面白い問題おしえて〜な 39問目

610 ：１３２人目の素数さん：2021/11/22(月) 13:13:25.08 ID:yZFVkOxl.net

定理　N次元空間上の関f(x1,...,xN)が任意の点(a1,...aN)と1≦k≦Nに対し
f(a1,...,aN)
+f(a1+k,a2,...)...+f(a1,a2,...,a(N-1),aN+k)=0
を満たすとき
Σ[k=0,N]f(a1+k,a2,...,aN)=0
である

以下N次元空間の単位ベクトルeiを第i成分のみ1であるものとしE = { ei | i:1〜N }とおく
条件は格子点Pと1≦k≦Nに対し
f(P) + Σ[e∈E]f(P+ke) = 0
と書ける
また1≦k≦Nに対し
Zk = { (x1,...,xN ) | xi = 0 (∀i>k) }
Tk = { (x1,...,xN ) | xi ≧ 0 (∀i),Σxi ≦ k }
とおく

補題
1≦k≦Nに対し
Σ[v∈Tk]f(P+v) = 0
∵ )
0 = Σ[1≦i≦k, 0≦j≦k-i, v∈E, w∈Tj ]f(P+iv+j)
= k Σ[v∈Tk]f(P+v) □

定理の証明
1≦k≦Nとk≦l≦Nに対して
Σ[v∈Z(N-k+1)∩Tl]f(P+v)=0
を示せばよい
k=1の時は補題である
k<k0の時示されたとしてk=k0とする
k≦l≦Nに対して帰納法の仮定から
Σ[v∈Z(N-k+2)∩Tl]f(P+v)=0
Σ[v∈Z(N-k+2)∩T(l-1)]f(P+e(N-k+2)+v)=0
であるが辺々引けば
Σ[v∈Z(N-k+1)∩Tl]f(P+v)=0
である□