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高校数学の質問スレ Part415
- 363 :132人目の素数さん:2022/01/12(水) 17:34:09.93 ID:JZ4gP/L3.net
- 言い忘れたが、>>359-360の流儀の場合、
> xが実数の場合、さらに関数f(x)=a^xが連続であるとして定義すれば、
このような連続拡張が可能であることを示すのも面倒くさい。
a^{有理数} が>>359-360の流儀によって既に定義されたとする。
一般の実数 x に対しては、x_n → x なる有理数列 x_n を任意に取ったときに、
極限値 lim[n→∞] a^{x_n} が果たして存在するのか、という部分から既に自明ではないし、
他の y_n → x に対しても lim[n→∞] a^{y_n} が同じ値になっていることも示さなければならない。
これらの問題は、最終的には lim[x∈Q, x→0] a^x = 1 が示せれば解決するのだが、
これ自体も少し工夫が必要だし、そこまで手数を踏んでやっと連続拡張が終わるだけで、
a^x の微分可能性はまた別の話で、やはり手数の多さを考えると>>358をお勧めする。
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