純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

1 ：１３２人目の素数さん：2022/12/19(月) 23:31:09.57 ID:KRlSoN+A.net

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1
箱入り無数目を語る部屋
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 68
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659142644/1
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/1
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/1

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/1
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/1

つづく

483 ：わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf ：2023/01/08(日) 07:32:39.47 ID:WgejkQFk.net

蛇足

>>481
>フーリエ変換（含む離散）を使ってよ
>1の11乗根をべき根表示に、フーリエ変換を使って下さい

　そもそも、1は、フーリエ変換って何だかわかってる？

フーリエ変換
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
数学においてフーリエ変換（フーリエへんかん、英: Fourier transform、FT）は、
実変数の複素または実数値関数fを、別の同種の関数ˆfに写す変換である。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

これは概要
これじゃ計算できないよね？

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
可積分関数に対する定義
可積分関数 f: R → C のフーリエ変換の定義として、
よく用いられるものにもいくつか異なる流儀がある。
本項では

^f(ξ):=∫[-∞,∞] f(x)exp(-2πixξ) dx

を定義として用いる。
ここでギリシャ文字小文字の ξ は任意の実数である。
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ま、これは変数が連続な場合のフーリエ変換だね
ここで用いるのは、変数が離散の場合の離散フーリエ変換
（つづく）

484 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2023/01/08(日) 07:51:31.92 ID:WgejkQFk.net

>>483のつづき

離散フーリエ変換
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
離散フーリエ変換とは、複素関数 f(x)を複素関数 ^f(ξ)に写す写像であって、
次の式で定義されるものを言う。
^f(ξ):=Σ [x=0~N-1] f(x)exp(-2πixξ/N)
ここで、Nは任意の自然数である。
このとき、x=0,… ,N-1を標本点という。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

483の「連続フーリエ変換」と見比べると
　・連続の積分∫が、離散では和Σとなる
　・連続の積分領域[-∞,∞]が、離散では標本点x=0,… ,N-1となる
といった違いがある

で、ここで重要なのは以下の点
　・exp(-2πix/N)　(x=0,… ,N-1)が、1のN乗根である
　・exp(-2πixξ/N)=(exp(-2πix/N))^ξ　(ξ=0,… ,N-1)は、1のN乗根のξ乗である

上記に注目すれば、以下は一目瞭然である！

f(x)を、代数方程式のｎ個の根を巡回順にならべたものとした場合
^f(ξ)は、n個のラグランジュ分解式となっている

ここまであけすけに書かないと分からないのかい？　1クン

485 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2023/01/08(日) 08:03:54.14 ID:WgejkQFk.net

>>484の追記

離散フーリエ変換
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（離散フーリエ変換の）逆変換にあたる逆離散フーリエ変換は

f(x)=(1/N)Σ [ξ=0~N-1] ^f(ξ)exp(-2πixξ/N)
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

これまた、483で述べたように
ｎ個のラグランジュ分解式の値^f(ξ)　(ξ=0~N-1)　から
ｎ個の根f(x)　(x=0~N-1)　への写像となっていることがわかる

そして、離散フーリエ変換も逆離散フーリエ変換も
実はｎ次元空間C^nからC^nへの線型写像であり
前者は行列で表すと、ヴァンデルモンド行列で
ｘを１の原始Ｎ乗根としたものになっている！

ヴァンデルモンド行列
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%81%AE%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
各行が初項1の等比数列であるような正方行列を
ヴァンデルモンド行列（英: Vandermonde matrix）という
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なぁｗ

486 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2023/01/08(日) 08:13:23.57 ID:WgejkQFk.net

さて、>>483-485を読んだ上で、
1クンがなんと返答するか予測しよう

「な、なるほど
　ラグランジュ分解式が実は離散フーリエ変換であり
　それがヴァンデルモンド行列で表せることはわかった
　また、1の11乗根のうち、1以外の10根については
　実部(cos)が等しい2個づつの5つの対に分けることができ
　結果として5次方程式に帰着できることも認めざるを得ん
　し、しかし！
　それだけでは１の11乗根を「どうやって」(5乗根で)ベキ根表示するのか
　全然わからんではないかっ！」

やっと、1クンの本当のつまづきの石が明らかになりました

そもそも、フーリエ変換が分かってない、というのは
まあ、見かけのつまづきの石ですね
（それを明らかにするのに、3つもコメント書きましたけどｗ）

で、ベキ根の中身をどうやって求めるのか？それは・・・
（つづく）

487 ：１３２人目の素数さん：2023/01/08(日) 08:19:36.55 ID:wnwNXypJ.net

これ>>485って割りとポピュラーな話じゃないか？

488 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2023/01/08(日) 08:25:06.02 ID:WgejkQFk.net

>>486のつづき

さて、ベキ根の中身をどうやって求めるのか？

一番安直な答えは以下
「ゴチャゴチャいわずに、ラグランジュ分解式を５乗しろ
　そうすれば、根が全部消えて、１の５乗根だけの式になる
　それの５乗根が、ラグランジュ分解式の値」

ただ、一度にラグランジュ分解式を５乗すると死ぬのでｗ　まず２乗を計算すると、
あーら不思議、実は別のラグランジュ分解式と１の５乗根による多項式の積になる。
さらに、２つのラグランジュ分解式同士の積は
２つとは別のラグランジュ分解式と１の５乗根による多項式の積
もしくはー１１になる。

これを利用すれば、ベキの中身が１の５乗根の多項式で書けるのはもちろん
ラグランジュ分解式の１つの値が求まれば、他のラグランジュ分解式の値は
その１つを用いて全部表すことができてしまう。

ドヤぁ！