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面白い問題おしえて〜な 39問目
- 1 ：１３２人目の素数さん：2021/10/11(月) 12:42:12.04 .net
- 前スレ
面白い問題おしえて〜な 38問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629715580/
過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/
過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
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22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
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29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
- 888 ：１３２人目の素数さん：2021/12/17(金) 08:37:00.94 ID:8SDYGyYL.net
- >>887
673 １３２人目の素数さん[sage] 2021/10/11(月) 13:05:51.23 ID:qOF1Ryfq
どっちの式も()を解くように計算すると2.5x+10になるから答えが一緒なのね
>>672 俺の年はおっさんだよ。
(馬の年齢−4歳)×2.5＋20歳が馬齢の人間年齢換算になると調べて質問した。
馬は4歳で肉体が完成、馬齢4歳で人間年齢20歳になる。その後は1年で2.5歳ずつ年取るからこういう式になるのかなと
681 １３２人目の素数さん[sage] 2021/10/18(月) 08:42:58.43 ID:RIpG+M8m
>>673
馬が産まれた時に既に10歳というのは補正が必要そう。
682 １３２人目の素数さん[sage] 2021/10/22(金) 09:30:42.73 ID:7Vn+WHAB
>>681
https://i.imgur.com/Dc1YsbD.png
おい、鹿の年齢はどうした？
お前には馬と鹿がお似合いだって言っただろうが
- 889 ：イナ ：2021/12/17(金) 23:23:05.34 ID:4MaIVNCI.net
- 前>>859
>>872
5種類の切り方で概算すると、
立方体 (1+0.75+0.5+0.75+1)/5=0.8
球 ｛1+(1-v)+0.5+(1-v)+1｝=4.5-2v
∵半径(3/4πの三乗根)の球の中心から(3/4πの三乗根)の1/2の点を水平に切った欠球の体積vは、
v=π∫[t=0→3/4πの三乗根の1/2]｛1-(1-t^2)｝dt
=π∫[t=0→3/4πの三乗根の1/2](2t-t^2)dt
=π[t^2-t^3/3](t=3/4πの三乗根の1/2)
=π(3/4π)(1/t-1/3)(t=3/4πの三乗根の1/2)
=(3-t)/4t(t=3/4πの三乗根の1/2)
球-立方体=4.5-2v-0.8
=3.7-2v
=3.7-(3-t)/2t(t=3/4πの三乗根の1/2)
これが正なら球が得。
- 890 ：イナ ：2021/12/17(金) 23:43:36.59 ID:4MaIVNCI.net
- 前>>889
>>872
3/4πの三乗根は(3/4π)^(1/3)=0.62035049089……
t=0.31017524545……
球-立方体=3.7-(3-t)/2t
=3.7-3/2t+0.5
=4.2-3/0.62035049089……
＜4.2-3/0.7=(2.94-3)/0.7＜0
∴立方体のほうが期待できる。
- 891 ：イナ ：2021/12/17(金) 23:50:30.94 ID:4MaIVNCI.net
- 前>>890
- 892 ：イナ ：2021/12/17(金) 23:55:22.02 ID:4MaIVNCI.net
- 前>>890確認。
きのこの山とたけのこの里ではどっちがチョコレートが多くて得か？ という問題と似ている。
答えはきのこの山。凹凸が多いほうだ。
すなわち球より立方体であってる。
- 893 ：１３２人目の素数さん：2021/12/18(土) 05:57:41.60 ID:18bnryMR.net
- >>892
大きい方が貰えるという設定がミソだな。
チョコの微笑片を包丁でどちらが削り取りやすいかと考えると
球なら表面近くを削ればどこでも微笑片がとれるけど、立方体だと頂点近傍でないと微笑片はとりにくい。
大きい方が貰えるのだから、微小片がとれやすい球を選ぶ方が沢山のチョコが貰えると期待できる。
これを定量的に計算できる人は凄いと思う。俺はモンテカルロ解しか持ち合わせていない。
- 894 ：１３２人目の素数さん：2021/12/18(土) 05:58:53.56 ID:18bnryMR.net
- こういう問題設定にすると、球でも立方体でも同じ。
球形のチョコボールと立方体のチョコキューブがあり両者の重量は同じである。
表裏が区別できる平面の包丁を使って任意の方向で二分割して表側に接したチョコ片が貰える。
チョコボールとチョコキューブのどちらのチョコ片を貰う方が沢山もらえると期待できるか？"
- 895 ：１３２人目の素数さん：2021/12/18(土) 09:04:52.22 ID:qethEj0o.net
- しかし貧乏臭い問題だな
尿瓶ジジイにはお似合いだねw
- 896 ：１３２人目の素数さん：2021/12/18(土) 09:32:10.32 ID:DDIBIULP.net
- >>894（補足）
PC上で実験してみると、
平均値も中央値も同じだけど、球形のチョコボールの方がギャンブラー向き。
https://i.imgur.com/tcoJHjS.png
- 897 ：１３２人目の素数さん：2021/12/18(土) 09:39:50.28 ID:6Dyu40i4.net
- >>896おい、途中でぶん投げるなよ穀潰しジジイ
673 １３２人目の素数さん[sage] 2021/10/11(月) 13:05:51.23 ID:qOF1Ryfq
どっちの式も()を解くように計算すると2.5x+10になるから答えが一緒なのね
>>672 俺の年はおっさんだよ。
(馬の年齢−4歳)×2.5＋20歳が馬齢の人間年齢換算になると調べて質問した。
馬は4歳で肉体が完成、馬齢4歳で人間年齢20歳になる。その後は1年で2.5歳ずつ年取るからこういう式になるのかなと
681 １３２人目の素数さん[sage] 2021/10/18(月) 08:42:58.43 ID:RIpG+M8m
>>673
馬が産まれた時に既に10歳というのは補正が必要そう。
682 １３２人目の素数さん[sage] 2021/10/22(金) 09:30:42.73 ID:7Vn+WHAB
>>681
https://i.imgur.com/Dc1YsbD.png
鹿の年齢はどうした？
お前には馬と鹿がお似合いだって言っただろうが
- 898 ：１３２人目の素数さん：2021/12/18(土) 12:11:23.32 ID:XgqMiYo4.net
- 問題として成立してない
確率論の基礎を何も分かってない
- 899 ：１３２人目の素数さん：2021/12/18(土) 12:11:50.94 ID:XgqMiYo4.net
- ベルトランのパラドックス知らんのか
- 900 ：１３２人目の素数さん：2021/12/18(土) 19:19:51.09 ID:gdRbxM5m.net
- 解が一意じゃないから解けないって散々言われてんのにね
意味不明
- 901 ：１３２人目の素数さん：2021/12/18(土) 21:55:22.04 ID:VGdPFeRH.net
- >>873
これ前半も要素４つ以上で反例あったわ
a=1, b=1, c=1, d=-2 とおいたら
|a| + |b| + |c| + |d| + |a+b+c| + |b+c+d| + |c+d+a| + |d+a+b| = 8,
|a+b| + |a+c| + |a+d| + |b+c| + |b+d| + |c+d| + |a+b+c+d| = 10
だから同じような不等式が成り立たない
>>809 がどうして成り立つのかいよいよ謎めいてきたな…
- 902 ：１３２人目の素数さん：2021/12/18(土) 23:13:14.67 ID:FR2FPKpk.net
- >>901
なんか計算変じゃないか
- 903 ：１３２人目の素数さん：2021/12/18(土) 23:14:32.42 ID:FR2FPKpk.net
- いや、合ってたすまんw
- 904 ：１３２人目の素数さん：2021/12/18(土) 23:38:00.73 ID:GWQ/aW7A.net
- 暇つぶしに
lim[n→∞]∫[0,1]√(1+n^2x^n)dx
模試の問題らしいので受験数学縛りで
- 905 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 00:53:06.08 ID:/t623hEG.net
- >>901
ググると出てくると思うけど一般化がそもそも違う
- 906 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 05:26:07.23 ID:HiQZNjYX.net
- >>904
n^2x^n って n^(2 * (x^n)) のこと？
- 907 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 07:57:53.52 ID:fuQPdDRd.net
- 図形の問題。
長さ1の正方形の額縁がある。
この中に 多角形である N角形 を置いて回転させたい。
今、N角形のうち、以下を満たすものを最大回転可能N角形と呼ぶ。
・最も長い対角線が1以下である
・回転可能な大きさであり、かつ、その面積は他のどのようなN角形よりも大きい。
この時、最大回転N角形を求めるとそれは"ユニークな正N角形"の事だろう…
と直感的に思われるが実はそうではない。
「Nの値によっては
最大回転N角形が正N角形と同一ではない場合が起こり得る」
Q.1. これが起こるもっとも小さい自然数Nはいくらか？
Q.2. その時の最大回転N角形はどのような形状か？
それぞれの角度N個、 および 、最長と最短の対角線の長さ2つを答えよ。
- 908 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 08:41:42.98 ID:84ev5+Ep.net
- >>906
いえ、n^2 * x^n です
- 909 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 09:20:34.65 ID:84ev5+Ep.net
- N=3のとき一辺1の正三角形
ここまでできた
- 910 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 09:24:15.25 ID:P+C5K3Ef.net
- 降水確率というときに何をもって同様に確からしい根元事象として設定しているのかはよくわからんが、予報士の確信の度合いを示す指標であることはすぐにわかる。
確率は人の心の中にある。
他の例、
安倍晋三が仮病である確率
- 911 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 09:24:53.98 ID:84ev5+Ep.net
- N=4のとき対角線が直交しててどちらも長さ1のやつが最大回転可能
そういうのはいっぱいあるからN=4が最小値やな
- 912 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 09:42:12.92 ID:fuQPdDRd.net
- >>909
そういう正三角形や正方形は
「正N角形 = 最大回転可能多角形 」 になっちゃうから
ダメなんだよなぁ。
回転可能で面積を最大にする形状、
それが「正N角形にならない」 のはどういう場合で、それは何角形か？
- 913 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 09:52:13.77 ID:84ev5+Ep.net
- >>912
問題文そう読めんけど
まぁいいんだけど
- 914 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 09:55:02.46 ID:84ev5+Ep.net
- >>912の文章でもダメやろ
くだけた文章にするのはいいけど最低限違う意味にとれてしまう文章はあかんやろ
- 915 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:07:54.11 ID:fuQPdDRd.net
- >>913 >>914
ごめんなさい。
とにかく、回転可能な多角形で
なるべく面積を大きくするような形状を求めて…
それが正多角形ではないような奴
が登場するからそれを見つけてください。
よろしくお願いします… ぺこり m(_ _)m
- 916 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:11:43.63 ID:P+C5K3Ef.net
- 根元事象という仮想の一様分布モデルで確率計算するのだから、一意に定まるかどうかはどういうモデルを使うかによるので自分で設定すれば( ・∀・)ｲｲ!!
例
1kgの巨大チョコボールがある。
図のように小さな粒からできており、この粒を点とみなして無作為に選んだ3点を結ぶ平面で巨大チョコボールを分割して大きいほうがもらえる。
もらえるチョコの重さの期待値を概算せよ。
https://i.imgur.com/klkzLe7.png
- 917 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:14:05.57 ID:5kl1h8NU.net
- >>915
まぁ謝んなくてもいいけどまだ文章ダメやろ
N=4のとき対角線が長さ1で直交してる場合、回転可能で面積最大、正方形でないと全て条件満たしてるんだから
「回転可能なN角形で面積最大のものが“全て”正N角形でない」
でしょ？
N=4の場合回転可能で面積最大である必要十分条件が対角線の長さ1で直交してるだからその中に正方形が入るのでアウト
って意味だよね？
- 918 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:20:03.34 ID:fuQPdDRd.net
- >>917
ん？ 正方形じゃん。
四角形で…対角線の長さが1で…直行している…
そういう四角形って、それはまさにユニークな正方形 1つ だろ。
N=4 の時の解は ユニークな正方形1つ だよ。
(対角線は 1、 1辺が √2/2 の)
- 919 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:20:11.25 ID:TW1kxhZc.net
- >>910
ただのガイジ
- 920 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:22:34.34 ID:Oo2a+Dml.net
- >>915はつまり、Nによっては回転可能・面積最大の正N角形より
面積が真に大きい回転可能N角形が存在するということ？
>>911は正方形と面積が同じだから該当しないと。
- 921 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:23:31.66 ID:fuQPdDRd.net
- 条件にあるのは、 もっとも長い対角線の長さが1以下 だぞ。
「長さ1の対角線2本が 直行する四角形」って
それ、正方形じゃん。
回転可能N角形が…
正N角形にならないようなNを探せ って問題だよ。
- 922 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:26:10.91 ID:5kl1h8NU.net
- >>921
イヤだって例えば
(1/3,0),(-2/3,0),(0,1/3),(0,2/3)
の凸包は
対角線の長1、直交、面積1/2で最大
だけど正方形じゃないやん？
- 923 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:26:30.98 ID:GTFgVJd4.net
- >>921
頭の検査してこい
- 924 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:28:07.19 ID:Oo2a+Dml.net
- >>918
この>>911の図形は、対角線がそれぞれの中点で
交差してない四角形を想定してるんだと思う。
- 925 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:29:43.30 ID:5kl1h8NU.net
- >>917
あ、これちょっと条件緩すぎるな
直交してる交点がはじに寄りすぎると回転できない
でもピッタリ中点で直交しなくてもややどちらかにずれるだけなら回転可能だから少なくとも
面積最大、回転可能、正方形でない
ものが存在してる
- 926 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:31:24.25 ID:fuQPdDRd.net
- >>920
「Nによっては回転可能・面積最大の正N角形より
面積が真に大きい回転可能N角形が存在する」
Yes です！
直感的に 「正」という字にこだわってしまうのが落とし穴なんです。
N角形をいろいろと考えると
ついつい、正N角形が答えだと思ってしまいがち。
直感的には信じられないかもしれないけど
「最大回転可能N角形 が 正N角形の形状 になっていない」
ものが存在するんスよ、あるNの値において。
(Nが3や4の時は明らかにそんなものは存在しないですよね)
「上下・左右に対称な正N角形」 が答えになりそうだと思いがち。
しかし、それはどのN多角形にも適用されるわけじゃないんです、マジで。
- 927 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:36:52.21 ID:fuQPdDRd.net
- >>922
それ、矢じりのような形になるよね。
- 928 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 10:42:23.91 ID:5kl1h8NU.net
- >>927
イヤ両方ずらしてるから等脚台形
N=4の場合でも正方形でない回転可能な正方形でない形は山ほどある
- 929 ：907：2021/12/19(日) 11:24:03.56 ID:fuQPdDRd.net
- >>907 の回答を
ちゃんと用意したから
正解がなければ
夕方には ここに貼るわ。
- 930 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 11:27:26.91 ID:fuQPdDRd.net
- >>928
それだと面積が 1/2 より小さくなるだろ。
最大な回転可能N角形 を求めるんだぞ？
でもって それが 正N角形の相似形になっていないようなもの。
N=4 だと正方形だってば。
- 931 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 11:43:58.11 ID:5kl1h8NU.net
- >>930
ならん
対角線が直交してて長さ1なら面積1/2
- 932 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 11:55:01.24 ID:fuQPdDRd.net
- >>931
それ正方形じゃん。
- 933 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 11:58:36.75 ID:fuQPdDRd.net
- 長さ1の対角線2本を直行させて作る四角形って
それ 1辺√2/2 の正方形 じゃん。
ユニークに定まるじゃん。
- 934 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 12:01:40.78 ID:5kl1h8NU.net
- >>933
座標まで書いてるやん？>>922
正方形なってないやん？
- 935 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 12:07:34.62 ID:5kl1h8NU.net
- >>933
いわゆる多角形だからいわゆる"width"の最大値は辺、対角線の最大値に等しい
>>922の等脚台形は対角線は共に1、辺の長さは√2/3=0.4714、√8/3=0.9428、√5/3=0.7453なのでwidth=1
なので回転可能
面積=1/2×1×1×sin(π/2)=1/2
- 936 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 12:09:52.49 ID:5kl1h8NU.net
- おっと>>922の座標最後の点は(0,-2/3)ね
- 937 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 13:32:31.98 ID:NPfRQQp1.net
- >>881 訂正
https://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5Bisprime%282x%5E2%2B2x%2B1%29+and+mod%282x%5E2%2B2x%2B1%2C+5%29%21%3D0%2C+%7Bx%2C10%2C99%7D%5D&lang=ja
- 938 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 13:39:06.45 ID:fuQPdDRd.net
- >>935
そのとおりだわ、ごめん。
四角形は台形を変化させるだけだから
解が無数に存在するわ。
「そのN角形のうち、 「正」N角形が解と成り得ない無いもの
が表れるもっとも小さいNの値」 を求めよ。
って言わないといけんかった。
- 939 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 13:41:05.96 ID:fuQPdDRd.net
- そもそも、四角形の枠の中を回転させるんだから
N=4 の時は 正四角形も含めて無数に解が存在するのは
よく考えたら当たり前だな。
- 940 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 13:44:25.16 ID:84ev5+Ep.net
- >>938
いいってことよ
気にすんな
- 941 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 23:11:10.20 ID:PUT03yh2.net
- >>904
コレ受験縛りだと面白くないかな
受験縛りなしで
しかしそれだと収束定理うまく使うと4,5行でかける
でもそのままズバリ積分とlimは交換できないんだけど
- 942 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 23:56:19.30 ID:o/dDflpC.net
- 受験縛りってガバガバでいいなら弧長積分だと思って極限はカクッとした折れ線の長さで2ですみたいな感じじゃないの
- 943 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 00:17:38.77 ID:8Ya8L/ki.net
- それなら元のグラフ2x^(n/2)だから横1縦2で長さ3？
- 944 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 00:21:45.31 ID:8Ya8L/ki.net
- あ、正確には2n/(n+2)x^((n+2)/2)か
- 945 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 00:25:44.12 ID:cWv7dGHL.net
- 適当に答えちゃったけど
>横1縦2で長さ3
だね
- 946 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 00:40:25.57 ID:/He8Kipe.net
- 実際の模試では誘導があってまずこの積分計算を別の積分計算に還元します
元の積分はnに関して一様に可積分でも単調収束でもないので評価が難しい
そこで一様可積分な別の積分計算に還元します
すると受験縛りがなければlimと積分交換して終わりです
受験縛りだとハサミウチ
- 947 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 01:24:32.16 ID:FpwH25e2.net
- 多角形のやつはこれか
https://youtu.be/1kYGbMK1oA4
- 948 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 08:18:14.39 ID:6ADfbm/C.net
- >>916
割面と球の中心との距離が一様分布するように設定すると、分布が変わるなぁ。
- 949 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 08:21:04.50 ID:6ADfbm/C.net
- 雪が溶けたら何になるか
(1)水になる
(2)春になる
どちらも正しい。
キャンディーズの歌だと 川になる が答。
転落事故が起きた
(1)不注意が原因
(2)防護柵がなかったのが原因
(3)万有引力が原因
どの主張にも根拠はある。
政治資金規正法は
規制でなくて、規正としているのも
増やすのが正しいのか、減らすのが正しいのか どちらにも言い分があるから。
- 950 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 08:26:03.54 ID:aTVADeRS.net
- お前数学板でバカじゃねぇの
- 951 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 08:26:49.89 ID:6ADfbm/C.net
- 次の総理が女性である確率を求めよ？
男か女のどちらかだから、1/2
日本では過去に女性が首相になったことはないから0
男女比は日本の総人口で計算すべき
総人口でなくて有権者数の男女比で計算すべき
有権者でなく被選挙権のある人数の男女比で計算すべき
衆議院・参議院で年齢が異なるのでそれも勘案すべき
参議院議員から総理誕生は例がないから衆議院議員の被選挙権人数だけでいい
国会議員の男女比で計算すべき
現職議員が次期総理を選ぶ国会で議員をやっているとは限らないから現職議員の男女比で計算するはおかしい
一意には定まらない。
∵ 確率は人の心の中にある。
ユネスコ憲章みたいだな。
- 952 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 08:30:44.50 ID:aTVADeRS.net
- ここは面白い問題のスレだ
面白くないガイジはひっこんでろ
- 953 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 19:46:09.74 ID:GvvJLFbq.net
- >>904
I = ∫[0,1]√(1+n^2x^n)dx、J = ∫[0,1]1/√(1+n^2x^n)dxとおいて
I = [x√(1+n^2x^n)] - ∫n^3x^n/(2√(1+n^2x^n))dx
. = √(1+n^2)-(n/2)(I - J)
∴ I = ( nJ + 2√( n^2 + 1 ) )/( n + 2 )
(0,1)において0≦1/√(1+n^2x^n)≦1より一様可積分であり1/√(1+n^2x^n)は1に各点収束するからlim J = 1
∴ lim I = lim ( nJ + 2√( n^2 + 1 ) )/( n + 2 ) = 3
- 954 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 22:06:29.80 ID:j72vxFD3.net
- 「どちらかの一辺が自然数の長方形」達の非交和で長方形を作ったとき、その長方形も、どちらかの一辺が自然数であることを証明せよ.
- 955 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 22:13:23.24 ID:j72vxFD3.net
- この問題、解法を見ておったまげました
- 956 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 23:19:59.75 ID:8Ya8L/ki.net
- 天書の証明に載ってるやつか
- 957 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 23:35:16.35 ID:GvvJLFbq.net
- >>954がおったまげまたのではない泥臭いやつ
分割の辺と頂点の作るグラフを考える
例えば
┏━┳┓
┣┳┻┫
┗┻━┛
なら頂点が10個、辺が横向きが7本、縦向きが6本の計13本からなるグラフである
各辺にその長さ13個が指定されるわけだけど、それが各面について縦横２つの方程式が導かれる
例なら8個の方程式となる
この方程式の解で各面の縦か横のいずれかは有理数だが全体の縦、横は共に無理数の解があるとして矛盾を導く
解の正の実数のはるQベクトル空間をVとする
dimV=1ならよい
dimV≧2とする
Vの基底をv1=1,v2,...,vnとして各vk(k≧2)に対して十分近い有理数wkを選んでw1=1,w2=v2としてviをwiにマップするQ準同型をとればdimΣQwi=2だから最初からdimV=2としてよい
同じ手法でv2は超越数としてよい
このとき全長方形の縦横はV＼Qの元だから面積はVの元ではない
しかし各小長方形の面積は仮定よりVの元である
よって矛盾を生じた□
この証明引っ提げて解答読んでびっくらこいたな
- 958 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 23:43:29.00 ID:GvvJLFbq.net
- 面積のくだりちょっとおかしいな
エスパーして読んでちょ
- 959 ：１３２人目の素数さん：2021/12/21(火) 00:01:14.85 ID:h3asEwSt.net
- >>904
実数a,b≧0に対して |√a-√b|≦√(a+b)≦√a+√b が成り立つことを利用して
∫[0,1]|1-nx^(n/2)|dx ≦ ∫[0,1]√(1+n^2x^n)dx ≦ ∫[0,1]1+nx^(n/2)dx
の挟み撃ちでいけそうだな
左辺に lim(n→∞) n^(-2/n) が出現するから高校範囲ではややめんどいけど
- 960 ：１３２人目の素数さん：2021/12/21(火) 00:12:40.94 ID:8B59gmDB.net
- 部分積分使わずに受験縛りでやる手もあるのはある
上からはそれでいける
下からが中々いいのが見つからない
できるのはできる
- 961 ：１３２人目の素数さん：2021/12/21(火) 01:28:09.90 ID:/fOMOInE.net
- >>956
ご存知でしたか
>>957
おーなるほど
代数的にも解けるのか 面白い
- 962 ：１３２人目の素数さん：2021/12/21(火) 01:36:01.39 ID:/fOMOInE.net
- ということで皆さん知っていたかもしれませんが>>954のおったまげた解法です
{R_k}_k を条件を満たす分割とする
R=[a,b]×[c,d]=∪_k [a_k,b_k]×[c_k,d_k]=∪_k R_k
とする
∫_α^β e^(2πix)dx = 0 ⇔ α-β∈Z に注意すれば、
(∫_a^b e^(2πix) dx)* (∫_c^d e^(2πiy) dy)
=∫_R e^(2πi(x+y)) dxdy
=Σ_k ∫_(R_k) e^(2πi(x+y)) dxdy
= Σ_k (∫_(a_k)^(b_k) e^(2πix) dx)* (∫_(c_k)^(d_k) e^(2πiy) dy)
=0
より、
∫_a^b e^(2πix) dx = 0
or
∫_c^d e^(2πix) dx = 0
となり、a-b∈Z or c-d∈Z
- 963 ：１３２人目の素数さん：2021/12/21(火) 04:26:49.99 ID:yatk9tP0.net
- >>962の焼き直しに過ぎないが、積分を経由しない書き方も可能。
Gはアーベル群とする。f：R^2 → G は写像とする。長方形 [a,b]×[c,d]⊂R^2 に対して、
f([a,b]×[c,d])：＝ f(a,c)−f(a,d)−f(b,c)＋f(b,d)
と定義すると、分割
a＝x_1＜x_2＜…＜x_n＝b,
c＝y_1＜y_2＜…＜y_m＝d
に対して
f([a,b]×[c,d])＝Σ[i＝1〜n−1, j＝1〜m−1] f([x_i, x_{i＋1}]×[y_j, y_{j＋1}])
となることが分かる(右辺を地道に計算すると左辺になる)。
このことから、長方形 I⊂R^2 が長方形の非交和 I＝∪[i＝1〜n] I_i
になるとき、f(I)＝Σ[i＝1〜n] f(I_i) となることが示せる。
よって、長方形 I⊂R^2 の少なくとも片方の辺が整数のとき、かつそのときのみ
f(I)＝o となるような f；R^2 → G とアーベル群Gが作れたなら、>>954は直ちに従う。
そして、G＝(複素数全体), f(a,b)：＝ e^{2πi(a＋b)} と置けばよい。
- 964 ：１３２人目の素数さん：2021/12/21(火) 07:29:56.10 ID:/fOMOInE.net
- >>963
おーありがとうございます
なるほど確かに∫_R e^(2πi(x+y))dxdyの欲しい性質のみ抽象的に取り出せばおkですね
この手法が適応出来る安直な一般化として「直方体」とかの多次元でも使えるのがあると思いますが
なんか他に応用できないかな
- 965 ：１３２人目の素数さん：2021/12/21(火) 14:38:14.12 ID:P/a/5Sul.net
- ∫_R e^(2π√(-1) (x+y)) dxdyってようするにχを指示関数として、χ_Rをフーリエ逆変換して(1,1)を代入したものだよね
だから(1,1)代入する前の
F(s,t)=∫_R e^(2π√(-1) (sx+ty)) dxdy
って形の方がRの情報が失われずに色々出来そうではある
- 966 ：１３２人目の素数さん：2021/12/21(火) 16:49:29.44 ID:/fOMOInE.net
- >>965
なるほどその見方は確かに熱いですね
それならプランシュレルの定理とか、ハウスドルフ=ヤングの不等式とかが使えるので何か言えそうですね
ありがとうございます
- 967 ：１３２人目の素数さん：2021/12/21(火) 18:06:22.42 ID:iAk4+Yg9.net
- めっちゃアホな質問でスマン。
図を見てもらいたいから張りたいんだけど
Imgur が貼れない 。("お断りします" と言われる)
普通のアップローダーだと貼れるんだけど
いちいちDLしてもらう必要があって不便。
Imgurみたいなサイトとそれを貼れるブラウザを教えてくれ。
答えを張りたいんや
- 968 ：１３２人目の素数さん：2021/12/21(火) 18:24:34.43 ID:8B59gmDB.net
- コレとか
http://imepic.jp/
- 969 ：１３２人目の素数さん：2021/12/21(火) 18:27:24.70 ID:iAk4+Yg9.net
- >>926 >>938
>>907 の回答 は N=6 ですした
おもしろいね (´・ω・`)
http://imepic.jp/20211221/663880
- 970 ：１３２人目の素数さん：2021/12/21(火) 18:28:05.39 ID:iAk4+Yg9.net
- >>968
あざす！！
- 971 ：１３２人目の素数さん：2021/12/22(水) 09:51:31.73 ID:dbzo25h+.net
- >>969
この六角形は現実的に応用するとすれば
中華料理用？チャーハンなどのお皿、
食器の形として実用的。
一般の正六角形のお皿のように
ちゃんと食器棚に入る。(面積は正六角形よりも4%ほど少ないだけ)
しかも左奥と右奥にスペースがあるので
ここに醤油用の小皿などをおける。
省スペース食器としては実に良いデザイン。
- 972 ：１３２人目の素数さん：2021/12/22(水) 09:54:57.22 ID:qAeWzuyt.net
- >>971
スレタイ読めないアホは退場だぞ
- 973 ：１３２人目の素数さん：2021/12/22(水) 11:53:31.41 ID:wrdq8ooG.net
- この問題誘導はあるけど中々難しい
https://twitter.com/IchigoSpoon1212/status/1472409069239808002?t=RwGDF-_EUgXlCkwMeKCxPw&s=19
(deleted an unsolicited ad)
- 974 ：１３２人目の素数さん：2021/12/22(水) 17:52:02.45 ID:kNymY3ew.net
- 誘導の使い方がよく分からんけどとりあえずtan(kπ/n)は多項式
C[n,1]x-C[n,3]x^3+C[n,5]x^5....
の根だからtan(kπ/n)+1は多項式
C[n,1](x-1)-C[n,3](x-1)^3+C[n,5](x-1)^5....
の根
よって求めるのはこれの-一次の係数/定数項
定数項は
-C[n,1]+C[n,3]-C[n,5]...
= -im(1+i)^n=-2^((n-1)/2)
一次の項は
C[n,1]-3C[n,3]+5C[n,5]...
=n(C[n-1,0]-C[n-1,2]+C[n-1,4]...
= re(1+i)^(n-1)=n2^((n-1)/2)
より求める和はn
かな
誘導がポイんだけどピンポイントにハマらない
- 975 ：１３２人目の素数さん：2021/12/22(水) 18:31:02.34 ID:7HQ37/sU.net
- (x_k + (1-x_k)i)^n が実数、x_kも実数であることから
(x + (1-x)i)^n = f(x) + g(x)i (f(x),g(x): 実数係数多項式) とおけば {x_k} は g(x)=0 の解
って気づけば誘導に乗れる
- 976 ：１３２人目の素数さん：2021/12/22(水) 18:54:41.35 ID:x+rhmqBF.net
- >>972
>>907の問題、回答とその実用の話だから
ギリギリセーフ。
- 977 ：名無し一級：2021/12/22(水) 18:57:44.31 ID:GKEijcA0.net
- エロ画像が生まれたのは江戸時代からとされるが最初の浮世絵に始まり春画が生まれ頭の良い人の中から情報を深奥の霊子レベルで破瓜から数式処理を施した栄養源であり生物の進化の時に女を食すというカーマストラという宗教書等があります。Qエロ画像ってどうやって作るの？
- 978 ：１３２人目の素数さん：2021/12/22(水) 19:01:02.90 ID:Gk+bjEAQ.net
- >>975
なるほどそれやな
答え出すより誘導の意味考える方が難しい
- 979 ：１３２人目の素数さん：2021/12/22(水) 22:22:51.91 ID:rIQcTr/3.net
- >>973
似た問題に、
Σ[k=1,n-1]1/sin^2(kπ/n)=(n^2-1)/3
がある。これを利用して、
Σ[k=1,∞]1/k^2=π^2/6
を導くことができるのは、初見の人には面白いはず。
- 980 ：１３２人目の素数さん：2021/12/23(木) 00:17:20.28 ID:2O6wbFET.net
- Rを平面上の凸四角形ABCDとする
R上の経路p:[0,1]→Rにおいてp(0)が辺AB上、p(1)が辺CD上にあるときpはRを縦断するといい、p(0)が辺BC上、p(1)が辺DA上にあるときpはRを縦断するという
今RのPL部分集合(i.e. 有限個の線分と三角形の和集合による集合)X,YによってR=X∪Yと被覆されているときX上の経路でRを縦断するものか、もしくはY上の経路でRを横断するものがとれる事を示せ
- 981 ：１３２人目の素数さん：2021/12/23(木) 04:06:27.08 ID:8Sjzx1Td.net
- 谷口凌晟兵庫区三川口町2.5.8.1201
殺人未遂罪にて千葉刑務所に服役中。
- 982 ：１３２人目の素数さん：2021/12/23(木) 06:49:06.09 ID:PVbT0aVn.net
- >>971
４人で食事するときの回転テーブルではどうだろ。
- 983 ：１３２人目の素数さん：2021/12/23(木) 12:28:52.43 ID:YVTZ+xR1.net
- >>969
imgurにアップできた。
https://i.imgur.com/5Ga4IQc.png
- 984 ：１３２人目の素数さん：2021/12/23(木) 14:02:03.01 ID:PVbT0aVn.net
- >>972
こういう投稿が最もウザいと思う。
- 985 ：１３２人目の素数さん：2021/12/23(木) 14:06:57.16 ID:PVbT0aVn.net
- 半径１の球の表面および内部のから三点を無作為に選んで
この三点を結ぶ面と球の中心との距離の期待値と中央値を概算せよ。
- 986 ：１３２人目の素数さん：2021/12/23(木) 14:10:27.96 ID:6OZJBCWK.net
- 尿瓶しつこいぞ
- 987 ：１３２人目の素数さん：2021/12/23(木) 15:20:19.96 ID:xOnURUe4.net
- この程度ですら自力では解けないから面白いかどうかの判定すらできん能無し
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