「名誉教授」のスレ

１３２人目の素数さん

下記を見ると、多変数有理関数の留数計算には
D加群、グレブナ基底、それに数式処理プログラムが必要ってことか
なるほどね。読んでもすぐには分からなかったけど貼るね

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1085-11.pdf
数理解析研究所講究録1085巻1999年71-81
多変数有理関数の留数計算について
新潟大学工学部田島慎一(ShinichiTAJIMA)
お茶の水女子大学大学院中村弥生(YayoiNAKAMURA)

1 Introduction
多変数関数の留数に関しては,GrothendieckdualityやResidual currentsの研究等,高度な理論的研究がなされている.
また,代数学のみならず,幾何学や解析学への応用も数多く,研究がさかんに行われている.
しかしながら,多変数の場合は留数値を具体的に計算することは極めて困難である.
実際,多変数有理関数のGrothendieck local residuesの場合に限っても,与えられた有理関数の極の個数が多い場合やその位数が高い場合などは,計算量が膨大なものとなり,留数の値を手計算で求めることは,事実上,ほとんど不可能である.
本稿では,Grothendieck local residuesをD-加群の観点から考察することにより得られた結果(Section3及び[9], [10], [11]参照)を用いて,留数値の具体的計算方法を考える.
それにより,位数の高い極をもつ関数に対して,同じ留数値をとる関数で,高々１位の極のみを持つものを与えることができる.
これを用いて,位数の高い極を持つ有理関数の留数値(の満たす方程式)を計算するアルゴリズムを与える.
なお,実際の計算は数式処理システムRisa/Asir (Noro and Takeshima[7]), Kan(Takayama [12] )にアルゴリズムをインプリメントして行った.

6まとめ
D加群の理論を用いることにより,多変数関数の仏心(Grothendieck local residues)値を求めることができることを示し,特に,有理関数の留数値(の満たす方程式)を求めるアルゴリズムを与えた.
具体的には,微分作用素を用いることにより,留数を効率的に計算することができることを明らかにし,位数の高い極における留数値の計算を,極の位数が1である場合の留数値の計算(アルゴリズムーI,II}に帰着させた(アルゴリズム-III).この手法は,古典的なHorowitsアルゴリズムの留数計算に関する多変数関数への自然な拡張とみなすこともできる.
なお,これらの作用素の効率的構成が今後の課題である.