　>>304 2024/01/31(水) 00:03:18.45 より再録
定理　[0,1] 区間で定義された有界関数 f(x) で次は同値
(1) S = { x | f(x) は x=a で不連続 }の測度は0
(2) ∫01f(x)dx はリーマン可積分
(∵) f(x)が正値のとき示せば十分である。
[0,1]の分割 Δ に対して関数 m(Δ,x), M(Δ,x)を以下で定める
m(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
M(Δ,x) = sup( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
(1)を仮定する。まず
{ ( a,b ) | 0 ≦ b ≦ f(a), a は f(x) の連続点 }
= ∪Δ { ( a,b ) | 0 ≦ b ≦ m(Δ,a), a は f(x) の連続点 }
であり右辺は Lebesgue 可測集合だから f(x) はLebesgue 可測関数である。
さらに ξk ∈ Δ(k) をえらぶとき
∫01m(Δ,x)dx ≦ Σ f(ξk)|Δk| ≦ ∫01M(Δ,x)dx ...(*)
である。|Δ| → 0 のとき f(x) の連続点 x においてm(Δ,x) → f(x)、M(Δ,x) → f(x) であるから(*)の左辺、右辺はDCTにより∫01f(x)dxに収束する。よって f(x) は riemann 可積分である。
(1) を否定する。関数 ρ(x) を
ρ(x) = limsupt→x f(t) - liminft→x f(t)
でさだめる。仮定により正数 a>0 を集合
T = { x | ρ(x)>a }
が μ(T) > 0 を満たすようにとれる。
このとき分割 Δ にたいして
Σ { |Δk| | Δk∩T≠Φ } ≧ μ(T)
であり、 Δk∩T≠Φ である k に対して
M(Δ,x) - m(Δ,x) ≧ a
であるから結局
∫01M(Δ,x)dx - ∫01m(Δ,x)dx ≧ a
である。これが任意の分割Δについて成立するから f(x) はRiemann可測ではない。
(引用終り)