大学学部レベル質問スレ 17単位目

1 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 08:00:44.31 ID:4j6fBnFe.net

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 16単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1619727449/

851 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 10:52:01.37 ID:OUlSMVpT.net

小平邦彦著『解析入門』

定理4.7(1)
f(x) を開区間 (a, b) で連続な x の関数とする。
広義積分 ∫_{a}^{b} f(x) dx が収束するならば、点 c, a < c < b, を一つ選んで

F(x) = ∫_{c}^{x} f(x) dx

とおいたとき、 F(x) は閉区間 [a, b] で連続、開区間 (a, b) では微分可能で F'(x) = f(x)
である。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

まず微分可能のほうは有名な定理そのものです。
そして、連続のほうは、例えば、 ∫_{c}^{x} f(x) dx が x = b で連続になるように広義積分を定義している
ので明らかです。
わざわざ証明まで書いていますが、定理のステートメント自体不要だと思います。

852 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 11:00:20.85 ID:OUlSMVpT.net

おそらく日本語の本の中で、小平邦彦さんの本が広義積分について一番詳しく書いてあると思いますが、あっていますか？

853 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 13:52:08.24 ID:OUlSMVpT.net

小平邦彦著『解析入門』

広義積分について色々書いています。

例えば、以下の広義積分など使われることは一度でもあるのでしょうか？

関数 f(x) がすべての点 t, t > a に対して (a, t) で高々有限個の点を除いて連続で
広義積分 ∫_{a}^{t} f(x) dx が収束しているとき、極限 lim_{t → +∞} ∫_{a}^{t} f(x) dx
が存在するならば、広義積分 ∫_{a}^{+∞} f(x) dx を

∫_{a}^{+∞} f(x) dx = lim_{t → +∞} ∫_{a}^{t} f(x) dx

と定義し、広義積分 ∫_{a}^{+∞} f(x) dx は収束するという。

854 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 13:52:59.62 ID:OUlSMVpT.net

これなど理論のための理論ではないでしょうか？

855 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 14:15:35.90 ID:tLRzmP2n.net

>>854
顧みられない質問があるのと同じよ

856 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 14:29:35.04 ID:u6Ija5cW.net

>>853
統失のアホは、累積分布関数とか見たことないんか？

857 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 19:17:34.23 ID:OUlSMVpT.net

点 b が第二種不連続点の場合に、広義積分 ∫_{a}^{b} f(x) dx が存在する例、存在しない例ってありますか？

858 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 07:16:13.36 ID:kdp3FkZ+.net

1と0からなる数列a=(a[1],a[2],a[3],...)全体からなる集合Xは連続濃度ですが
その中でa[n]=a[n+m]=a[n+2m],a[n+1]=a[n+m+1]=a[n+2m+1],...,a[n+m-1]=a[n+2m-1]=a[n+3m-1]となるような部分
つまり同じ部分を3回繰り返すような数列(たとえばa=(0,0,1,0,1,0,1,1...)みたいな)をXから取り除いたX'を考えます
X'は空集合じゃなければ無限集合になりそうですが実際濃度はどうなるんでしょうか

859 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 07:48:50.57 ID:d6AgvgDx.net

>>857
簡単に見つかりました。
https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Integrate%5Bsin%5C%2840%29Divide%5B1%2Cx%5D%5C%2841%29%2C%7Bx%2C0%2CDivide%5B1%2Cpi%5D%7D%5D&lang=ja

860 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 07:52:15.86 ID:d6AgvgDx.net

こんな関数でも収束するんですね。
https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Integrate%5BDivide%5B%EF%BC%91%2CPower%5B%EF%BD%98%2C%EF%BC%91%5D%5Dsin%5C%2840%29Divide%5B1%2Cx%5D%5C%2841%29%2C%7Bx%2C0%2CDivide%5B1%2Cpi%5D%7D%5D&lang=ja

861 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 07:53:40.42 ID:d6AgvgDx.net

やっと発散しました。
https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Integrate%5BDivide%5B%EF%BC%91%2CPower%5B%EF%BD%98%2C2%5D%5Dsin%5C%2840%29Divide%5B1%2Cx%5D%5C%2841%29%2C%7Bx%2C0%2CDivide%5B1%2Cpi%5D%7D%5D&lang=ja

862 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 08:12:38.43 ID:Zc1rPk1g.net

>>858
非可算個あるみたいです
https://mathoverflow.net/questions/61615/are-there-uncountably-many-cube-free-infinite-binary-words

863 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 09:45:19.49 ID:+uUNq8bS.net

むしろ物理とかだと積分って広義積分がデフォルトみたいなところがありますよね

積分範囲が∞になってないと面倒だなって思いますね

864 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 10:00:41 ID:sj4+BJCN.net

統失は、物理板にも来ててアホ晒してるわ

865 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 14:19:04.22 ID:Iu6Z0Ct6.net

質問です。
距離空間の直積距離空間と
距離空間からできる距離位相空間の直積空間は同じものになりますか？

866 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 17:26:12.57 ID:Zc1rPk1g.net

有限個の直積なら自明

867 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 18:24:00 ID:FzTxMFsC.net

そして非可算個の直積だとそもそも距離づけ不可能

868 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 19:25:01.32 ID:d6AgvgDx.net

池田岳著『テンソル代数と表現論』が届きました。

これから読み始めようと思います。

869 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 19:27:46.45 ID:IB0OBOos.net

これ↓コピペして使っていいよ

池田岳さんは大丈夫な人なのでしょうか？

870 ：１３２人目の素数さん：2022/04/16(土) 19:28:46.90 ID:IB0OBOos.net

スレとあんまり関係ないけどIDが結構かっこいい

871 ：１３２人目の素数さん：2022/04/17(日) 14:53:34.62 ID:WHuG1b+m.net

池田岳著『テンソル代数と表現論』

カバーと帯の配色が綺麗ですね。

872 ：１３２人目の素数さん：2022/04/17(日) 16:51:17.32 ID:WHuG1b+m.net

池田岳著『テンソル代数と表現論』

第１章の途中まで読みましたが、よくまとまっていて、読みやすいと思います。

873 ：１３２人目の素数さん：2022/04/18(月) 00:33:40.37 ID:HsfpgeqQ.net

↓コピペでどうぞ

池田さんは一体どんな数学的センスの持ち主なのでしょうか？

874 ：１３２人目の素数さん：2022/04/18(月) 11:51:56.32 ID:KcHBreVd.net

質問です。
K=C(複素数)上のベクトル空間をVc、KをR(実数)に制限したベクトル空間をVrとします。
dimVc=dimVr は成り立ちますか？
成り立たないから反例を成り立つなら証明を教えて下さい。

875 ：１３２人目の素数さん：2022/04/18(月) 11:55:58.40 ID:BGO5j9mA.net

C 上のベクトル空間 C は1次元ベクトル空間
R 上のベクトル空間 C は2次元ベクトル空間

876 ：１３２人目の素数さん：2022/04/18(月) 12:01:25.44 ID:KcHBreVd.net

>>875
了解ですw
さすが早いですね…。

877 ：１３２人目の素数さん：2022/04/18(月) 12:56:10.28 ID:BGO5j9mA.net

池田岳著『テンソル代数と表現論』

「〜がしたがう。」という非常に奇妙な日本語を多用しています。

878 ：１３２人目の素数さん：2022/04/18(月) 13:02:13.65 ID:BGO5j9mA.net

池田岳著『テンソル代数と表現論』

ジョルダン分解の話を読み終われば、第1章を無事読み終えることになります。
第1章は非常に分かりやすいです。

879 ：１３２人目の素数さん：2022/04/18(月) 22:55:36.39 ID:9Ip71OTU.net

>>876
というか
例を自分で考えてみたらこれはすぐ思いつかねばならないのに

880 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 11:49:58.52 ID:TCoFcnyb.net

池田岳著『テンソル代数と表現論』

第1章を読み終わりました。非常に分かりやすかったです。

881 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 18:27:17.57 ID:mKgyKMR0.net

Kが可換体でf(x)∈Kが既約ならKの任意の有限次ガロア拡大におけるf(x)の既約因子は全て同じ次数である事を示せ
という問題が分かりません。教えていただけないでしょうか。

882 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 18:50:32.81 ID:fNfHllwS.net

>>881
L/Kをガロア拡大、M/Lをf(x)の完全分解体とする
g(x),h(x)をf(x)ほL(x)での規約因子とするときg(x), h(x)はGal(M/K)の作用で移り合う、(∵ g(x)の根α、h(x)の根をβとするときg(x),h(x)はα、βの最小多項式でα、βはGal(L/zk)の作用で共役)
よって主張が成り立つ

883 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 19:10:40.73 ID:mKgyKMR0.net

>>882
これでf(x)のL上の全ての既約因子の次数が等しいことが言えたんですか？

884 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 19:11:42.66 ID:mKgyKMR0.net

Gal(M/K)の作用で移り合うって部分がわからないです

885 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 19:14:49.37 ID:XMPzBtyf.net

>>883
人に教えて貰っといて何その偉そうな態度

886 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 19:17:49.21 ID:mKgyKMR0.net

すいません。

887 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 19:21:40.85 ID:mKgyKMR0.net

>>885
α、βはGal(L/zk)の作用で共役
の部分がわからないです。zkとはなんなのでしょうか。
またどんな作用であるのでしょうか

888 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 20:03:30.87 ID:rE9xLsQH.net

>>887
zはタイプミス
各係数にGal(M/K)を作用させる

889 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 20:51:47.42 ID:Re5udWBt.net

>>882
これって
g(x),h(x)が移り合うある作用σ∈Gal(M/K)が存在するって事ですよね

Gal(M/K)の全ての元に対してg(x),h(x)は移り合うわけではないですよね

890 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 20:56:21.15 ID:gnosbtOT.net

>>889
ないよ
だから書いてるやん
g(x)の根がα、h(x)の根がβ、σがα→βのときg(x)→h(x)

891 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 22:01:22.10 ID:Re5udWBt.net

>>890
うまくg(x)の根とh(x)の根が対応する様に延長したという認識で大丈夫でしょうか

892 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 22:19:12.85 ID:XMPzBtyf.net

>>891
ガロア拡大の定義をもう一度復習してみることを勧める

893 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 22:32:16.89 ID:dEFn3hsU.net

せやな
ここまで書いてもらって行間埋められないレベルだと多分その本にで出していいレベルにないやろな

894 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 23:52:17.02 ID:Re5udWBt.net

やっとわかった
g(x)の根がα、h(x)の根がβ、σがα→βのときg(x)→h(x)
を示す事ができた。むしろこれが証明できれば明らか。
これは自明では無いですよね。もしかして常識？

895 ：１３２人目の素数さん：2022/04/20(水) 00:38:54 ID:dgcoUtFo.net

常識ではないやろ
頻出のテクニックかもしれんが
というか知らなくても>>881の問題見てどうするべと2、3分考えてフットひらめかないとダメやろ
4回になって研究室のゼミとか始まって論文とか読み始めたらこの程度の問題はできて当然とばかりにビュンビュン行間飛ばしてくるからな

896 ：１３２人目の素数さん：2022/04/20(水) 18:25:31.07 ID:TRdJ37K5.net

微積分や線形代数の教科書は大丈夫でない人が書いているということがわかったのでこれからはもっとちゃんとした人だという噂の人たちが書いた本を読むことにします

手始めにアンドレ・ヴェイユとかジャン-ピエール・セールという人などの本を探して読むことにします

整数論入門や楕円関数の本があるそうなので私にも読めると思います

897 ：１３２人目の素数さん：2022/04/20(水) 19:40:19 ID:WB7kMI0k.net

実際、Amazonすらなかった時代と違って、外国語が読めない以外の理由で今和書を読む理由はない
EGAみたいな一部の本以外の、セールなどの古書でないとより良い

898 ：１３２人目の素数さん：2022/04/20(水) 19:58:58.32 ID:KIZDLrdx.net

>>869コピペしたらいいのに
>>873とか

899 ：１３２人目の素数さん：2022/04/20(水) 20:08:59.48 ID:/IpzeaaI.net

斎藤毅著『線形代数の世界』

行列表示を使えば、線型空間と線形写像についての問題を、ベクトルと行列についての
問題に帰着させて解くことができる。例えば、 y = f(x) をみたす x ∈ V を求めるには、
対応する連立1次方程式 b = A*a を解けば、その解 a = (a_1, … ,a_n) ∈ K^n に
対応する x = a_1*x_1 + … + a_n*x_n ∈ V が求められる。

↑のことをちゃんと証明するとすると、以下のように証明しなければなりませんよね？

y ↔ b とする。
f(x) = y に解 x が存在すれば、 x ↔ a とすると、 b = A*a である。

y ↔ b とする。
a が b = A*a をみたすとする。
x ↔ a とする。
y' = f(x) とおく。
y' ↔ b' とすると、 b' = A*a が成り立つ。
b' = A*a = b であるから、 y' = y である。
∴ y = f(x) が成り立つ。

900 ：１３２人目の素数さん：2022/04/22(金) 22:49:31.55 ID:e0MLUOTa.net

「群G, G'が同型であれば、群の演算にのみ依存する性質Pに関して、P(G)=P(G')である。」的な話はよくあるけど、「群の演算にのみ依存する」の辺りって数理論理学的にはどう厳密に定式化されるの？

901 ：１３２人目の素数さん：2022/04/23(土) 19:16:59.20 ID:b/pvmdyR.net

池田岳著『テンソル代数と表現論』

第2章をもう少しで読み終わります。

この章も非常に分かりやすいです。

902 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 00:42:58.16 ID:s7toxtS0.net

三次方程式の解の公式をガロア理論的観点で見てみるという『環と体とガロア理論』に書いてある話に関して質問です

具体的には、
・体Kを標数0で、かつ、1でない1の三乗根を含む体とする
・f(x)は既約で、f(x)のガロア群はσ_3 (3次の置換群)
・体K上の多項式f(x) = x^3 + a_1 x^2 + a_2 x + a_3の根をα_1, α_2、α_3とし、L = k(α_1, α_2、α_3)とする
という設定で、
ガロア群と体の拡大の対応
L--{1}⊂σ_3
|　　|
M--<(123)>⊂σ_3
|　　|
K--σ_3
と、解の公式との関係を考えるという話に関してです。

KをMに拡大する部分は、
「f(x)の判別式をDとするとD^(1/2)は<(123)>⊂σ_3では不変で、(12)では不変でないので、M=K(D^(1/2))である」
ということが書いてあり、
MをLに拡大する部分は
「三次方程式の解の公式の形を見るとLはMに三乗根を添加したものであることが分かる」
ということが書いてあります。

KをMに拡大する部分は、
a_1,a_2,a_3の四則演算とべき根で表せて、かつ、σ_3のある元に関して不変でなく、かつ、<(123)>⊂σ_3では不変である、という元をKに添加すればいいんだなということで、
ガロア群を考えることで、解の公式を知らないという前提でもどのように体を拡大すればいいかの参考になる情報が得られていて、なるほどな、と思った一方で
MをLに拡大する部分はそういう記載はなかったので、少しもやっとしています。

KをMに拡大する部分と同じ感じで、MをLに拡大する部分について、Mに何を添加すればLになるのかを、解の公式を知らない前提で、ガロア群との対応を用いて考えることはできますか？

903 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 01:02:53.70 ID:s7toxtS0.net

>>902
同じ話でもう一つ質問です
f(x)をM上の多項式と思うと、ガロア群が<(123)>なのでf(x)はM上可約だと思うのですが、これは合ってますか？

f(x) = (x - α_1)(x- α_2)(x-α_3)ですが、α_1, α_2、α_3はいずれも三乗根を含んでいるのでMに含まれず、f(x)はM上既約のようにも思えてしまうのですが

904 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 01:49:28 ID:eZpJNZW1.net

>>902
3解をα、β、γ、1の原始三乗根をζとし、λ=α+βζ+γ/ζ とおけば
L = M( λ )
実際σをσ(α)=β、σ(β)=γ、σ(γ)=αであるGal(L/M)の元とすると
σ(λ) = λζからλはL＼Mの元でLはM上λで生成される
一般にこのようなλはGal(L/M)が巡回群のときα+σ(α)+σ^2(α)+...で作ることができる
そのM上の最小多項式は今の場合
x^3 - λ^3=0
となる
解の公式に仕立てるにはこのλ^3がMの生成元である判別式の平方根(α-β)(β-γ)(γ-α)で表示してやれば良い
実際
λ^3
=α^3+β^3+γ^3 + 6αβγ
　+ 3ζ(α^2β + β^2γ + γ^2α )
　+ 3/ζ(αβ^2 + βγ^2 + γα^2 )
=α^3+β^3+γ^3 + 6αβγ
　+ 3(ζ+1/ζ)(α^2β + β^2γ + γ^2α + αβ^2 + βγ^2 + γα^2 )
　- 3(ζ-1/ζ)(α^2β + β^2γ + γ^2α - αβ^2 - βγ^2 - γα^2 )
で前半2行は対称式なのでKの元、最後の一行は交代式なのでMの元なのでλ^3もf(x)の係数と±√Δで表示する事ができる

905 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 01:57:18.48 ID:eZpJNZW1.net

>>903
合ってる
Mの候補としては
M=K(α), K(β)、K(γ)どれをとっても同じ
例えばK(α)をとればf(x)=x^3+px^2+qx+rとして
f(x) = (x-α)(x^2+(p+α)x+ q+pα+α^2)
と因数分解される

906 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 07:04:50.10 ID:P5W6dpFx.net

菓子Aの重さと菓子Bの重さはそれぞれ独立で正規分布(10,5)と(30,10)に従う
菓子Aを4つ、菓子Bを4つ、箱に詰めた時の平均と分散はいくつか？

よろしくお願いします

907 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 07:25:34.47 ID:6T57fZCC.net

https://k-san.link/normal-reproductive/

908 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 07:41:37.68 ID:BRWood23.net

>>907
ありがとうございます

4つずつ取っても
(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)
と言うことですか？

(4μ1+4μ2,16σ1^2+16σ2^2)
かと思っていました

909 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 07:50:39 ID:ed0WovFy.net

>>908
そのページ見てそう思うならそうなんやろ

910 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 08:05:40 ID:rN44uxC+.net

>>909
文系なのに会社の関係で統計勉強し始めた
さっぱりわからん

助けてください

911 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 10:10:05.70 ID:ut1WHkIF.net

Aから取り出した重さx1, x2
Bから取り出した重さy1, y2
E[x1+x2+y1+y2]=E[x1]+E[x2]+E[y1]+E[y2]
=10+10+30+30
V[x1+x2+y1+y2]=V[x1]+V[x2]+V[y1]+V[y2]
=5+5+10+10 (独立だから)

912 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 10:31:24.33 ID:Akyn0GPL.net

>>911
ありがとう！
ありがとう！
ありがとうございます！

今後も勉強がんばります。

913 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 12:13:46.10 ID:s7toxtS0.net

>>904
詳しい説明ありがとうございます、とてもスッキリしました！

>>905
>Mの候補としては
>M=K(α), K(β)、K(γ)どれをとっても同じ
ここが分かりませんでした
M=K(D^(1/2))であり、また、ガロア群の部分群と中間体は一対一に対応するので、候補が複数あるというのはおかしいのでは？という気がするのですが。
（M=K(α), K(β)、K(γ)のどれとみなすこともできる、という意味だとすると、Mがαもβもγも含んでいることになるので、M=Lになり、やはりおかしいように思います）

914 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 13:31:06.50 ID:DZQ3BFjO.net

>>913
”Kにf(x)の根をひとつ添加して得られる体”は同型なものが３つできる
“同型である”と“同じ”とは違う、ここの違いを混同してはいけない
”Kにf(x)の根をひとつ添加して得られる体”はこの場合K(α), K(β), K(γ)の３つあってコレらは同型ではあるけどf(x)の分解体Lをひとつ固定して考えたとき“同型な異なる３つの体”として出てくる
それぞれ位数2の部分群<(1,2)>, <(1,3)>, <(2,3)>に対応する体として出てくる

915 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 13:42:53.02 ID:hUk4tLE9.net

>>914
Mは<(123)>に対応してるですが

916 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 14:30:30 ID:t2KAYlcf.net

すみません、>>903については勘違いでした

>>903は誤って
三次方程式f（x）が可約↔ガロア群がz/3z
と思っていて出てきた疑問だったのですが、正しくは、f（x）の係数を用いて作られる別の多項式g（x）について
g（x）が可約↔ガロア群がz/3z
でした

なので、
>f(x)をM上の多項式と思うと、ガロア群が<(123)>なのでf(x)はM上可約
というのは間違いでした

917 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 15:32:04 ID:RMn+K5ZE.net

佐武一郎著『線型代数学（新装版）』の
pp.155-157 例3 冪零行列の標準形

佐武一郎著『線型代数学（旧装版）』の
pp.148-150 例2 冪零行列の標準形

について質問があります。

冪零行列が基底を変えることにより、標準形に変形できるところまでは分かりました。
最後の標準形の一意性のところが分かりません。

「N に相似な標準形があれば、その中に現れる（§§）の形の i 次行列の個数は明らかに

r_i - r_{i+1} = 2*m_i - m_{i-1} - m_{i+1} = rank N^{i-1} + rank N^{i+1} - 2*rank N^{i}

である。従ってそれは N によって一意的に定まる。」

と書いてあります。

なぜ標準形は一意的なのでしょうか？

918 ：１３２人目の素数さん：2022/04/24(日) 17:37:27.64 ID:TnO6EH3c.net

>>916
そもそも可約(reducible)と可解(solvable)がごっちゃになってないか？

919 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 18:31:28.83 ID:ddodmtQl.net

直観主義論理を勉強しようとしてるのですが、排中律が成立しない命題の具体例というのはあるのでしょうか？

よく挙げられる、α^βが有理数となるような無理数α, βが存在することの証明では、
√2^√2が有理数であればα=β=√2となってα^βは有理数となり、
√2^√2が無理数であればα=√2^√2, β=√2とおけばα^β=√2^(√2×√2)=√2^2=2となって有理数となり、
√2^√2が有理数か無理数かわからずとも証明できてしまうことを問題視しているようですが、
実際には√2^√2は無理数なので「√2^√2は有理数(または無理数)である」という命題は排中律が成立しない命題の具体例にはなっていません

直観主義論理はあくまで排中律を使わない構成的な証明を良しとして排中律を公理から除いているだけで、実際に排中律が成立しない命題を想定しているわけではないのでしょうか？

920 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 19:14:10.68 ID:IPkQMB4N.net

>>919
単に直観主義ということなら、例えば爆発律や二重否定を証明できないことが証明されてる

921 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 19:20:23.01 ID:IPkQMB4N.net

>>920
間違えた
爆発律は証明できるわ

922 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 19:24:24.87 ID:IPkQMB4N.net

>>921
二重否定も間違いだったわ
二重否定の導入は証明できるけど、二重否定の除去は証明できないことが証明されてる

923 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 23:51:14 ID:jWSIJ68l.net

>>922
二重否定除去は排中律と同値で、排中律は他の公理から導けないので証明できないという話ですよね？
もう少し調べてみたらわかったのですが、どうも無限に関する命題で排中律が成立しないと想定しているみたいですね

924 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 01:15:56.34 ID:Ikaggb7R.net

>>923
>どうも無限に関する命題で排中律が成立しないと想定している
そんなの想定してるかね
排中律が成立しないってのはただ成立しないってだけ
それを使わない証明しか認めないってことだよ
排中律が成立しない例云々より
排中律はそもそも成立していないので
君が気にするべきは
排中律なしには証明できない命題にはどんなものがあるかだろう
たとえば二重否定の除去は排中律なしには証明できないことが照明されて入るものの
それは一般の話であって
排中律なしに三重否定から否定を２つ取り除くことは排中律なしに可能
ではどんな命題が排中律なしには証明できないかといえば
まさに一般の排中律が証明できない
つまりPを命題変数としてP∨¬Pは証明できない
一方¬P∨¬¬Pは排中律なしに証明できる
（一般に古典論理で証明できる論理式のすべての命題変数を二重否定に置き換えた論理式は排中律なしに証明できるので¬¬P∨¬¬¬Pは排中律なしに証明できて
三重否定から否定を２つ取り除くのも排中律なしにできるから¬P∨¬¬Pは排中律なしに証明できる）

925 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 02:12:21.85 ID:L20ICerH.net

>>924
そもそもは、構成的証明を掲げてる直観主義が、排中律が成立しない命題の具体例を構成しないで済ますなんてことするのだろうか？という疑問がありました

以下、自分が調べた文献(主にWikipediaですが)について載せます
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%92%E4%B8%AD%E5%BE%8B

古典数学では、「非構成的」あるいは「間接的」な存在証明があるが、直観主義者はそれを受け入れない。例えば、「P(n) が成り立つような n がある」ことを証明するとき、古典数学では全ての n について P(n) が成り立たないと仮定することで矛盾が生じることを示す。古典論理でも直観論理でも、帰謬法により「全ての n について P(n) が成り立たないということはない」ことが示される。古典論理はその結果を「P(n) が成り立つ n が存在する」に変換することを許すが、直観論理では総体として無限な自然数の集合が完全であって、P(n) となるような n が存在するということは言えない。なぜなら、直観主義では自然数が全体として完全であるとは考えないからである。[4] (Kleene 1952:49-50)

一般に、直観主義では有限な集合に関して排中律の適用を許すが、無限集合（例えば、自然数）に対しては許さない。したがって、「無限集合 D に関する全ての命題 P について、P であるかまたは P でないかのどちらかである」(Kleene 1952:48) という言い方は、直観主義では絶対できない。
Wikipediaの他にネットで公開されている大学の講義資料に、直観主義論理上の集合論であるCZF集合論は無限公理を持ち、無限集合を構成することは可能だが、無限集合に関し排中律は成立しない、という記述を見ました

926 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 02:33:24.30 ID:XA1ICaw0.net

直観主義も別に構成的証明に拘ってる訳ではないけどな
メタでは排中律も使うし

927 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 07:19:31.28 ID:Ikaggb7R.net

>>925
>大学の講義資料
URLみせて

928 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 12:19:40 ID:LZiNX85w.net

アホしかいねぇｗｗｗ

929 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 13:05:00 ID:+NmTJpA/.net

足助太郎著『線型代数学』

馬鹿丁寧な本ですね。

930 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 13:31:12.33 ID:+NmTJpA/.net

書きすぎと言われそうな本ですね。

931 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 13:48:56 ID:dpro7H9A.net

池田岳先生は大丈夫やった？

932 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 19:09:08.70 ID:L20ICerH.net

>>927
https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/229222/25e68a32570612cc8bd2a4ff3d34f949
pdfの29ページで構成的集合論CZFに触れていて、30ページの注釈*4で「無限集合に関し排中律が成立しない」という記述があります

933 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 20:27:55.18 ID:L20ICerH.net

>>932補足
直観主義論理が想定する排中律が成立しない命題について、
まず自分の手元にあった共立出版 カラー図解数学事典(dtv-Atlas Mathematik)を見てみたのですが、
以下のように記載されていました

普通に行う無限の実際的解釈では、総体として理解可能な有限集合同様、自然数の集合とその性質について語ることができる。
それに反し無限の可能的な解釈では、有限回手順での段階的構築によって到達できることしか認識できない。
(中略)
しかし、高階述語論理の不完全性により、自然数に関する真の命題で、特定の規則に従った有限回の手順では導出されないものが存在する。
ゆえに上記の後者による無限の解釈(注:無限の可能的な解釈)では、その命題が主張する自然数の性質はその肯定・否定のどちらとも認識されえない。
とすればしかし、さかのぼって排中律を無限集合に適用することを、したがって論理の2値原理をも退けねばならない。
直観主義論理は、このような全く異なった基礎の上に構築された論理体系を提示する。
それを数学に適用した場合、すべての非構成的存在証明と背理法による間接証明は失われる。
さらに、構成的に到達可能な枠組みを超えるような公理的手法は一切拒絶することになる。
(以下略)

934 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 20:28:13.98 ID:lPRNo7OA.net

>>925
「構成的証明を掲げてる直観主義が、排中律が成立しない命題の具体例を構成しないで済ますなんてことするのだろうか？という疑問」
ここがわからない
推論規則と命題を混同していないか？

935 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 20:29:38.35 ID:L20ICerH.net

>>933続き
これだけでは自分にはよくわかりませんでした
そこで>>932の著者の先生をネット上で知っていたので、何かしらこの件に触れている資料等はないか調べてみました
するとtogetterにて以下のような記載がありました(抜粋)
https://togetter.com/li/409585

(前略)日本でも「直観主義＝実無限の否定」と信じる人が多い。けれど、それは間違っていると思う。構成的数学の枠組みとなる直観主義論理上の集合論（CZFとか）は無限公理を含んでいるし、無限公理は実無限の存在を仮定してるというのはムリのない主張ではないか。

CZFの無限公理より、任意の自然数n に対しnを表現する数値\bar{n} \in \oemga となることは証明でき、つまり集合ωが全ての数値を含む無限集合なこと自体は証明可能で二値原理が働かないのは他の元についてですが、これでは不足でしょうか。

「任意の自然数n に対しnを表現する数値\bar{n} \in \oemga となること」を実無限の存在の仮定とは誰も言わないでしょう．\forall x \in \omega (Fx) という形の文に対して一般に二値原理が成り立つかどうかという問題です．

これらを手掛かりに調べたところ>>932の資料を見つけました
カラー図解数学事典の「無限の実際的解釈」がいわゆる実無限、「無限の可能的な解釈」が可能無限のことであるとわかりました
まとめると、「直観主義＝実無限の否定＝自然数全体は集合Nのように扱えない体系」と信じてる人が多いけれども間違いで、
直観主義論理上の集合論CZFは無限公理を持ち、自然数全体の集合Nのような無限集合を定義できるが、無限集合に関し排中律が成立しない、
ということのようです

結論として直観主義は、自然数は上に非有界であるとだけ考えるべきで、集合Nのようにその全体を対象として(？)扱うことはできないと想定しており
直観主義論理では無限集合に関する命題で排中律が成立しないと想定しているようです

936 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 20:30:41.36 ID:L20ICerH.net

>>935続き
ただし、>>932の先生の過去の発言に
「直観主義の立場では、排中律は無限集合を参照した途端に意味をなさなくなる」って間違いだよね
というのがありました
気になったのでさらに調べてみると、
この先生は過去に、構成的な素朴集合論における自然数全体の集合は確定的な境界を持たないことを証明したらしく、
また、非古典論理上の素朴集合論では、無限集合(典型的には自然数全体の集合ω)の境界線が確定的でなく、無限と有限の間の中間的な対象が存在することが示せる、
という発言をされていました
厳密には一概に、直観主義論理では無限集合に関する命題で排中律が成立しないとは言えないようです

937 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 20:39:01 ID:lPRNo7OA.net

>>936
> 直観主義では「実無限」を定義できないと言う誤解もある
といった端から
> この点は、「実無限」という言葉の定義の問題である

などとあからさまな論理的詐術を働くような学者は信頼に値しない

938 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 20:53:29.29 ID:L20ICerH.net

>>937
それは自分のここでの抜粋のせいですり替えが起こってるように感じるだけだと思います

恐らくですが>>935のtogetterの議論以前は実無限の定義を、
無限を表す名辞「自然数全体の集合」が指示する対象 ω が存在する、
としていたので、実無限は定義できると考えていたのが、

togetterの議論以降は実無限の定義には、
∀x ∈ Ω (Fx) という形の文に対して一般に二値原理が成り立つ
＝無限集合に関し排中律が成立する、
もあり得ると考えるようになったので、実無限の言葉の定義による問題と記述したのだと思います

939 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 21:10:37.32 ID:LZiNX85w.net

馬鹿の長文　休むに似たり

940 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 21:10:40.95 ID:lPRNo7OA.net

>>938
いえ、あなたが教えてくれた

941 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 21:12:08.57 ID:lPRNo7OA.net

いえ、あなたから教えて貰った>>932のリンク先を読んでの感想です。

942 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 21:13:14.92 ID:L20ICerH.net

>>934
自分自身は独学してるだけの素人ですので、混同していると思います
その発言は、実際に論理的に証明すべきという意味ではなく、
>>919のように√2^√2が有理数か無理数かわからずとも証明できてしまうことを問題視しているように見えるのに、
もしそれを問題視するべきなのかをよく議論せずにいるのだとしたらお粗末な話だと思ったという程度の意味です
混乱するような発言をしてしまって申し訳ないです

943 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 21:16:52.73 ID:lPRNo7OA.net

>>942
「素人」と言いながら既成の学問を「お粗末」と言い出す

化けの皮が剥げた

944 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 21:21:23.24 ID:L20ICerH.net

>>943
『もし』それを問題視するべきなのかをよく議論せずにいるのだとしたらお粗末な話だけど
実際はそんなことはないだろうから、何かあるはずだと思ったということです

945 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 21:24:48.47 ID:3Hhic58i.net

ネットの当てにならん情報ばっかり見てるからやろ
教科書買って読むしかないやろ

946 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 21:25:50.72 ID:5w1+8reC.net

すいません。急に失礼します。
ちょっと趣味で地図を使ったスマホアプリ作っていて詰まったので教えてください
ある長さが与えられたときに、その長さがちょうど入るズームレベルを求めたいんですが、
その計算式が分かりますでしょうか

地図タイルについてはここに仕組みが書いてあって、
https://www.trail-note.net/tech/tile/
ズームレベルが0のとき、地球全体（幅・高さ共に40075017m)が入る正方形と考えます
それと、スマホの画面の高さと幅のPixelはプログラムから取得できます
アプリは縦画面固定で動作させるので、
つまり、ズームレベル0のときスマホの画面の高さのPixel数が地球の高さ40075017m に一致します
ここから、たとえば日本列島は大体3000000mとして、これ全体が入るズームレベルを求めるにはどういう計算をしたら良いでしょうか。
ちなみにズームレベルは整数でなく、少数で求めたいです。よろしくお願いします

947 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 21:27:41.45 ID:XA1ICaw0.net

あ、この人の言ってる「排中律が成立しない命題」ってもしかして
⊢P∨¬P
が成り立たない命題Pのことか
とりあえず色々知識足りてないみたいだし、標準的な数理論理学の入門書を一冊読んでから質問した直観主義論理に触れた方がよさげ

948 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 21:58:15.00 ID:TOJuKQIF.net

>>946
そのリンク先を見ると“メルカトル図法”とあるけどおそらくメルカトル図法ではない、メルカトル図法だとy軸方向に無限に伸びる
多分ミラー図法のようななんらかの方法で極が無限に飛ばないように調整してるはずだけどその調整をどうしてるのかのデータがないとわからない

949 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 22:01:09.41 ID:TOJuKQIF.net

>>946
その“地図タイルデータ”は地図タイルデータザーバなりなんなりからもらってくるんでしょ？
その地図タイルデータのマニュアルに地球上の地表面をどう正方形にマップしてるのかのデータは公費されてないの？

950 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 22:07:15.04 ID:+NmTJpA/.net

佐武一郎著『線型代数学（新装版）』の
pp.155-157 例3 冪零行列の標準形

佐武一郎著『線型代数学（旧装版）』の
pp.148-150 例2 冪零行列の標準形

について質問があります。

冪零行列が基底を変えることにより、標準形に変形できるところまでは分かりました。
最後の標準形の一意性のところが分かりません。

「N に相似な標準形があれば、その中に現れる（§§）の形の i 次行列の個数は明らかに

r_i - r_{i+1} = 2*m_i - m_{i-1} - m_{i+1} = rank N^{i-1} + rank N^{i+1} - 2*rank N^{i}

である。従ってそれは N によって一意的に定まる。」

と書いてあります。

なぜ標準形は一意的なのでしょうか？

951 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 22:09:42.30 ID:fEGMVdYE.net

>>947
横からだけど、こういうのって
M |=P∨¬P
みたいなモデルMを見つける以外にできるん？
シーケント計算のカット除去みたいなのを駆使して証明の候補を除外して行ってできたりするもんなん？