面白い問題おしえて〜な 39問目

1 ：１３２人目の素数さん：2021/10/11(月) 12:42:12.04 .net

前スレ
面白い問題おしえて〜な 38問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629715580/

過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/

過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/

469 ：１３２人目の素数さん：2021/11/06(土) 17:07:41.69 ID:QOJe0Sk2.net

>>451 >>459
は Rで C^1級ですが
境界点では 2階微分可能ではありません…orz

470 ：１３２人目の素数さん：2021/11/07(日) 10:14:24.65 ID:RoHS20Z1.net

・発症3日以内にパクスロビドを投与された患者のうち登録後後28日目までに入院した患者は0.8％（3/389人が入院し、死亡はなし）であったのに対し、プラセボ（偽薬）を投与された患者のうち、入院または死亡した患者は7.0％（27/385人が入院し、7人がその後死亡）であり、パクスロビドは入院または死亡のリスクを89％減少させた。

問題
一人の死亡を減らすのに必要な投薬人数を計算せよ。

471 ：１３２人目の素数さん：2021/11/07(日) 21:24:43.70 ID:Mh439stj.net

>>467
b=d の場合は
　2^{a-n} + 2^{c-n} = 3^{n-b} = 3^{n-d},
だけど
　2^3 + 2^0 = 3^2,　　　(カタラン)
に限るのかな？

472 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 00:16:14.63 ID:uftBQz4C.net

(続き)
2^{2m+7} + 3^{2m} + 6^{m+2} = (2^{m+2} + 3^m) (2^{m+5} + 3^m)
は 2^3 + 2^0 = 3^2　に

2^{2m+3} + 3^{2m} + 6^{m+1} = (2^{m+2} + 3^m) (2^{m+1} + 3^m)
は 2^1 + 2^0 = 3^1　に基づくね。

473 ：イナ ：2021/11/08(月) 02:21:13.63 ID:7683UzGG.net

前>>461
>>378
これは考え方を変える。
どんなけユニークでオリジナリティーにあふれた解き方ができるか。
(答案1)
ピタゴラスの定理よりAC=√(24^2+7^2)
=√(576+49)
=√625
=25
ぱっと見AB=20,BC=15なら、
BC:AB:AC=3:4:5
ADの延長線とBCの延長線の交点をOとすると、
△OAB∽△OCD
∵二角が等しいから。
OD/OB=OC/OA
OD/(OC+BC)=OC/(OD+AD)
OD/(OC+15)=OC/(OD+24)=7/20
7OC+105=20OD
7OD+168=20OC
140OC+2100=400OD
49OD+1176=140OC
辺々足すと351OD=3276
117OD=1092
39OD=364
3OD=28
OD=28/3
OC=20OD/7-15
=80/3-15
=(80-45)/3
=35/3
∴x=15は妥当。

474 ：イナ ：2021/11/08(月) 02:31:19.90 ID:AsaGhX8P.net

前>>473補足。
CD:OD:OC=7:28/3:35/3
=21:28:35
=3:4:5

475 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 09:23:10.78 ID:XmPTCfQT.net

まあ要は 2^x･3^y (整数x,yは0以上) と表せるような数同士の足し算で
再びそのような数が得られる関係式をまずは全て求めればいいんだけど、本質的には
1+1=2, 1+2=3, 1+3=4, 1+8=9
の四通りとその 2^x･3^y 倍しかなくて、そのうち約分の問題が作れるのが
1+2=3, 1+8=9 の組だけだったってことなんだよね

476 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 09:47:24.65 ID:uftBQz4C.net

>>471
　>>465 の2つだけですね。

477 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 10:54:56.45 ID:uVGOXAi2.net

f:R→R は微分可能で
f(x)=0 をみたすxが存在する
定数a>0,b>1 が存在し、任意のxに対して |f'(x)|≦a|f(x)|^b をみたす

このときfは恒等的に0であることを示せ

478 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 12:59:29.83 ID:jeElS98b.net

>>477
f(α)=f '(α)=0
のとき、x=α近傍では、y=f(x)は凸関数なので、
平均値の定理より、x=α近傍では、
|f '(x)|>|f(x)-f(α)|/|x-α|

・・・解りません。oTL

479 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 13:38:27.11 ID:XmPTCfQT.net

>>477
関数 f の零点 p をとる。
正の数 ε を 0<εa<1 を満たし、かつ x=p+ε について
任意の t∈(p,x) が f(t)<1/2 を満たすように定める。この時
∫_[p,x] |f(t)| dt
=∫_[p,x] |∫_[p,t] f'(s) ds| dt
≦∫_[p,x] ∫_[p,t] |f'(s)| dsdt
≦∫_(p≦s≦t≦x) a|f(s)|^b dsdt
=∫_[p,x] a(x-s)|f(s)|･|f(s)|^(b-1) ds
≦(1/2)^(b-1) ･ ∫_[p,x] |f(s)| ds.
ゆえに ∫_[p,x] |f(t)| ds = 0 より f(t)=0 (∀t∈[p,x]) が成り立つ。

同様にしてある y<p が存在して f(t)=0 (∀t∈[y,p]) が成り立つので、f^(-1)({0}) は開集合。
これは閉集合でもあるので実数全体でなければならない。

480 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 14:31:48.26 ID:46BMAEYC.net

>>479 正解
微分の平均値の定理を使って同じような議論をするのが
用意した解答でした

481 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 17:23:46.83 ID:7NuGcMc4.net

2^a+2^b+2^c+2^d+2^e=n!の自然数解が高々有限個である事を示せ

482 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 18:51:27.13 ID:NYdUq38i.net

1,2,4,8,16,32,64のどんな5つの組み合わせも127の倍数にならないので左辺は127の倍数になりえない
よってn<127

483 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 19:00:24.00 ID:uftBQz4C.net

　2^a+2^b+2^c+2^d+2^e < 2^{a+b+c+d+e},
AM-GM より
　2^a+2^b+2^c+2^d+2^e ≧ 5･2^{(a+b+c+d+e)/5},
与式より
　5･2^{(a+b+c+d+e)/5} ≦ n! ≦ 2^{a+b+c+d+e},
　[ log_2(n!) ] ≦ a+b+c+d+e ≦ [5･log_2(n!/5)] = m,
　m/5 < a+b+c+d+e ≦ m,
5個の自然数の和がm以下であるような組合せの数は,
mカ所の境目から5つの仕切りを選ぶ方法の数
　C[m,5] = m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/5!
和がm/5 以下の組合せを除くと
　C[m,5] - C[m/5,5]
∴　自然数解の数はこれ以下である。

484 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 19:11:36.29 ID:NYdUq38i.net

n(よってmも)は固定ではないからそれではダメじゃないの
固定なら変形しなくても有限個なのは明らかだし

485 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 19:19:34.84 ID:uftBQz4C.net

{1,2,4,8,16,32} のどんな5つの組み合わせも63の倍数にならないので
左辺は63の倍数になりえない。
一方、7! = 5040 = 63×80 は 63の倍数。
よって n<6
でいい？

>>483 はnを固定したとき

486 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 20:43:12.25 ID:uftBQz4C.net

左辺 ≧ 10　より　n≧4,
n=4　{1,1,1,1,4}　{1,1,2,3,3}　{2,2,2,2,3}
n=5　{2,2,4,5,6}　{3,3,3,5,6}　{3,4,4,4,6}　{3,4,5,5,5}
n=6　?

487 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 21:49:01.30 ID:k2imCOle.net

皆さん正解です
元ネタ
https://youtu.be/p4OY8dUb7B4
1番省エネなのはmod 63ですね
2^aはmod 63では1,2,4,8,16,32で次元戻る
この中から重複を許して５個選んで0を作ることができない
実際重複がなければ2進表示考えて明らか
重複してるときは２個まとめて数が減らせるのでもっと無理
しかしn≧7ならn!は63の倍数でなければならないからn≦6が必要
みたいな

488 ：１３２人目の素数さん：2021/11/09(火) 00:46:12.33 ID:w8WlgVT8.net

n=6　　{3,3,6,7,9}　{4,5,5,7,9}　{4,6,6,6,9}　{4,6,7,8,8}

n=4　　5 + 30 + 5 = 40 とおり
n=5　　60 + 20 + 20 + 20 = 120 とおり
n=6　　60 + 60 + 20 + 60 = 200 とおり

計　　40 + 120 + 200 = 360 とおり　(∴　有限)

489 ：１３２人目の素数さん：2021/11/09(火) 12:01:33.12 ID:w8WlgVT8.net

>>483
m' = m/5 + log_2(5) < a+b+c+d+e ≦ m,

和が m' 以下の組合せを除くと
　C[m,5] - C[m',5]
と修正

n=4　m=11, m'=4
　C[m,5] = 462　以下
n=5　m=22, m'=6
　C[m,5] - C[m',5] = 26328　以下
n=6　m=35, m'=9
　C[m,5] - C[m',5] = 324506　以下

合計　462 + 26328 + 324506 = 351296　以下
3桁も緩い上限だが、有限であることは分かる。

490 ：１３２人目の素数さん：2021/11/10(水) 17:41:13.57 ID:G+N47gFR.net

0≦θ≦πで、y=-x/tanθ+(θ/π×tanθ) の直線の通過領域(包絡線)を求めよ。

包絡線にarctanθが入ってしまって合っているかわかりません、、お教えください。。

491 ：１３２人目の素数さん：2021/11/11(木) 10:41:32.35 ID:/mGnEX08.net

>>490
x cotθ + y - θ/π tanθ = 0‥�@
θで微分して
-tan(θ)/π - (θ sec^2(θ))/π - x csc^2(θ) = 0‥�A
�@から
θ/π = ( x cotθ + y ) cot(θ)
�Aから
θ /π = ( -tan(θ)/π - x csc^2(θ) )sin^2(θ)
よって
( x cotθ + y ) cot(θ) - ( -tan(θ)/π - x csc^2(θ) )sin^2(θ) = 0‥�B
θで微分して
(2 sin^2(θ))/π + (tan^2(θ))/π - 2 x cot(θ) csc^2(θ) - y csc^2(θ) = 0‥�C
解いて
x = (sin^2(θ) (cos(2 θ) + 3) tan(θ))/(2π),
y = - (2 tan(θ))/π tan(θ)
ここからθも消せるっぽいけど疲れた

492 ：１３２人目の素数さん：2021/11/11(木) 10:51:55.53 ID:/mGnEX08.net

�Aから
θ /π = ( -tan(θ)/π - x csc^2(θ) )cos^2(θ)
だった
めんどくさいなぁ

493 ：１３２人目の素数さん：2021/11/12(金) 18:05:08.33 ID:fn8stVsI.net

y=5xとy=-3x/2の間の角度

494 ：１３２人目の素数さん：2021/11/12(金) 18:37:13.84 ID:oN71UrAZ.net

x軸を挟む側が135度
y軸を挟む側が45度

495 ：１３２人目の素数さん：2021/11/12(金) 18:52:16.10 ID:fn8stVsI.net

φ=(1+√5)/2とする
y=(φ^3)xとy=-φxの間の角度

496 ：１３２人目の素数さん：2021/11/12(金) 19:09:51.63 ID:oN71UrAZ.net

同上

497 ：１３２人目の素数さん：2021/11/12(金) 19:25:32.72 ID:Xelqar2y.net

開区間 (0,1) 上の可算で稠密な点集合 A,B を任意にとる。
この時、全単射なC^∞級関数 f:(0,1)→(0,1) であって f(A)=B を満たすものが存在することを示せ。

498 ：１３２人目の素数さん：2021/11/13(土) 01:35:06.89 ID:6tLupfeO.net

back&forthはC^∞との兼ね合いが謎すぎるし何か関数解析的飛び道具でも使うんだろうか

499 ：１３２人目の素数さん：2021/11/13(土) 02:30:12.14 ID:p9KLGdwO.net

ほー…このやり方back&forthなんてお洒落な名前ついてたのか、知らなかった

イメージ的には、各ステップで集合A×Bの対応づけられたペアの有限集合だけじゃなくて、
その有限集合に合致する"関数fの暫定的な姿"も一緒に更新しながら
構成していくのがいいかも（というかそれが想定解の方法）

勿論、AとBの対応づけが全て終わった時に関数fも
ちゃんとC^∞級のある関数に収束してる必要があるけどね

500 ：イナ ：2021/11/13(土) 02:41:34.45 ID:3w4ZR1lo.net

前>>474
>>493
0＜θ＜π/2
cosθ=(1,5)・(-2,3)/(√26)(√13)
=(-2+15)/13√2
=1/√2
∴45°と135°

501 ：１３２人目の素数さん：2021/11/13(土) 07:00:25.08 ID:jVHkbZeQ.net

>>495
作図して計測
https://i.imgur.com/lQ8NvIu.png

おまけ
calc <- function(a,b,print=F){
A=1+1i*a
B=1+1i*b
if(print){
source('toolmini.R')
Plot(-5,5)
axy(tan(Arg(A)),0i,-5,5)
axy(tan(Arg(B)),0i,-5,5,col=2)}
(Arg(A)-Arg(B))*180/pi
}

> phi=(1+sqrt(5))/2
> calc(phi^3,-phi)
[1] 135

502 ：１３２人目の素数さん：2021/11/13(土) 07:04:50.71 ID:jVHkbZeQ.net

>493と>495では何度回転しているか？

> calc(-3/2,-phi)
[1] 1.972593

503 ：１３２人目の素数さん：2021/11/13(土) 07:54:07.65 ID:6tLupfeO.net

>>499
各ステップでは有限点だからいくらでもC^∞全単射与えておけるだろうけど、最終的な関数はABの対応だけから稠密性と連続性によって自動的に決まってしまうはずだからABの点を対応させる以外の付加は結局意味ないように思えるんだよなぁ
それとも想像してるback&forth手順に齟齬があるのか…

504 ：１３２人目の素数さん：2021/11/13(土) 09:30:48.90 ID:p9KLGdwO.net

>>503
まさにそのABの点を対応させる以外の情報を付加する意味について補足

勿論ABの点の対応だけ考えれば最終的に関数の姿は決まるし、
稠密性から連続性も保証されるだろうけど、できた関数がC^∞になるように調整するためには
付加情報を考えないと非常にややこしいことになりそうなんだよね
（まあ自分ができなかったってだけだから、付加情報を考えない構成が
不可能と主張するつもりはないのでそれに挑戦するのはアリだとは思っている）

一般に関数がある点で滑らかであるかどうかは、その点に十分近い全ての点が
どんな位置関係にあるかによって総合的に判定される訳だから、
既に決められた複数の（もしかしたら莫大な数が必要になるかも知れない）A×Bペアから
収束先の滑らかさを保証するための次のペアの範囲を具体的に決めるのは
おそらく非常に難しい手続きが必要になる

一方、暫定関数という付加情報を考える方法であれば、
少なくとも暫定的なC^∞級関数fのグラフに十分近い点をとり続けていれば
収束先もC^∞関数として存在することが保証されるため、
各ステップでのA×Bのペアの選び方が容易になる
（…ように各ステップでの関数の更新先の姿の候補を定めることが比較的容易に可能）
というのが理由というかメリットかな
説明するの難しい…

505 ：１３２人目の素数さん：2021/11/13(土) 21:46:59.32 ID:p9KLGdwO.net

あれこれC^ω級でもいけるっぽい…？まあいいや問題はC^∞級のままで

506 ：１３２人目の素数さん：2021/11/14(日) 01:10:11.59 ID:Yl/dStNW.net

(1) 感度0.4 特異度0.9の検査で100人中30人が陽性、70人が陰性であったとき、この集団の感染率を求めよ

(2) 感度0.4 特異度0.9の検査で100人中50人が陽性、50人が陰性であったとき、この集団の感染率を求めよ

507 ：１３２人目の素数さん：2021/11/14(日) 01:31:22.27 ID:yOs9Hpp0.net

解析知らなすぎて滑らかな関数を作る方法すらよく分かってない
C^ωだと一部で全体が決まってしまう感じだからかなり厳しいと思うし、C^∞もそんなに調節して作れる感じはしないんだよなぁ
フレシェ空間(？)とかで関数族を絞っていってBaire的に存在だけ言うとかならまだありえるかもだけど…

508 ：１３２人目の素数さん：2021/11/14(日) 09:18:08.73 ID:GsvzJYEC.net

ヒントいるかな

暫定関数fの更新方法の例だけど、
g(x)=e^(-1/(1-x^2)), (|x|<1)
0 (|x|≧1)
をx軸方向やy軸方向に縮小したものを足す感じ

最終的にfがC^∞級関数に収束する必要がある訳だけど、
それはつまり任意の正の整数mについて、nステップ目の暫定関数f_nのm階導関数が
n→∞である連続関数に一様収束するように定めれば十分なので、
y軸方向にどれだけ縮小すれば良いかの範囲はそれを参考に定めれば良い

509 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 00:25:48.03 ID:fPE3aJ9L.net

>>497
実数 a と実数の有限集合Sに対し
p(a,S)(z) = Π[s∈S](z-s)/(a-s)
とする
Dは単位閉円盤{ |z|≦1 }とする

補題　定数b,cがS∩[u,v] = φを満たすとき関数族{p(a,S)(z) | a∈[u,v] }、{p'(a,S)(z) | a∈[u,v] }は共にD上一様有界である

∵) { p'(a,S)(z) | a∈[u,v], z∈D }はコンパクト集合だから有界である
よって一様有界
) { p(a,S)(z) | a∈[u,v], z∈D }はコンパクト集合だから有界である
よって一様有界□

以外主張を示す
AとBを並べて
A={a1,a2,...}, B={b1,b2,...}
とする関数列fnを
(1)fn:は実係数多項式関数の列で(0,1)上単調増加でinff'(t)>0, fn((0,1)) = (0,1)、またsup{ |fi'(z)| z∈D } < 2
(2)i≦nに対しfn(a_i)∈B、bi∈fn(A)
を満たすように構成していく
f0(z) = zで良い
f(n-1)(z)まで構成できたとする
まずg(z)を(1)と(2)のi<nとi=nの前半だけ満たすものとして以下のように定める
f(n-1)(an)∈Bであればg(z)=f(n-1)(z)でよい
そうでないとする
a=an, S={a1,...,a(n-1),0,1}としてp(a,S)(z)を考えるとき十分小さいeを選んで任意のr∈(0,e)に対しf(n-1)+p(a,S)が(1)の条件を満たすようにとれる
そこで(f(n-1)(an)-e,f(n-1)(an)+e)からBの元bを任意に選び
g(z) = f(n-1)(z) + (b-f(n-1)(a))p(a,S)(z)
と定めるときg(z)が求める条件を満たす
fnを構成する
bn∈g(A)であればfn(z)=g(z)でよい
そうでないとする
閉区間[u,v]をS={a1,...,an,0,1}とdisjointかつbn∈g([u,v])ととる(これはb∈[0,1]＼g(S)=∪[[u,v]∩S=φ]g([u,v])により可能である)
補題により十分小さいe>0を任意のr∈(0,e)とa∈[u,v]に対しg(z)+rp(a,S)(z)が(1)の条件を満たすようにとれる
そこでa∈A∩[u,v]を|g(a)-bn|<eとなるようにとる(これはg(A∩[u,v])がg([u,v])で稠密だから可能)
そこでfn(z)=g(z)+(bn-g(a))p(a,S)(z)とおけば条件が満たされる
以上により条件を満たす関数列fn(z)が構成できた
fn(z)は正則関数の同程度連続関数族なのでアスコリアルツィラより極限を持つ部分列fniがとれるがlim[i→∞]fniが求める条件を満たす□

510 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 01:48:45.05 ID:cV8Kh2Jy.net

>>509
うおっ、お疲れ様…正解です

そうそう、e^(-1/(1-x^2)) とかじゃなくて
多項式関数を足していく方法でもうまくいくのよね

|z|<1 の範囲で rp(a,S)(z) の任意階の導関数の絶対値が 1/(n+1)! 以下になり、
なおかつrp(a,S)の各次数の係数の絶対値が 1/n! 以下になるよう r の範囲を定めて…
みたいに何がなんでもという勢いで絶対収束させる方法を想定してたけど、
後でアスコリアルツェラ使うのであればこの辺の範囲の定め方は若干手を抜けるということなのかな…

ともあれお見事でした！

511 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 11:40:03.09 ID:2w2Fxxz9.net

約14億立方kmの海水は何年で沸騰しますか？原発は7度も上がった水が1秒に70トンも海水に流しています。
世界の原発の数は434基ですその全てが1秒に70トンも7度上昇させると仮定します

512 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 11:48:23.69 ID:tvbhKvNq.net

>>511
現在の海水の温度を平均20度とし、地球上に海水しか水分がないと仮定すると
1.6689×10^7年

513 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 12:13:02.67 ID:dIXvDQDl.net

海水温上昇ωの原因は原発か
温暖化ωωωの原因も原発だろうな

514 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 18:11:43.00 ID:l75/Y6xe.net

https://pbs.twimg.com/media/FEELyVOaUAAeIxT.jpg

515 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 19:51:25.57 ID:a1/lbGDh.net

和算みが深い

516 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 19:56:23.90 ID:oPa2F7g1.net

接線4本引いて大円に外接する四角形描くんだろうなまでは思いついた

517 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 20:41:21.71 ID:TtJhBwjf.net

直交軸を u軸, v軸とする。
最左点 (-9, 9/2) で2円が接しているのを利用する。
左上円　　(u+9/2)^2 + (v-9/2)^2 = (9/2)^2,　中心 (-9/2, 9/2)
大円　　　(u+9-R)^2 + (v-9/2)^2 = RR,　　中心 (R-9, 9/2)

大円の中心〜(-5/2, -5/2) の距離　R-5/2,
大円の中心〜(3, -3) の距離　R-3,
∴　R = 85/8,　　中心(13/8, 9/2)
大円の中心〜(6, 6) の距離　R-6,
∴　x = 12.

518 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 20:47:16.57 ID:TtJhBwjf.net

大円の中心〜(x/2,x/2) の距離が　R - x/2
だから　x=12.
デカルト流…

519 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 22:19:02.18 ID:2w2Fxxz9.net

>>512
どうもありがとうございます

520 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 22:51:35.39 ID:2w2Fxxz9.net

>>512
さっそくYou Tubeの気候変動に関する国際連合枠組条約チャンネルに教えていただいた計算書きこみしてきました

521 ：１３２人目の素数さん：2021/11/16(火) 04:07:44.12 ID:X0z2o6S2.net

ケーキを均等に3つに切るってもしこのように切ったらスポンジの角度は何度にすればいい
均等って120度じゃなくても質量が同じならよくないか
https://o.5ch.net/1vi3n.png

522 ：１３２人目の素数さん：2021/11/16(火) 05:39:41.17 ID:2OrhzT5X.net

半径aのケーキがあったとする。
中央の縦線(x=0) から斜めにナイフを入れ
底に達したとき x=b だったとする。(0<b<a)

xより右側の部分の面積は aa･arccos(x/a) - x√(aa-xx),
これを 0〜b で積分すると
　aab･arccos(b/a) - (1/3)(2aa+bb)√(aa-bb) + (2/3)a^3,
これが (π/3)aab に等しくなるのは
　b = 0.536900336865209045 のとき

523 ：１３２人目の素数さん：2021/11/16(火) 23:33:58.78 ID:5n5+SwDT.net

>>517
ツイ元の出題者的に9の円は最左点で接していることは前提にないようですね
実際はそうだとしてもそのことも証明する必要があるようです

524 ：１３２人目の素数さん：2021/11/17(水) 00:19:24.48 ID:VIyadTbr.net

大先生「ヒントをやろう、中心は(13/4,9)」
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28%28x%2B9%29%5E2%2B%28y-9%29%5E2%29%2B9%3Dsqrt%28%28x%2B5%29%5E2%2B%28y%2B5%29%5E2%29%2B5%2C+sqrt%28%28x%2B9%29%5E2%2B%28y-9%29%5E2%29%2B9%3Dsqrt%28%28x-6%29%5E2%2B%28y%2B6%29%5E2%29%2B6&lang=ja

525 ：１３２人目の素数さん：2021/11/17(水) 00:27:07.29 ID:VIyadTbr.net

あ、直径か
なら中心(13/8,9/2)でヨロピコ

526 ：１３２人目の素数さん：2021/11/17(水) 01:48:43.64 ID:6lEP3Z5G.net

>>514
直線が垂直に交わる交点を原点として直径5,6,9の円は中心の位置はわかっている
大円の中心の位置を(p,q)として半径rとする
大円が3つの円と接する条件でp,q,rを求められる
大円と中心(x/2,x/2)で半径x/2の円が接する条件でxが求められる

527 ：１３２人目の素数さん：2021/11/17(水) 02:15:37.21 ID:Ioe5IJ92.net

大円の中心を (a, b)　半径をRとすれば図から
　(a+9/2)^2 + (b-9/2)^2 = (R-9/2)^2,
　(a+5/2)^2 + (b+5/2)^2 = (R-5/2)^2,
　(a-3)^2 + (b+3)^2 = (R-3)^2,
その差をとれば
　-a + 3.5b = R + 3.5
　-5a + 5b = R + 3.75
　11a - b = R + 2.75
これを使えば
　(a, b) = (13/8, 9/2)
　R = 85/8.

528 ：１３２人目の素数さん：2021/11/17(水) 02:16:14.32 ID:VIyadTbr.net

半径が確定している３つの円の中心をA,B,C, 半径をa,b,c、大円の中心をP、半径をrとしてP,rの満たすべき方程式は
PA + a = r、PB + b = r, PC + c = r
PA +a-b = PBの両辺を二乗して
2PA = 1/(a-b)( PB^2-PA^2 )
右辺はPの座標についての一次式でux+vy+w=0とおくとき(u,v)はABベクトルに平行である
同様にして
2PA = 1/(a-c)( PC^2-PA^2 )
を得るから
1/(a-b)( PB^2-PA^2 ) = 1/(a-c)( PC^2-PA^2 )
を得るが両辺の一時の項の係数のなすベクトルは平行ではない
よってこの方程式を満たすPが一意に定まる
コレはPが満たすべき必要条件であるが解がある事は容易にわかるからこの条件を満たすPが解である

529 ：１３２人目の素数さん：2021/11/17(水) 02:27:58.06 ID:Ioe5IJ92.net

みんな同じ方法だね (＾ω＾) …

530 ：１３２人目の素数さん：2021/11/17(水) 02:31:05.82 ID:Ioe5IJ92.net

>>522
S(x) = aa･arccos(x/a) - x√(aa-xx),
より
S(0) = (π/2)aa = 1.570796326795 aa,
S(b/2) = 1.0404162231472 aa,
S(b) = 0.5510840122076 aa,
　ここに b = 0.536900336865209 a,

0〜b で積分する所でシンプソン-1/3則を使うと
　{S(0)+4S(b/2)+S(b)}/6 = 1.0472575386 aa,

これは π/3 = 1.0471975512　に近い。

531 ：１３２人目の素数さん：2021/11/17(水) 18:23:58.92 ID:cAFLAGEq.net

https://pbs.twimg.com/media/FEUXXt9akAEnTSp.jpg

532 ：１３２人目の素数さん：2021/11/17(水) 18:50:17.94 ID:UDdqfQ79.net

>>531
sinの振幅が1以下だから（略）

533 ：１３２人目の素数さん：2021/11/17(水) 18:53:48.89 ID:VIyadTbr.net

N sin(N!π/e)
=N sin(N! πΣ(-1)^k/k!)
= N sin( Nπ(-1)^(N-1)+π(-1)^N+π/(N+1)(-1)^(N+1)πN!Σ[k≧N+2](-1)^k/k!)
= N (-1)^(N+1)sin( π/(N+1)(-1)^(N+1)+πN!Σ[k≧N+2](-1)^k/k!)
= N sin( π/(N+1)-(-1)^NπN!Σ[k≧N+2](-1)^k/k!)
〜Nπ/(N+1)
→π

534 ：１３２人目の素数さん：2021/11/17(水) 20:29:34.66 ID:Zl073j26.net

なるほどなあ

535 ：１３２人目の素数さん：2021/11/17(水) 20:58:58.75 ID:Ioe5IJ92.net

Nが偶数のときは
　(奇数) - 1/(N+1) < N!/e < (奇数) - 1/(N+2),
Nが奇数のときは
　(偶数) + 1/(N+2) < N!/e < (偶数) + 1/(N+1),
いずれにしても
　sin(π/(N+2)) < sin(N!π/e) < sin(π/(N+1)) < π/(N+1),

536 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 00:00:26.44 ID:BIi1EE4n.net

Σ[k=1,∞] (-1)^(k-1) /((N+1)(N+2)…(N+k))
　= 1/(N+1) - 1/((N+1)(N+2)) + ……
　= 1/N - 2/N^2 + 5/N^3 - 15/N^4 + 52/N^5 - 203/N^6 + ……
より
　N・sin(N!π/e) = π{1 - 2/N + (5 -ππ/6)/N^2 - (15-ππ)/N^3 + (52 -(9/2)ππ +(1/120)π^4)/N^4 - (203 -(113/6)ππ +(1/12)π^4)/N^5 + …… }

537 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 12:59:25.18 ID:QpU5MbB6.net

a1,a2,...,an を負でない整数とする
f:R→R が任意の実数yと任意の0でない整数dに対して
Σ[i=1,n]f(y + ai・d) = 0
を満たすとき、f=0であることを示せ

538 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 13:04:34.50 ID:2Vi3xI0a.net

sin x が x の整式で表せないことを示せ

539 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 14:19:15.96 ID:vlmQP4Sg.net

0でなくて無限個の0点を持つから

540 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 14:52:36.61 ID:6HgkcHo1.net

>>538
表せないから sin って書いてんだろが。

541 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 15:24:49.80 ID:FRdXw7uP.net

ユニークな答えをありがとう

542 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 15:25:23.58 ID:sIEEZvAE.net

有限次数では表せないが、べき級数なら。

543 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 17:09:42.93 ID:6HgkcHo1.net

ln x が x の整式で表せないことを示せ

↑ ちょーかんたんだよね

544 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 17:12:26.34 ID:BIi1EE4n.net

マクローリン展開なら可能ですね。
もっとも係数 (-1)k /(2k+1)! は整数ではありませんが…

545 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 17:49:41.28 ID:psoNaSiu.net

>>537
環 R[x] は単項イデアル整域であるから、イデアル (Σ_i x^ai, Σ_i x^2ai, Σ_i x^3ai, …) を生成する g∈R[x] がとれる。
イデアル (g(x)) は任意の正の整数mについて、
xをx^mに移す環R[x]のR-準同型写像について閉じているので、g(x^m)はg(x)で割りきれる。
これはgの根を何乗しても再びgの根になることを意味する。
そのような根は0か1の累乗根しかあり得ない。
仮に0以外の根を持つならばgは根として1を持つことになり、g(1)=0 となるが、
Σ_i x^ai ∈ (g(x)) のxに1を代入しても0にならないため矛盾する。
したがって g は根を持っていたとしても 0 のみであり、
これはある非負整数 k が存在して g(x)=x^k であることを意味する。
ゆえに任意の実数yについて f(y)=0 が成り立つ。

546 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 17:51:42.91 ID:FRdXw7uP.net

>>544
マクローリン展開は0を含む区間で微分可能な
関数に対する式であることを思い出しましょう

547 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 18:09:01.05 ID:7eS+P+Kn.net

e^x > x が言えればいいんでないの？

548 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 18:32:12.28 ID:6HgkcHo1.net

>>542
それって級数にした後で
それが収束することまで説明しないとだめなんじゃねーの？

549 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 20:06:30.19 ID:XK5r5SJ5.net

>>545 正解
Σ[j=0,m]bj・f(y + jd) = 0 ∀y,d≠0 をみたすbjに多項式 Σ[j=0,m]bj・x^j を対応させて
イデアルになることを利用する問題でした

550 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 20:10:37.32 ID:BIi1EE4n.net

「実数全体で有界な整式は定数関数に限る」
が言えればいいんだけどな。

リュービルに訊いてみよう…

551 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 20:11:15.39 ID:BIi1EE4n.net

551蓬莱
http://www.551horai.co.jp/

552 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 20:11:23.06 ID:BIi1EE4n.net

551蓬莱
http://www.551horai.co.jp/

553 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 20:58:30.66 ID:6HgkcHo1.net

オイラーの公式って
あれって公式じゃなくて虚数への指数関数の定義だよな。
だって公式っていうのは
定義から導かれる定理を数式化したものだろ？

オイラーの式はどの定義からも導かれないので公式(定理の数式化)ではない。
したがって、あれは
オイラーの等式って呼ぶべきだと思う、ぜったいそうよ （　'‘ω‘)

554 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 21:00:54.56 ID:6HgkcHo1.net

e^iπ = -1
↑
単に e^it で t=πの時の値を述べているだけじゃん。

もしも、これを公式と呼ぶのであれば
f(x) = x^2 について x=3 のとき、
x^2 = 9 となる

↑ これも「正方形の公式」だと名付けるのがアリになってしまう。

555 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 21:11:32.41 ID:BIi1EE4n.net

>>550
P(x) はn次の整式とする。
　P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + …… + a_1 x + a_0,　(a_n≠0)
n≧1 とすると
　x > 2(|a_{n-1}| + … + |a_1| + |a_0|)/|a_n|　かつ　x>1
に対して
　(1/2)|a_n| x^n > |a_{n-1} x^{n-1} + …… + a_1 x + a_0|,
よって
　|P(x)| > (1/2)|a_n| x^n　→　∞　　(x→∞)
∴　P(x) が実数全体で有界ならば 定数関数 (n=0) に限る。

556 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 21:32:47.32 ID:aQ3zao0l.net

a1,a2,...,an を負でない整数とする
f:R→R が任意の実数yと整数1≦d≦n-1に対して
Σ[i=1,n]f(y + ai・d) = 0
を満たすとき、fは周期関数であることを示せ

557 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 22:21:03.60 ID:VR1EFyEr.net

x^3+x+1=0の3解をα、β、γとしf(x) = α^[x]+β^[x]+γ^[x]としてf(x+3)+f(x+1)+f(x)=0

558 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 22:24:28.63 ID:VR1EFyEr.net

おっとさらにdも動かせるのか

559 ：１３２人目の素数さん：2021/11/18(木) 22:30:02.97 ID:VR1EFyEr.net

とするとf(n) = Σciαi^nとおいた時のαiは
p(x)=x^a1+x^a2+‥+x^anとおくときのすべてのdについてのp(x^d)=0の共通解でなければならない
何乗してもp(x)=0の解でなければならないから1の冪根しか許されない

560 ：１３２人目の素数さん：2021/11/19(金) 00:20:42.53 ID:GztVOsob.net

>>559
最初f(n)=Σciαi^nとおくというのはとりあえずαi固定してciを与えておくということ？nは0〜n-1で動かす？
何が仮定されてるのか掴みきれなかった

561 ：１３２人目の素数さん：2021/11/19(金) 02:54:31.89 ID:h5VVFh5Y.net

(背理法)
sin(x) が整式だったと仮定すると、その零点は代数的数である。
∴　πは代数的数である。
これは リンデマンの定理(1882)と矛盾する。(終)

かなり牛刀だ…

562 ：１３２人目の素数さん：2021/11/19(金) 03:10:01.82 ID:h5VVFh5Y.net

P(x) をn次の整式とする。
　P(x)^2 + P(x + π/2)^2 は 2n次の整式である。

これが定数関数ならば、P(x)も定数関数(n=0)に限る。

563 ：１３２人目の素数さん：2021/11/19(金) 09:06:34.46 ID:tUS6iqmu.net

>>560
ちょっと不正確だった
まずxが整数の場合にしてn=3くらいの場合
a1=p,a2=q,a3=r (ただしp≧q≧r=0)とでも置いて
数列f(n)が漸化式
f(n+p)+fn+q)+f(n+r)=0
を満たすのだから方程式
x^p + y^q + x^r=0
の解α、β、γを使って
f(n)=uα^n+vβ^n+wγ^n+... (異なるp-r解の時)
または
f(n)=unα^n+vα^n+wγ^n+... (α=βの時)
または
....
とあるけどめんどくさいので最初の場合だけ考える
コレがd=2の場合の漸化式も満たすから
uα^(n+2p)+vβ^(n+2q)+γ^(n+2r)+...=0
がnについて恒等式よりα、β、γは方程式
x^(2p)+x^(2q)+x^(2r)=0
の解でなければならない
この調子でf(n)の表示に出てくるα、β...は方程式
x^(dp)+x^(dq)+x^(dr)=0
全てを満たさなければならない
しかしそれは一の冪根の時しか起こらない
重解があっても同じ議論(x^dnで括った後の議論がやや長くなるだけ)
しかも周期は高々p-rで抑えられるからするなくとも(q-r)!を周期として持つ
結局f(n+a) が全ての(a∈[0,1))で高々周期(p-r)!を持つのだからf(x)も周期関数

564 ：１３２人目の素数さん：2021/11/19(金) 10:43:44.36 ID:HqLyXyRj.net

>>563
上の問題は1≦d≦n-1だけが仮定されてる
n=3のときはd=1,2だけど、それで解が1の冪根だけと言える？

565 ：１３２人目の素数さん：2021/11/19(金) 11:59:17.89 ID:UYrU1Zrc.net

sin xがn次の整式f(x)と仮定すると2回微分した-sin xはn-2次の整式である
そしてf''(x)=-f(x)でなければならない
このことからn=0が得られるが、これは矛盾

566 ：１３２人目の素数さん：2021/11/19(金) 13:02:53.42 ID:U8lD1I1E.net

>>550の解答が王道。
あとのは、三角関数の性質を「お題」にした大喜利。

567 ：イナ ：2021/11/19(金) 13:29:53.63 ID:AuKyTKJ6.net

前>>500
>>521
ホールケーキの円の中心と半円側の端を通るスポンジの傾きをθ,高さを1とすると、
四分円二つの最大高さは2
半円の体積をV1とすると、
四分円二つの体積は(V1/4×2)×4=2V1
つまり三等分。
∴示された。

568 ：イナ#103：2021/11/19(金) 13:35:26.11 ID:AuKyTKJ6.net

前>>567補足。
>>521
∴スポンジの角度θは0°＜θ＜90°なら何度でもよい。
(いちごを載せるなら生クリームにめりこませるなど落ちない工夫が必要だが)

569 ：イナ ：2021/11/19(金) 13:47:38.85 ID:AuKyTKJ6.net

前>>567補足。
>>521
∴スポンジの角度θは0°＜θ＜90°なら何度でもよい。
(いちごを載せるなら生クリームにめりこませるなど落ちない工夫が必要だが)