大学学部レベル質問スレ 17単位目

992 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 21:01:03.50 ID:hKts6vmM.net

>>989
そもそもまず直観主義に基づく言語体系(コレは主義関係ない)と直観主義に基づく公理系(あるいは推論則)がある
この段階では単に「どんなものが命題と呼べますか？証明できる命題はなんですか？」のみの話でかんぜんせいも健全性もクソもない
そして各命題が意味するところの具体的な対象なり関数なり真偽値なりい対応させていく意味論を合わせていく
その際対応させる代数は“古典主義だからブール代数”、“直観主義だから当然ハイディング代数”とくるわけではない、もちろん“古典主義の理論体系にハイディング代数のモデルを対応させたらどうなるか”など考える分には構わない
もちろん直観主義理論に対してブール代数モデルをアプライしても構わない
しかし直観主義理論で意味論をブール代数に限ってしまうと「恒真なのに証明できない」命題ができてしまう、すなわち直観主義論理で完全性を保証するためには従来の古典主義の意味論、個体記号に集合、関数記号に関数を対応させる意味論では不十分だとわかる
そこで“ブール代数”の制限を緩めてより多い代数のクラスで意味論を考える必要がある
という話しがまず前提
その上で「直観主義でブール代数に値を持つ意味論はあるか？」
もちろんyes、しかし完全性を保証するには足りない

993 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 21:01:48.63 ID:BWdqezfr.net

>>958
>>964

ありがとうございます。

>>964

その説明は色々な本に書いてありますが、なぜそのことから一意性が成り立つことが言えるのかが分かりません。

N を冪零行列とする。
定理の証明中の手続きにしたがって、 P^{-1} * N * P = ジョルダンブロックの直和
と N を変形した場合には、途中に基底をどのように選択しても、右辺が本質的に一意的なのは分かります。

ですが、定理の証明中の手続きによらずに、 P^{-1} * N * P = ジョルダンブロックの直和
と変形できた場合にも、右辺が本質的に一意的になぜなるのかが分かりません。

994 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 21:06:51.54 ID:hKts6vmM.net

>>993
具体的な例で自分でやって見ればなぜかわかるやろ
例えば同じ6次正方行列
X=C(3,0)⊕C(2,0)⊕C(1,0)
Y=C(4,0)⊕C(1,0)⊕C(1,0)
でrank(X^k), rank((Y^k)がそれぞれどうなるかk=1,2,3入れてやって見ればいい

995 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 21:14:06.07 ID:oq75KvzG.net

次スレ立てました
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1651147986/

996 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 21:15:18.23 ID:BWdqezfr.net

>>994

具体例でやってみるとすると、定理の証明中の手続きにしたがって、ジョルダン標準形に変形することになります。
その場合には、ジョルダン標準形が本質的に一意的になることは理解しています。

例えば、AさんがBさんに冪零行列 N とそのジョルダン標準形と P^{-1} * N * P = ジョルダン標準形となるような P の組を知らせたとします。
Aさんがどのようにして N のジョルダン標準形を得たかは不明とします。

Bさんは、定理の証明中の手続きにしたがって、自分で N をジョルダン標準形に変形したとします。

Aさんのジョルダン標準形とBさんのジョルダン標準形が本質的に等しいことはどうやって証明するのでしょうか？

997 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 21:30:34.05 ID:37/SqDmQ.net

>>992
完全性の定義は
すべてのモデルで恒真であるものが証明可能
ですよ？
そして直観主義論理も古典論理同様健全かつ完全です

998 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 21:38:54.46 ID:37/SqDmQ.net

>>992
>もちろん直観主義理論に対してブール代数モデルをアプライしても構わない
ええっと
ブール代数はハイティング代数ですよ？

999 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 21:40:27.83 ID:+gaZyQqp.net

>>996
だからAさんが計算したらJordanの標準形がXになりました
Bさんが計算したらYになりました
そんな事が起こるのかでしょ？
もちろん答えは起こらない、なぜか、で紹介されてる話が
XとYが同じ行列Aと相似ならXとYも相似にならざるをえず、その場合任意の整数kに対してrank(X^k)とrank(Y^k)は一致しないといけないでしょ？

1000 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 21:40:52.09 ID:+gaZyQqp.net

>>998
そう、だから広げてるんですよ

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