純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

596 ：現代数学の系譜 雑談 ：2023/01/09(月) 09:36:09.43 ID:xY+wMPX4.net

>>595
つづき

さて、数学的分析
1）題は、”Solution by Radicals and the DFT”であって、DFTでもってすべてのべき根が解けるということではないよね
2）実際、扱われているのは、代数方程式で2次、3次、4次止まり
3）そして、P4の3次式ですでに
”b = - (r1 + r2 + r3) (C4)
　c = r1r2 + r1r3 + r2r3
　d = -r1r2r3.
　Three equations and three unknowns looks good, but trying to solve Equation (C4) for the rj is disheartening.
　Don’t let me discourage you from trying, but do let me know if you make progress! ”
　などとある。つまり、この後にある技巧を必要とするってことね。
4）さらに、P9 4次式で
”Remark: This “trick” avoids taking the 4-dimensional DFT. In a sense, the trick amounts to using the
　4-dimensional fast Fourier Transform (FFT). One can also solve the quartic using the Lagrange resolvents.
　See Edwards6.”
　つまり、DFTでなく、“trick”を使ったという
　実際P8の式B4で、”The DFT of the roots is”とあるけど
”The top row, as always, is symmetric in the roots, and is ?b. The second and fourth rows are similar ?
　they both qualify as Lagrange resolvents ? but the third row is different. There are 4! = 24 permutations
　of the roots rj ”
　として、結局
” Since we have a cubic formula, we can find the three t2k, and since we can take square roots, we can find all six of the ti.
　This suffices to solve the quartic since”
　“trick”で、ジャンプしていますよね
5）この文書から読めることは、DFTは部分的には役に立つけど、あくまで部分的で、DFTですべて解決するわけではない
　かつ、4次式止まり

これで良いですか