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面白い問題おしえて〜な 39問目
- 379 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 16:47:23.67 ID:D03UwOS5.net
- >>378
∠ABCが直角ならBC=15
直線BCで対称に折り返した図形を考える
BC=x, AB=yとおく
x^2+y^2=24^2+7^2=25^2
他方、方べきの定理より
7×25=(y-x)(y+x)=y^2-x^2
2式から2x^2=450
∴x=15
- 380 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 17:07:16.28 ID:GjfhRryT.net
- 角ABC = π/2 かつBが円の中心だとする。
円の半径をr, 直線ABとCDの交点をEとすると
AC^2 = 7^2 + 24^2, r^2 + BC^2 = AC^2
BC^2 + r^2 = EC^2, (EC + 7)^2 + 24^2 = 4r^2
故に BC = 15, AC = EC = 25, r = 20.
- 381 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 17:10:41.63 ID:BZEbMMjr.net
- >>377
>370は無情報事前分布を設定することで計算できるよ。
あんたにできないだけ。
- 382 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 17:13:49.21 ID:R9J9ZCyt.net
- >>379,>>380
正解
程よいとき心地
元ネタ
https://youtu.be/m5uSeG_NTv4
- 383 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 17:14:12.39 ID:R9J9ZCyt.net
- >>381
数学の文章にすらなってないよ
バーカ
- 384 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 17:27:34.06 ID:7/cFlTOt.net
- >>381
数学の問題にすらなってないということが分からないのが尿瓶
- 385 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 17:55:00.86 ID:XTdS6AX6.net
- BC=x, AB=BD=R とおく。
AB^2 + BC^2 = AC^2, (∠B=90°)
AD^2 + CD^2 = AC^2, (∠D=90°)
∴ RR + xx = 25^2,
トレミーより
AD・BC + CD・AB = AC・BD,
24x +7R = 25R,
∴ 4x = 3R,
これらより
x = 15, R = 20.
- 386 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 22:16:12.50 ID:le6/ew4Y.net
- >>377
んで答出せたの?
- 387 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 22:32:44.64 ID:KRIa6Reb.net
- >>386
お前に答えの出る問題作る知能はないよ
- 388 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 22:50:16.14 ID:GjfhRryT.net
- 3^a + 4^b = 5^c を満たす自然数a, b, cをすべて求めよ
- 389 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 22:57:31.66 ID:0EA/Zpfl.net
- >>386
おい
鹿齢はどうなったんだよ?
馬と鹿がお似合いだって言ってんだろ
- 390 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 23:02:38.92 ID:le6/ew4Y.net
- >>387
んで答は?
- 391 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 23:12:51.24 ID:kfQbpMiF.net
- >>390
馬齢、鹿齢と証書はどうしたって聞いてんだよ
- 392 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 23:27:53.57 ID:KRIa6Reb.net
- >>388
(i) b≧2 の時
5^c ≡ 3^a ( mod 8 ) であるからa,cともに偶数
c = 2m, a = 2nとおける
この時
4^b = (5^m -3^n )(5^m + 3^n)‥@
である
よって
5^m -3^n = 2^k‥A
5^m + 3^n = 2^l‥B
となるk,lがとれるが左辺はどちらも偶数だからk,l≧1
k,l≧2だと2×5^m = 2^k+2^l≡0 (mod 4)で矛盾
よってどちらか1であるがBの右辺は2でないのは容易だからk=1
よって
5^ m = 2^(l -1) + 1‥C
3^n = 2^(l-1) -1‥D
Dによりl=3,n=1,m=1,a=2,c=2,b=2と決まる
(ii) b=1 の時
mod 8で考えてaは偶数、cは奇数
mod 3で考えてcは偶数
矛盾するから解なし
- 393 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 23:29:40.50 ID:KRIa6Reb.net
- >>389
こうやって自分の主張が通らないと他人に迷惑かけて悪目立ちしてる相手が愛想尽かすまで繰り返す
小学生の精神
発達障害の能無し
- 394 :132人目の素数さん:2021/10/30(土) 23:42:47.37 ID:GjfhRryT.net
- >>392
正解です!
自然数にゼロを含める場合は(a, b, c) = (0, 1, 1)も解となりますが議論の大筋は変わりませんね
- 395 :132人目の素数さん:2021/10/31(日) 00:08:13.05 ID:K/512aCb.net
- a,b,cに0を許す場合の変更点は
b=1の場合を
mod 5で考えてaは偶数cは奇数
mod 3で考えてcは偶数またはa=0
よってこの場合の解は(a,b,c)=(0,1,1)のみ
に変更して
b=0の場合
LHS:even,RHS:oddより解なし
を追加で対応できますな
- 396 :日語吹き替え日語字幕二刀流が至高 :2021/10/31(日) 00:42:06.70 ID:ntme/po+.net
- 最近おもったけど
お前ら整数問題が好きだよな。
有理数空間 Q で
中間値の定理や挟み込みの定理
そういうのを証明するが得意そうで……スキ。
- 397 :132人目の素数さん:2021/10/31(日) 03:30:20.11 ID:O5wXnDZ3.net
- 〔類題〕
3^a + 4^b + 5^c = 6^d を満たす自然数a, b, c, dをすべて求めよ。
- 398 :132人目の素数さん@そうだ選挙に行こう:2021/10/31(日) 04:20:17.90 ID:O5wXnDZ3.net
- a=b=c=d 以外の解もあるらしい…
- 399 :132人目の素数さん@そうだ選挙に行こう:2021/10/31(日) 05:40:32.70 ID:O5wXnDZ3.net
- >>372
>>375
(<X>_h・<Y>_h)^2 - (<X+Y>_h)^2
= (h+|X|^2)(h+|Y|^2) - (h + |X+Y|^2)
= h(h-1) + h(|X|^2+|Y|^2) - (|X|^2 + |Y|^2 +2(X・Y)) + (|X||Y|)^2
= h(h-1) + (h-1)(|X|^2+|Y|^2) - 2(X・Y) + (|X||Y|)^2
≧ h(h-1) + 2(h-1)Z - 2Z + Z^2 ( Z=|X||Y| )
= h(h-1) -2(2-h)Z + Z^2
= 3h -4 + (2-h-Z)^2
≧ 3h -4,
これがつねに非負だから
h ≧ 4/3,
- 400 :132人目の素数さん:2021/10/31(日) 10:04:21.86 ID:K/512aCb.net
- >>398
(3,1,1,2)と(3,3,3,3)は見つけたけどコレ答え持ってんの?
思いつき?
- 401 :132人目の素数さん:2021/10/31(日) 12:25:00.38 ID:c83MtzwU.net
- 非負整数に広げても a≡3 mod 4, b≡1 mod 2, c≡1 mod 4 以外の解が
(0,1,0,1) と (3,3,3,3) のみであることまでは mod 4,5,16 あたりで示せたけど
この先もっと絞れるんかこれ…?
- 402 :132人目の素数さん@そうだ選挙に行こう:2021/10/31(日) 19:34:34.21 ID:O5wXnDZ3.net
- >>399
距離空間の元 X, Y に対し 剳s等式が成り立つ。
d(X+Y) ≦ d(X) + d(Y),
また
<X>_h = √{h + d(X)^2}
と定義する。
(<X>_h・<Y>_h)^2 - (<X+Y>_h)^2
= {h+d(X)^2} {h+d(Y)^2} - {h + d(X+Y)^2}
= h(h-1) + h{d(X)^2+d(Y)^2} - d(X+Y)^2 + {d(X)d(Y)}^2
≧ h(h-1) + h{d(X)^2+d(Y)^2} - {d(X)+d(Y)}^2 + {d(X)d(Y)}^2 (剳s等式)
≧ h(h-1) + 2(h-1)Z - 2Z + Z^2 ( Z=d(X)d(Y) )
= h(h-1) -2(2-h)Z + Z^2
= 3h -4 + (2-h-Z)^2
≧ 3h -4,
これがつねに非負だから
h ≧ 4/3,
- 403 :132人目の素数さん:2021/11/01(月) 06:28:03.42 ID:ln6/boRM.net
- 超音波内視鏡を施行するときの鎮静に
デキスメデトミジン(D)を使った24人中10人(10/24=0.4166)が次もその検査を受けて良いと答え、
プロポフォール(P)を使った24人中20人が(20/24=0.833)が次もその検査を受けてよい
と答えた。
このことからPの方が有用であると結論した。
この結論が正しい確率を求めよ。
参考文献(というより、解き方が書いてある)
瀕死の統計学を救え! ―有意性検定から「仮説が正しい確率」へ
- 404 :132人目の素数さん:2021/11/01(月) 07:38:32.81 ID:gpRS/dNd.net
- >>402
〔補題〕
d(X) が距離ならば
log(<X>_h) = (1/2)log{h + d(X)^2}, h≧4/3
も距離
- 405 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 19:29:20.97 ID:te4HpQwE.net
- …でもないな。 X=O のとき 0 にならぬ。
D(X) = log(1+d(X))
ならいいかな。
- 406 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 20:43:44.62 ID:zoY2f1Aw.net
- a,b,c は実数の定数とする。
任意の t∈[0,1]、x∈(-∞,∞) に対して
P=a x^2 + b t^3 x^3 + c t^5 x^4
が上に有界 (ある正の数 M が存在して P≦M) となる a,b,c の必要十分条件を求めよ。
- 407 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 22:59:48.52 ID:E9yFuXL5.net
- a,c<0もしくはa<0,b=c=0
- 408 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 23:11:07.59 ID:jp5gldle.net
- 不等式 4^x - 2・3^x + 2 ≦ 0 を解け
- 409 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 23:23:15.70 ID:E9yFuXL5.net
- 1≦x≦2
- 410 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 23:55:55.76 ID:264J309T.net
- >>407
それ十分条件やね
- 411 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 00:02:36.99 ID:XhHTszYv.net
- ああ、後半a≦0,b=c=0か
- 412 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 00:05:36.09 ID:XhHTszYv.net
- 前半もa≦0か
- 413 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 00:16:57.04 ID:61C+6qsV.net
- 何かあやしいな
- 414 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 00:46:35.29 ID:jTM57/i7.net
- >>408
f(x) = 4^x -2×3^x +2 とおいてf'(x)=0の解はx=log(log(3)/log(2))/log(4/3)のみ、コレをaとおいて
f'(1) = 4log4 - 3log9< 0
f'(2) = 16log4 - 9log9 > 0
よって
1<a<2, f(x)はx<aで単調減少、x>aで単調増加
一方でf(1)=f(2)=0
- 415 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 02:04:55.80 ID:CMmh5agR.net
- g(y) = 2 y^(x-1) とおくと
(左辺) = 4^x - 2・3^x + 2
= 2g(4) - 3g(3) + g(1)
= g(4) + g(4) - 3g((4+4+1)/3) + g(1),
・x<1 または x>2 のとき
g(y) は下に凸。 (左辺) > 0,
・1≦x≦2 のとき
g(y) は上に凸(広義)。 (左辺) ≦ 0,
- 416 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 03:47:29.89 ID:3VwLIJxl.net
- 似たような問題ばかりですまんけど
f(f(x))=x^2-2を満たす連続関数f:[-2,∞)→[-2,∞)を一つ挙げよ.
(連続関数f:R→Rには拡張出来なかったのでだれかチャレンジしてみてください. そもそも存在しないかもしれないのでその場合はごめんなさい)
- 417 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 04:06:23.44 ID:aaTIzO+n.net
- >>416
f (x) = floor(x) mod 10
- 418 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 04:18:16.74 ID:3VwLIJxl.net
- >>417
「連続」関数です
しかもそれだとfの値が整数なので、
例えばf(f(π))=π^2-2になるはずですが、整数ではないので矛盾です
- 419 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 06:00:29.64 ID:3VwLIJxl.net
- 本当ごめんなさい、重大な問題が発生したので
>>416はf:[2,∞)→[2,∞)ということにしてください
途中まで解いていた人がいたらごめんなさい
- 420 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 06:46:22.93 ID:XhHTszYv.net
- 2cosh(√2arccosh(x/2))
- 421 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 06:51:44.61 ID:3VwLIJxl.net
- >>420
素晴らしい
正解です
最初はそれに加えて
-2≦x≦2の範囲ではf(x)=2cos(√2arccos(x/2))
と考えていましたが、そもそもcos(arccos(x))=xとは限らないのでダメでしたね
- 422 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 08:09:58.31 ID:ECJxV0j2.net
- >>411
>>412
a≦0,c<0もしくはa≦0,b=c=0
という事?
a=0、b=1、c=−1 は非有界になるよ
- 423 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 08:37:08.97 ID:XhHTszYv.net
- >>422
上には有界じゃない?
- 424 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 08:55:34.51 ID:XhHTszYv.net
- ああ、t→0のときxがそれよりも早く遠ざかるとマズいのか
- 425 :408:2021/11/03(水) 08:58:28.51 ID:EqTtN8IN.net
- 想定の解答は>>414でしたが、
>>415はお見事の一言
- 426 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 09:31:52.62 ID:JKmunehM.net
- 単調増加な全単射 f:R→R は f(x)=g(g(x)) を満たす単調増加な全単射 g:R→R を持つことを示せ
- 427 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 12:08:51.40 ID:CMmh5agR.net
- >>421
f(x) を偶関数として
f(x) = ((|x|+√(xx-4))/2)^{√2} + ((|x|-√(xx-4))/2)^{√2} (|x|≧1)
= 2cos((√2)arccos(|x|/2)) (-1≦x≦1)
とすれば実数Rで連続かも…
x=0 では微分不可能
x=2 ではなめらか
f(x) = 2 + 2(x-2) + (1/6)(x-2)^2 - (1/90)(x-2)^3 + (1/720)(x-2)^4 …
- 428 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 12:22:29.24 ID:CMmh5agR.net
- 訂正スマソ
(|x|≦2) と (-2≦x≦2) でした…
- 429 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 13:07:34.49 ID:CMmh5agR.net
- f(f(0)) = -2 で最小となるはずだから
f(2cos(π/√2)) = f(-1.2114) = -2
まで延ばすしかないけど、f(-2)=2 と繋がらないな。。。
- 430 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 16:51:30.91 ID:3VwLIJxl.net
- >>427
arccosの定義に依りますが、その場合だと
f(0)=2cos(√2π/2) < 0 なので、
arccos(|f(0)|/2)=arccos(|cos(√2π/2)|)
=π-√2π/2
になるので、そもそもf(f(0))=-2になりません...
- 431 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 22:43:19.40 ID:XhHTszYv.net
- >>406
再度、挑戦
c>0だとt関係なくダメなのでc≦0
c=0のときb≠0だと同じくダメなのでb=0、そしてa≦0
c<0のときt=0上を考えるとa≦0が必要
c<0,a=0のときb≠0だとx=±1/t^(1.1)上t→+0で上に非有界になるのでb=0
よって
a,c<0もしくはa=b=0,c<0もしくはa≦0.b=c=0
が必要
後半2つは十分であることも明らか
a,c<0のときは判別式からt<ε(a,b,c)=32ac/(9b^2)のとき極値はx=0のときのみになり最大値は常に0、t≧εのときも最大値はa,b,cの関数で抑えられるので十分
- 432 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 23:16:29.82 ID:XhHTszYv.net
- >>426
こんな感じなんだろうか
fは単調増加全単射だから連続で
固定点の集合F={x∈R|f(x)=x}の補集合は開区間の直和ΣI_i
その各開区間から代表a_i∈I_iを選ぶ
I_i上でx<f(x)とする(逆でも同様)
f(a_i)が固定点bを飛び越えるとa_i<b=f(b)<f(a_i)となりfの単調増加性に矛盾するので[a_i,f(a_i)]⊂I_i
I_i=Σ[n∈Z](f^n(a_i),f^(n+1)]と書ける
a_i<g(a_i)<f(a_i)を適当に選び座標点(a_i,g(a_i))と(f(a_i),f(g(a_i)))を単調増加な曲線で結び、それを区間[a_i,f(a_i)]上のgのグラフとする
これをfの像と逆像でI_iに拡張する
固定点b∈Fにおいてはg(b)=bとする
このように定めるとgは題意を満たす
- 433 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 23:22:53.41 ID:ECJxV0j2.net
- >>431
お疲れ様でした
正解です
細かい突っ込みはあるけど些細な事で即修整可能なので省略
実は >>406 を随分前に数学板に出したことがあり「全角」(何故かいつも数式を全角で入力していた)と呼ばれていた人のレスが以下のものだった
自分の想像の範囲を超えていて何かカッコ良かったのを覚えている
----------------------------------------------------------
a<0,c<0またはa≦0,b=0,c≦0。
a<0,c<0のとき
bt^3x^3
≦|b|t^3|x|^3
≦(|b|/3)((x^2)^(9/10)+2(t^5x^4)^(9/10))。
ax^2+(|b|/3)(x^2)^(9/10)と
c(t^5x^4)+(2|b|/3)(t^5x^4)^(9/10)は上に有界なので
ax^2+bt^3x^3+ct^5x^4は上に有界。
----------------------------------------------------------
- 434 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 23:47:58.22 ID:XhHTszYv.net
- >>432
最後の部分ちょっと修正
座標点(a_i,g(a_i))と(g(a_i),f(a_i))を単調増加な曲線で結び、それを区間[a_i,g(a_i)]上のgのグラフとする
(区間(g(a_i),f(a_i)]上のグラフはf(g(x))=g(f(x))から自動的に定まる)
>>433
あれ、まだミスが…
今後のためにも教えてください
- 435 :132人目の素数さん:2021/11/03(水) 23:56:04.09 ID:JKmunehM.net
- >>432
だいたい正解ってことでOKです!
一つだけ訂正箇所があるとすれば、
曲線で結ぶのは二点 (a_i,g(a_i)) と (f(a_i),f(g(a_i))) ではなくて
(a_i,g(a_i)) と (g(a_i),f(a_i)) って所かな
この区間での g の値が定まったら、例えば x∈(g(a_i),f(a_i)] については
g(x) = f(g^(-1)(x))
と一意に定まるからね
- 436 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 08:28:47.86 ID:o5UlrNcS.net
- >>434
いや本当に些細なことなんだけど
「a,c<0のときは判別式からt<ε(a,b,c)=32ac/(9b^2)のとき」
の部分で b=0 かどうかの場合分けとか元々 t∈[0, 1] で考えているので ε がその区間に入らない時の場合分けの話です
- 437 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 09:53:51.04 ID:rQY+Jp+v.net
- 〔類題〕
不等式 4^x - 3・2^x + 2 ≦ 0 を解け。
* やさしいです
- 438 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 17:04:33.88 ID:RbJFE/P2.net
- 任意の実数 x に対して f(f(x)) = sinx を満たす、区分的に初等的な実関数 f:R→R を一つ挙げよ
- 439 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 18:10:10.56 ID:U7VJJtp7.net
- 1+2^x+2^(2x+1)が平方数となる非負整数xを求めよ
- 440 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 20:17:38.76 ID:aBvMyQJO.net
- x=0は解
x>0のときm=2^(x-1),k=m+1とおくと
ある自然数nがありn^2=k^2+7m^2と書ける
mとkは互いに素なのでnとkも互いに素
(n-k)(n+k)=7m^2なのでn-kかn+kが7の倍数
n-k=7dの場合(dとkは互いに素)
d(7d+2k)=m^2
mは2の冪なのでdも7d+2kも2の冪になる必要があるが
dとkが互いに素なのでd=2,k=9のみが可能
このときx=4で解となる
n+k=7dの場合
同様にdと(7d-2k)は2の冪であり(d,k)=(1,3)もしくは(2^(i+1),7×2^i-1)となるがk=m+1を満たさず不適
よって解はx=0,4のみ
- 441 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 21:03:16.70 ID:rQY+Jp+v.net
- 8(1+2^x+2^{2x+1}) = 7 + (1+2^{x+2})^2 = 7 + XX,
これが 8YY となるから
XX - 8YY = -7, いわゆるペル方程式。
(X,Y) = (1,1) (2,5) (4,11) …
(X,Y) が解ならば (3X+8Y,X+3Y) も解。
X = 1 + 2^{x+2} を満たすのは
x=0, X=5, Y=2,
x=4, X=65, Y=23,
- 442 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 21:06:25.32 ID:d9guSNc1.net
- >>437
4^x - 3・2^x + 2 <= 0
<=> (2^x - 2)(2^x - 1) <= 0
<=> 1 <= 2^x <= 2
<=> 0 <= x <= 1
- 443 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 21:33:34.62 ID:aBvMyQJO.net
- >>438
1<a<π/2とする
座標(a,1)と(π/2,a)を線分で結びa≦x≦π/2でのf(x)のグラフとする
これをf(sin(x))=sin(f(x))とf(f(x))=sin(x)を使って0<x≦π/2のグラフに拡張する
さらにf(0)=0とおき、これをsinと同じ形で貼り合わせていけば良い
- 444 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 22:09:57.39 ID:aBvMyQJO.net
- >>436
たしかにそうですね、ありがとうございます
あと遅れながら全角氏の解答も理解しました
不等式スレの方ですかね?絶妙な変形でAMGMに持ち込む技よく見かけます
- 445 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 22:24:59.46 ID:+6XnN/it.net
- >>440
> mは2の冪なのでdも7d+2kも2の冪になる必要があるが
> dとkが互いに素なのでd=2,k=9のみが可能
ここは何故ですか?
- 446 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 22:40:12.73 ID:aBvMyQJO.net
- >>445
d=1のとき7d+2kは9以上の奇数になり不適
d=2^i(iは自然数)のときkは奇数で7d+2kを2が割る回数はちょうど1回になるのでi=1
- 447 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 22:49:14.66 ID:RbJFE/P2.net
- >>443
あーそうか、逆正弦もアリだったか…正解です
想定解は
f(x) = -sinx (0<x≦π),
-x (-π<x≦0)
と定めて周期2πで拡張するものでした
簡単でしょ
- 448 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 22:52:13.89 ID:+6XnN/it.net
- >>446
なるほど
正解ですね
元ネタ
https://youtube.com/watch?v=wviiZlYRaGE&feature=share
- 449 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 23:52:11.17 ID:aBvMyQJO.net
- >>447
面白いですね
昨日の方法に引きずられてしまいましたがこんな簡単な方法があったとは…
- 450 :132人目の素数さん:2021/11/05(金) 07:50:31.28 ID:BtCJLRzH.net
- 早い人は3分位で解くかも
【問】
Rで微分可能な関数で、以下の性質を満たす関数 f(x) の例を1つ挙げよ
x が有理数のとき f(x) は有理数の値をとる
x が無理数のとき f(x) は無理数の値をとる
f’(x) は任意の区間で定数ではない
- 451 :132人目の素数さん:2021/11/05(金) 08:53:44.67 ID:th6pjHby.net
- f(x) = x/(1+|x|)
- 452 :132人目の素数さん:2021/11/05(金) 09:44:38.47 ID:pgBiTvCq.net
- 望月さんのABC予想の証明
あれってどうなったんだろう…。
全くの新理論で言葉などを新しく定義し
世界中 60億人の人類のうち、
まともに理解しているのが本人だけ…
っていう状況だけを見ると
精神病のあれっぽいよな。
悪ふざけやハッタリで600pも論文出すような人じゃなく
本気で発表しているし…。
- 453 :132人目の素数さん:2021/11/05(金) 10:31:19.12 ID:MO5Kof3j.net
- あれっぽいですね、シリアの北の方の。
けっきょく政府軍が勝ったのかな。
- 454 :132人目の素数さん:2021/11/05(金) 17:09:43.53 ID:6/HI9QKY.net
- F(x), G(x)はともに任意の実数xで微分可能な定数関数ではない関数とする。このとき、任意の実数xで
F(x)=G(F(x)),
G(x)=F(G(x))
を満たすならば
F(x)=G(x)=xを示せ
- 455 :132人目の素数さん:2021/11/05(金) 17:45:15.43 ID:BtCJLRzH.net
- >>451
はや!
- 456 :132人目の素数さん:2021/11/05(金) 18:13:06.60 ID:a/Q813Cl.net
- >>454
F(x)とG(x)の像は定数でない連続写像の像なのである区間〈a,b〉,〈c,d〉(端点は±∞も含み〈は開端か閉端とする)となる
c,d間でF(x)=x、a,b間でG(x)=x,となるので〈a,b〉=〈c,d〉
端点が有限だとすると連続性から端は閉であり、その点で最大値(もしくは最小値)をとるので微分は0、左(もしくは右)から微分は1で近づくので矛盾
よって端点は±∞
- 457 :132人目の素数さん:2021/11/05(金) 18:24:35.99 ID:RruEZRug.net
- F(x)=G(x)=atan(x)とか
- 458 :132人目の素数さん:2021/11/05(金) 18:26:41.85 ID:RruEZRug.net
- あ、可換だけではダメなのか
無視して下さい
- 459 :132人目の素数さん:2021/11/05(金) 23:36:16.18 ID:MO5Kof3j.net
- 周期的な関数も可能か。
>>451 の f(x) の [-1, 1) の部分をたくさんつなぐ。
g(x) = n + f(x-2n),
n = [(x+1)/2] は x/2 に最も近い整数。(2n-1 ≦ x < 2n+1)
g '(2n) = f '(0) = 1,
g '(2n±1) = f '(±1) = 1/4.
- 460 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 00:31:27.91 ID:QOJe0Sk2.net
- >>442
正解です!
想定解のとおりでした。
- 461 : :2021/11/06(土) 00:50:36.56 ID:T7hEDVBh.net
- 前>>321
>>378
∠ABC=∠Rとかどこにも書いてないんだが。
ADとBCを延長し交点をOとし△OAB∽△OCDだから、
OC=c,OD=dとおくと、
√(625-x^2):7=(c+x):d=(d+x):c
(625-x^2):49=(c^2+2cx+x^2):d^2=(d^2+2dx+x^2):c^2
△ODCにおいてピタゴラスの定理より、
d^2+49=c^2
- 462 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 08:53:53.91 ID:y+95DBwq.net
- >>459
C^∞級の関数の構成は無理そうですかね…
- 463 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 10:06:37.49 ID:wcLGAgqA.net
- 某youtubeの動画に影響を受けてできた問題
まあ勿論計算機使えば簡単に解ける問題なので、
うまいやり方を見つけられるかなってことなんだけど
(2^17+3^10+6^7)/(2^13+3^10+6^6) を約分せよ
- 464 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 12:40:30.83 ID:QOJe0Sk2.net
- 分子をN、分母をD とする。
N - D = 2^17 - 2^13 + 6^7 - 6^6
= (2^4-1)・2^13 + (6-1)・6^6
= (16-1)・2^13 + 5・6^6
= (16-1)(2^6)(2^7 + 3^5),
16D - N = (16-1)3^10 + (16-6)6^6
= (16-1)・3^10 + 10・6^6
= (16-1)・3^5(3^5 + 2^7),
辺々たして 16-1 で割ると
D = (2^6 + 3^5) (2^7 + 3^5),
N/D = 1 + (N-D)/D
= 1 + 3・5・(2^6)/(2^6+3^5)
= 1 + 960/307,
分母は 2,3,5 と素だから、これ以上は約せない。
計算機がなくても簡単かも
- 465 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 12:50:30.00 ID:2M0plTND.net
- 6^2=2^5+2^2と6^1=2^2+2^1を使って
(2^7+3^5)(2^10+3^5)/((2^7+3^5)(2^6+3^5))
- 466 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 13:09:20.39 ID:QOJe0Sk2.net
- (2^10 + 3^5) - (2^6 + 3^5) = (2^4 - 1)(2^6) = 3・5・2^6,
左辺はどちらも 2,3,5 で割り切れない。
- 467 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 13:24:53.58 ID:wcLGAgqA.net
- まあだいたいそんな感じ
(2^a+3^b)(2^c+3^d) = 2^(a+c) + 3^(b+d) + 6^n
みたいな形になる組で共通因数を持つもののペアを見つけてできた問題でした
- 468 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 14:18:28.44 ID:QOJe0Sk2.net
- 某YouTubeの動画の問題
(6^8 + 3^12 + 2^19)/(3^8 + 2^14 + 2^11) を約分せよ。
MathLABO
http://www.youtube.com/watch?v=rpsOW-11EzE 07:35
- 469 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 17:07:41.69 ID:QOJe0Sk2.net
- >>451 >>459
は Rで C^1級ですが
境界点では 2階微分可能ではありません…orz
- 470 :132人目の素数さん:2021/11/07(日) 10:14:24.65 ID:RoHS20Z1.net
- ・発症3日以内にパクスロビドを投与された患者のうち登録後後28日目までに入院した患者は0.8%(3/389人が入院し、死亡はなし)であったのに対し、プラセボ(偽薬)を投与された患者のうち、入院または死亡した患者は7.0%(27/385人が入院し、7人がその後死亡)であり、パクスロビドは入院または死亡のリスクを89%減少させた。
問題
一人の死亡を減らすのに必要な投薬人数を計算せよ。
- 471 :132人目の素数さん:2021/11/07(日) 21:24:43.70 ID:Mh439stj.net
- >>467
b=d の場合は
2^{a-n} + 2^{c-n} = 3^{n-b} = 3^{n-d},
だけど
2^3 + 2^0 = 3^2, (カタラン)
に限るのかな?
- 472 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 00:16:14.63 ID:uftBQz4C.net
- (続き)
2^{2m+7} + 3^{2m} + 6^{m+2} = (2^{m+2} + 3^m) (2^{m+5} + 3^m)
は 2^3 + 2^0 = 3^2 に
2^{2m+3} + 3^{2m} + 6^{m+1} = (2^{m+2} + 3^m) (2^{m+1} + 3^m)
は 2^1 + 2^0 = 3^1 に基づくね。
- 473 :イナ :2021/11/08(月) 02:21:13.63 ID:7683UzGG.net
- 前>>461
>>378
これは考え方を変える。
どんなけユニークでオリジナリティーにあふれた解き方ができるか。
(答案1)
ピタゴラスの定理よりAC=√(24^2+7^2)
=√(576+49)
=√625
=25
ぱっと見AB=20,BC=15なら、
BC:AB:AC=3:4:5
ADの延長線とBCの延長線の交点をOとすると、
△OAB∽△OCD
∵二角が等しいから。
OD/OB=OC/OA
OD/(OC+BC)=OC/(OD+AD)
OD/(OC+15)=OC/(OD+24)=7/20
7OC+105=20OD
7OD+168=20OC
140OC+2100=400OD
49OD+1176=140OC
辺々足すと351OD=3276
117OD=1092
39OD=364
3OD=28
OD=28/3
OC=20OD/7-15
=80/3-15
=(80-45)/3
=35/3
∴x=15は妥当。
- 474 :イナ :2021/11/08(月) 02:31:19.90 ID:AsaGhX8P.net
- 前>>473補足。
CD:OD:OC=7:28/3:35/3
=21:28:35
=3:4:5
- 475 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 09:23:10.78 ID:XmPTCfQT.net
- まあ要は 2^x・3^y (整数x,yは0以上) と表せるような数同士の足し算で
再びそのような数が得られる関係式をまずは全て求めればいいんだけど、本質的には
1+1=2, 1+2=3, 1+3=4, 1+8=9
の四通りとその 2^x・3^y 倍しかなくて、そのうち約分の問題が作れるのが
1+2=3, 1+8=9 の組だけだったってことなんだよね
- 476 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 09:47:24.65 ID:uftBQz4C.net
- >>471
>>465 の2つだけですね。
- 477 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 10:54:56.45 ID:uVGOXAi2.net
- f:R→R は微分可能で
f(x)=0 をみたすxが存在する
定数a>0,b>1 が存在し、任意のxに対して |f'(x)|≦a|f(x)|^b をみたす
このときfは恒等的に0であることを示せ
- 478 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 12:59:29.83 ID:jeElS98b.net
- >>477
f(α)=f '(α)=0
のとき、x=α近傍では、y=f(x)は凸関数なので、
平均値の定理より、x=α近傍では、
|f '(x)|>|f(x)-f(α)|/|x-α|
・・・解りません。oTL
- 479 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 13:38:27.11 ID:XmPTCfQT.net
- >>477
関数 f の零点 p をとる。
正の数 ε を 0<εa<1 を満たし、かつ x=p+ε について
任意の t∈(p,x) が f(t)<1/2 を満たすように定める。この時
∫_[p,x] |f(t)| dt
=∫_[p,x] |∫_[p,t] f'(s) ds| dt
≦∫_[p,x] ∫_[p,t] |f'(s)| dsdt
≦∫_(p≦s≦t≦x) a|f(s)|^b dsdt
=∫_[p,x] a(x-s)|f(s)|・|f(s)|^(b-1) ds
≦(1/2)^(b-1) ・ ∫_[p,x] |f(s)| ds.
ゆえに ∫_[p,x] |f(t)| ds = 0 より f(t)=0 (∀t∈[p,x]) が成り立つ。
同様にしてある y<p が存在して f(t)=0 (∀t∈[y,p]) が成り立つので、f^(-1)({0}) は開集合。
これは閉集合でもあるので実数全体でなければならない。
- 480 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 14:31:48.26 ID:46BMAEYC.net
- >>479 正解
微分の平均値の定理を使って同じような議論をするのが
用意した解答でした
- 481 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 17:23:46.83 ID:7NuGcMc4.net
- 2^a+2^b+2^c+2^d+2^e=n!の自然数解が高々有限個である事を示せ
- 482 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 18:51:27.13 ID:NYdUq38i.net
- 1,2,4,8,16,32,64のどんな5つの組み合わせも127の倍数にならないので左辺は127の倍数になりえない
よってn<127
- 483 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 19:00:24.00 ID:uftBQz4C.net
- 2^a+2^b+2^c+2^d+2^e < 2^{a+b+c+d+e},
AM-GM より
2^a+2^b+2^c+2^d+2^e ≧ 5・2^{(a+b+c+d+e)/5},
与式より
5・2^{(a+b+c+d+e)/5} ≦ n! ≦ 2^{a+b+c+d+e},
[ log_2(n!) ] ≦ a+b+c+d+e ≦ [5・log_2(n!/5)] = m,
m/5 < a+b+c+d+e ≦ m,
5個の自然数の和がm以下であるような組合せの数は,
mカ所の境目から5つの仕切りを選ぶ方法の数
C[m,5] = m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/5!
和がm/5 以下の組合せを除くと
C[m,5] - C[m/5,5]
∴ 自然数解の数はこれ以下である。
- 484 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 19:11:36.29 ID:NYdUq38i.net
- n(よってmも)は固定ではないからそれではダメじゃないの
固定なら変形しなくても有限個なのは明らかだし
- 485 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 19:19:34.84 ID:uftBQz4C.net
- {1,2,4,8,16,32} のどんな5つの組み合わせも63の倍数にならないので
左辺は63の倍数になりえない。
一方、7! = 5040 = 63×80 は 63の倍数。
よって n<6
でいい?
>>483 はnを固定したとき
- 486 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 20:43:12.25 ID:uftBQz4C.net
- 左辺 ≧ 10 より n≧4,
n=4 {1,1,1,1,4} {1,1,2,3,3} {2,2,2,2,3}
n=5 {2,2,4,5,6} {3,3,3,5,6} {3,4,4,4,6} {3,4,5,5,5}
n=6 ?
- 487 :132人目の素数さん:2021/11/08(月) 21:49:01.30 ID:k2imCOle.net
- 皆さん正解です
元ネタ
https://youtu.be/p4OY8dUb7B4
1番省エネなのはmod 63ですね
2^aはmod 63では1,2,4,8,16,32で次元戻る
この中から重複を許して5個選んで0を作ることができない
実際重複がなければ2進表示考えて明らか
重複してるときは2個まとめて数が減らせるのでもっと無理
しかしn≧7ならn!は63の倍数でなければならないからn≦6が必要
みたいな
- 488 :132人目の素数さん:2021/11/09(火) 00:46:12.33 ID:w8WlgVT8.net
- n=6 {3,3,6,7,9} {4,5,5,7,9} {4,6,6,6,9} {4,6,7,8,8}
n=4 5 + 30 + 5 = 40 とおり
n=5 60 + 20 + 20 + 20 = 120 とおり
n=6 60 + 60 + 20 + 60 = 200 とおり
計 40 + 120 + 200 = 360 とおり (∴ 有限)
- 489 :132人目の素数さん:2021/11/09(火) 12:01:33.12 ID:w8WlgVT8.net
- >>483
m' = m/5 + log_2(5) < a+b+c+d+e ≦ m,
和が m' 以下の組合せを除くと
C[m,5] - C[m',5]
と修正
n=4 m=11, m'=4
C[m,5] = 462 以下
n=5 m=22, m'=6
C[m,5] - C[m',5] = 26328 以下
n=6 m=35, m'=9
C[m,5] - C[m',5] = 324506 以下
合計 462 + 26328 + 324506 = 351296 以下
3桁も緩い上限だが、有限であることは分かる。
- 490 :132人目の素数さん:2021/11/10(水) 17:41:13.57 ID:G+N47gFR.net
- 0≦θ≦πで、y=-x/tanθ+(θ/π×tanθ) の直線の通過領域(包絡線)を求めよ。
包絡線にarctanθが入ってしまって合っているかわかりません、、お教えください。。
- 491 :132人目の素数さん:2021/11/11(木) 10:41:32.35 ID:/mGnEX08.net
- >>490
x cotθ + y - θ/π tanθ = 0‥@
θで微分して
-tan(θ)/π - (θ sec^2(θ))/π - x csc^2(θ) = 0‥A
@から
θ/π = ( x cotθ + y ) cot(θ)
Aから
θ /π = ( -tan(θ)/π - x csc^2(θ) )sin^2(θ)
よって
( x cotθ + y ) cot(θ) - ( -tan(θ)/π - x csc^2(θ) )sin^2(θ) = 0‥B
θで微分して
(2 sin^2(θ))/π + (tan^2(θ))/π - 2 x cot(θ) csc^2(θ) - y csc^2(θ) = 0‥C
解いて
x = (sin^2(θ) (cos(2 θ) + 3) tan(θ))/(2π),
y = - (2 tan(θ))/π tan(θ)
ここからθも消せるっぽいけど疲れた
- 492 :132人目の素数さん:2021/11/11(木) 10:51:55.53 ID:/mGnEX08.net
- Aから
θ /π = ( -tan(θ)/π - x csc^2(θ) )cos^2(θ)
だった
めんどくさいなぁ
- 493 :132人目の素数さん:2021/11/12(金) 18:05:08.33 ID:fn8stVsI.net
- y=5xとy=-3x/2の間の角度
- 494 :132人目の素数さん:2021/11/12(金) 18:37:13.84 ID:oN71UrAZ.net
- x軸を挟む側が135度
y軸を挟む側が45度
- 495 :132人目の素数さん:2021/11/12(金) 18:52:16.10 ID:fn8stVsI.net
- φ=(1+√5)/2とする
y=(φ^3)xとy=-φxの間の角度
- 496 :132人目の素数さん:2021/11/12(金) 19:09:51.63 ID:oN71UrAZ.net
- 同上
- 497 :132人目の素数さん:2021/11/12(金) 19:25:32.72 ID:Xelqar2y.net
- 開区間 (0,1) 上の可算で稠密な点集合 A,B を任意にとる。
この時、全単射なC^∞級関数 f:(0,1)→(0,1) であって f(A)=B を満たすものが存在することを示せ。
- 498 :132人目の素数さん:2021/11/13(土) 01:35:06.89 ID:6tLupfeO.net
- back&forthはC^∞との兼ね合いが謎すぎるし何か関数解析的飛び道具でも使うんだろうか
- 499 :132人目の素数さん:2021/11/13(土) 02:30:12.14 ID:p9KLGdwO.net
- ほー…このやり方back&forthなんてお洒落な名前ついてたのか、知らなかった
イメージ的には、各ステップで集合A×Bの対応づけられたペアの有限集合だけじゃなくて、
その有限集合に合致する"関数fの暫定的な姿"も一緒に更新しながら
構成していくのがいいかも(というかそれが想定解の方法)
勿論、AとBの対応づけが全て終わった時に関数fも
ちゃんとC^∞級のある関数に収束してる必要があるけどね
- 500 :イナ :2021/11/13(土) 02:41:34.45 ID:3w4ZR1lo.net
- 前>>474
>>493
0<θ<π/2
cosθ=(1,5)・(-2,3)/(√26)(√13)
=(-2+15)/13√2
=1/√2
∴45°と135°
- 501 :132人目の素数さん:2021/11/13(土) 07:00:25.08 ID:jVHkbZeQ.net
- >>495
作図して計測
https://i.imgur.com/lQ8NvIu.png
おまけ
calc <- function(a,b,print=F){
A=1+1i*a
B=1+1i*b
if(print){
source('toolmini.R')
Plot(-5,5)
axy(tan(Arg(A)),0i,-5,5)
axy(tan(Arg(B)),0i,-5,5,col=2)}
(Arg(A)-Arg(B))*180/pi
}
> phi=(1+sqrt(5))/2
> calc(phi^3,-phi)
[1] 135
- 502 :132人目の素数さん:2021/11/13(土) 07:04:50.71 ID:jVHkbZeQ.net
- >493と>495では何度回転しているか?
> calc(-3/2,-phi)
[1] 1.972593
- 503 :132人目の素数さん:2021/11/13(土) 07:54:07.65 ID:6tLupfeO.net
- >>499
各ステップでは有限点だからいくらでもC^∞全単射与えておけるだろうけど、最終的な関数はABの対応だけから稠密性と連続性によって自動的に決まってしまうはずだからABの点を対応させる以外の付加は結局意味ないように思えるんだよなぁ
それとも想像してるback&forth手順に齟齬があるのか…
- 504 :132人目の素数さん:2021/11/13(土) 09:30:48.90 ID:p9KLGdwO.net
- >>503
まさにそのABの点を対応させる以外の情報を付加する意味について補足
勿論ABの点の対応だけ考えれば最終的に関数の姿は決まるし、
稠密性から連続性も保証されるだろうけど、できた関数がC^∞になるように調整するためには
付加情報を考えないと非常にややこしいことになりそうなんだよね
(まあ自分ができなかったってだけだから、付加情報を考えない構成が
不可能と主張するつもりはないのでそれに挑戦するのはアリだとは思っている)
一般に関数がある点で滑らかであるかどうかは、その点に十分近い全ての点が
どんな位置関係にあるかによって総合的に判定される訳だから、
既に決められた複数の(もしかしたら莫大な数が必要になるかも知れない)A×Bペアから
収束先の滑らかさを保証するための次のペアの範囲を具体的に決めるのは
おそらく非常に難しい手続きが必要になる
一方、暫定関数という付加情報を考える方法であれば、
少なくとも暫定的なC^∞級関数fのグラフに十分近い点をとり続けていれば
収束先もC^∞関数として存在することが保証されるため、
各ステップでのA×Bのペアの選び方が容易になる
(…ように各ステップでの関数の更新先の姿の候補を定めることが比較的容易に可能)
というのが理由というかメリットかな
説明するの難しい…
- 505 :132人目の素数さん:2021/11/13(土) 21:46:59.32 ID:p9KLGdwO.net
- あれこれC^ω級でもいけるっぽい…?まあいいや問題はC^∞級のままで
- 506 :132人目の素数さん:2021/11/14(日) 01:10:11.59 ID:Yl/dStNW.net
- (1) 感度0.4 特異度0.9の検査で100人中30人が陽性、70人が陰性であったとき、この集団の感染率を求めよ
(2) 感度0.4 特異度0.9の検査で100人中50人が陽性、50人が陰性であったとき、この集団の感染率を求めよ
- 507 :132人目の素数さん:2021/11/14(日) 01:31:22.27 ID:yOs9Hpp0.net
- 解析知らなすぎて滑らかな関数を作る方法すらよく分かってない
C^ωだと一部で全体が決まってしまう感じだからかなり厳しいと思うし、C^∞もそんなに調節して作れる感じはしないんだよなぁ
フレシェ空間(?)とかで関数族を絞っていってBaire的に存在だけ言うとかならまだありえるかもだけど…
- 508 :132人目の素数さん:2021/11/14(日) 09:18:08.73 ID:GsvzJYEC.net
- ヒントいるかな
暫定関数fの更新方法の例だけど、
g(x)=e^(-1/(1-x^2)), (|x|<1)
0 (|x|≧1)
をx軸方向やy軸方向に縮小したものを足す感じ
最終的にfがC^∞級関数に収束する必要がある訳だけど、
それはつまり任意の正の整数mについて、nステップ目の暫定関数f_nのm階導関数が
n→∞である連続関数に一様収束するように定めれば十分なので、
y軸方向にどれだけ縮小すれば良いかの範囲はそれを参考に定めれば良い
- 509 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 00:25:48.03 ID:fPE3aJ9L.net
- >>497
実数 a と実数の有限集合Sに対し
p(a,S)(z) = Π[s∈S](z-s)/(a-s)
とする
Dは単位閉円盤{ |z|≦1 }とする
補題 定数b,cがS∩[u,v] = φを満たすとき関数族{p(a,S)(z) | a∈[u,v] }、{p'(a,S)(z) | a∈[u,v] }は共にD上一様有界である
∵) { p'(a,S)(z) | a∈[u,v], z∈D }はコンパクト集合だから有界である
よって一様有界
) { p(a,S)(z) | a∈[u,v], z∈D }はコンパクト集合だから有界である
よって一様有界□
以外主張を示す
AとBを並べて
A={a1,a2,...}, B={b1,b2,...}
とする関数列fnを
(1)fn:は実係数多項式関数の列で(0,1)上単調増加でinff'(t)>0, fn((0,1)) = (0,1)、またsup{ |fi'(z)| z∈D } < 2
(2)i≦nに対しfn(a_i)∈B、bi∈fn(A)
を満たすように構成していく
f0(z) = zで良い
f(n-1)(z)まで構成できたとする
まずg(z)を(1)と(2)のi<nとi=nの前半だけ満たすものとして以下のように定める
f(n-1)(an)∈Bであればg(z)=f(n-1)(z)でよい
そうでないとする
a=an, S={a1,...,a(n-1),0,1}としてp(a,S)(z)を考えるとき十分小さいeを選んで任意のr∈(0,e)に対しf(n-1)+p(a,S)が(1)の条件を満たすようにとれる
そこで(f(n-1)(an)-e,f(n-1)(an)+e)からBの元bを任意に選び
g(z) = f(n-1)(z) + (b-f(n-1)(a))p(a,S)(z)
と定めるときg(z)が求める条件を満たす
fnを構成する
bn∈g(A)であればfn(z)=g(z)でよい
そうでないとする
閉区間[u,v]をS={a1,...,an,0,1}とdisjointかつbn∈g([u,v])ととる(これはb∈[0,1]\g(S)=∪[[u,v]∩S=φ]g([u,v])により可能である)
補題により十分小さいe>0を任意のr∈(0,e)とa∈[u,v]に対しg(z)+rp(a,S)(z)が(1)の条件を満たすようにとれる
そこでa∈A∩[u,v]を|g(a)-bn|<eとなるようにとる(これはg(A∩[u,v])がg([u,v])で稠密だから可能)
そこでfn(z)=g(z)+(bn-g(a))p(a,S)(z)とおけば条件が満たされる
以上により条件を満たす関数列fn(z)が構成できた
fn(z)は正則関数の同程度連続関数族なのでアスコリアルツィラより極限を持つ部分列fniがとれるがlim[i→∞]fniが求める条件を満たす□
- 510 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 01:48:45.05 ID:cV8Kh2Jy.net
- >>509
うおっ、お疲れ様…正解です
そうそう、e^(-1/(1-x^2)) とかじゃなくて
多項式関数を足していく方法でもうまくいくのよね
|z|<1 の範囲で rp(a,S)(z) の任意階の導関数の絶対値が 1/(n+1)! 以下になり、
なおかつrp(a,S)の各次数の係数の絶対値が 1/n! 以下になるよう r の範囲を定めて…
みたいに何がなんでもという勢いで絶対収束させる方法を想定してたけど、
後でアスコリアルツェラ使うのであればこの辺の範囲の定め方は若干手を抜けるということなのかな…
ともあれお見事でした!
- 511 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 11:40:03.09 ID:2w2Fxxz9.net
- 約14億立方kmの海水は何年で沸騰しますか?原発は7度も上がった水が1秒に70トンも海水に流しています。
世界の原発の数は434基ですその全てが1秒に70トンも7度上昇させると仮定します
- 512 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 11:48:23.69 ID:tvbhKvNq.net
- >>511
現在の海水の温度を平均20度とし、地球上に海水しか水分がないと仮定すると
1.6689×10^7年
- 513 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 12:13:02.67 ID:dIXvDQDl.net
- 海水温上昇ωの原因は原発か
温暖化ωωωの原因も原発だろうな
- 514 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 18:11:43.00 ID:l75/Y6xe.net
- https://pbs.twimg.com/media/FEELyVOaUAAeIxT.jpg
- 515 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 19:51:25.57 ID:a1/lbGDh.net
- 和算みが深い
- 516 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 19:56:23.90 ID:oPa2F7g1.net
- 接線4本引いて大円に外接する四角形描くんだろうなまでは思いついた
- 517 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 20:41:21.71 ID:TtJhBwjf.net
- 直交軸を u軸, v軸とする。
最左点 (-9, 9/2) で2円が接しているのを利用する。
左上円 (u+9/2)^2 + (v-9/2)^2 = (9/2)^2, 中心 (-9/2, 9/2)
大円 (u+9-R)^2 + (v-9/2)^2 = RR, 中心 (R-9, 9/2)
大円の中心〜(-5/2, -5/2) の距離 R-5/2,
大円の中心〜(3, -3) の距離 R-3,
∴ R = 85/8, 中心(13/8, 9/2)
大円の中心〜(6, 6) の距離 R-6,
∴ x = 12.
- 518 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 20:47:16.57 ID:TtJhBwjf.net
- 大円の中心〜(x/2,x/2) の距離が R - x/2
だから x=12.
デカルト流…
- 519 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 22:19:02.18 ID:2w2Fxxz9.net
- >>512
どうもありがとうございます
- 520 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 22:51:35.39 ID:2w2Fxxz9.net
- >>512
さっそくYou Tubeの気候変動に関する国際連合枠組条約チャンネルに教えていただいた計算書きこみしてきました
- 521 :132人目の素数さん:2021/11/16(火) 04:07:44.12 ID:X0z2o6S2.net
- ケーキを均等に3つに切るってもしこのように切ったらスポンジの角度は何度にすればいい
均等って120度じゃなくても質量が同じならよくないか
https://o.5ch.net/1vi3n.png
- 522 :132人目の素数さん:2021/11/16(火) 05:39:41.17 ID:2OrhzT5X.net
- 半径aのケーキがあったとする。
中央の縦線(x=0) から斜めにナイフを入れ
底に達したとき x=b だったとする。(0<b<a)
xより右側の部分の面積は aa・arccos(x/a) - x√(aa-xx),
これを 0〜b で積分すると
aab・arccos(b/a) - (1/3)(2aa+bb)√(aa-bb) + (2/3)a^3,
これが (π/3)aab に等しくなるのは
b = 0.536900336865209045 のとき
- 523 :132人目の素数さん:2021/11/16(火) 23:33:58.78 ID:5n5+SwDT.net
- >>517
ツイ元の出題者的に9の円は最左点で接していることは前提にないようですね
実際はそうだとしてもそのことも証明する必要があるようです
- 524 :132人目の素数さん:2021/11/17(水) 00:19:24.48 ID:VIyadTbr.net
- 大先生「ヒントをやろう、中心は(13/4,9)」
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28%28x%2B9%29%5E2%2B%28y-9%29%5E2%29%2B9%3Dsqrt%28%28x%2B5%29%5E2%2B%28y%2B5%29%5E2%29%2B5%2C+sqrt%28%28x%2B9%29%5E2%2B%28y-9%29%5E2%29%2B9%3Dsqrt%28%28x-6%29%5E2%2B%28y%2B6%29%5E2%29%2B6&lang=ja
- 525 :132人目の素数さん:2021/11/17(水) 00:27:07.29 ID:VIyadTbr.net
- あ、直径か
なら中心(13/8,9/2)でヨロピコ
- 526 :132人目の素数さん:2021/11/17(水) 01:48:43.64 ID:6lEP3Z5G.net
- >>514
直線が垂直に交わる交点を原点として直径5,6,9の円は中心の位置はわかっている
大円の中心の位置を(p,q)として半径rとする
大円が3つの円と接する条件でp,q,rを求められる
大円と中心(x/2,x/2)で半径x/2の円が接する条件でxが求められる
- 527 :132人目の素数さん:2021/11/17(水) 02:15:37.21 ID:Ioe5IJ92.net
- 大円の中心を (a, b) 半径をRとすれば図から
(a+9/2)^2 + (b-9/2)^2 = (R-9/2)^2,
(a+5/2)^2 + (b+5/2)^2 = (R-5/2)^2,
(a-3)^2 + (b+3)^2 = (R-3)^2,
その差をとれば
-a + 3.5b = R + 3.5
-5a + 5b = R + 3.75
11a - b = R + 2.75
これを使えば
(a, b) = (13/8, 9/2)
R = 85/8.
- 528 :132人目の素数さん:2021/11/17(水) 02:16:14.32 ID:VIyadTbr.net
- 半径が確定している3つの円の中心をA,B,C, 半径をa,b,c、大円の中心をP、半径をrとしてP,rの満たすべき方程式は
PA + a = r、PB + b = r, PC + c = r
PA +a-b = PBの両辺を二乗して
2PA = 1/(a-b)( PB^2-PA^2 )
右辺はPの座標についての一次式でux+vy+w=0とおくとき(u,v)はABベクトルに平行である
同様にして
2PA = 1/(a-c)( PC^2-PA^2 )
を得るから
1/(a-b)( PB^2-PA^2 ) = 1/(a-c)( PC^2-PA^2 )
を得るが両辺の一時の項の係数のなすベクトルは平行ではない
よってこの方程式を満たすPが一意に定まる
コレはPが満たすべき必要条件であるが解がある事は容易にわかるからこの条件を満たすPが解である
- 529 :132人目の素数さん:2021/11/17(水) 02:27:58.06 ID:Ioe5IJ92.net
- みんな同じ方法だね (^ω^) …
- 530 :132人目の素数さん:2021/11/17(水) 02:31:05.82 ID:Ioe5IJ92.net
- >>522
S(x) = aa・arccos(x/a) - x√(aa-xx),
より
S(0) = (π/2)aa = 1.570796326795 aa,
S(b/2) = 1.0404162231472 aa,
S(b) = 0.5510840122076 aa,
ここに b = 0.536900336865209 a,
0〜b で積分する所でシンプソン-1/3則を使うと
{S(0)+4S(b/2)+S(b)}/6 = 1.0472575386 aa,
これは π/3 = 1.0471975512 に近い。
- 531 :132人目の素数さん:2021/11/17(水) 18:23:58.92 ID:cAFLAGEq.net
- https://pbs.twimg.com/media/FEUXXt9akAEnTSp.jpg
- 532 :132人目の素数さん:2021/11/17(水) 18:50:17.94 ID:UDdqfQ79.net
- >>531
sinの振幅が1以下だから(略)
- 533 :132人目の素数さん:2021/11/17(水) 18:53:48.89 ID:VIyadTbr.net
- N sin(N!π/e)
=N sin(N! πΣ(-1)^k/k!)
= N sin( Nπ(-1)^(N-1)+π(-1)^N+π/(N+1)(-1)^(N+1)πN!Σ[k≧N+2](-1)^k/k!)
= N (-1)^(N+1)sin( π/(N+1)(-1)^(N+1)+πN!Σ[k≧N+2](-1)^k/k!)
= N sin( π/(N+1)-(-1)^NπN!Σ[k≧N+2](-1)^k/k!)
〜Nπ/(N+1)
→π
- 534 :132人目の素数さん:2021/11/17(水) 20:29:34.66 ID:Zl073j26.net
- なるほどなあ
- 535 :132人目の素数さん:2021/11/17(水) 20:58:58.75 ID:Ioe5IJ92.net
- Nが偶数のときは
(奇数) - 1/(N+1) < N!/e < (奇数) - 1/(N+2),
Nが奇数のときは
(偶数) + 1/(N+2) < N!/e < (偶数) + 1/(N+1),
いずれにしても
sin(π/(N+2)) < sin(N!π/e) < sin(π/(N+1)) < π/(N+1),
- 536 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 00:00:26.44 ID:BIi1EE4n.net
- Σ[k=1,∞] (-1)^(k-1) /((N+1)(N+2)…(N+k))
= 1/(N+1) - 1/((N+1)(N+2)) + ……
= 1/N - 2/N^2 + 5/N^3 - 15/N^4 + 52/N^5 - 203/N^6 + ……
より
N・sin(N!π/e) = π{1 - 2/N + (5 -ππ/6)/N^2 - (15-ππ)/N^3 + (52 -(9/2)ππ +(1/120)π^4)/N^4 - (203 -(113/6)ππ +(1/12)π^4)/N^5 + …… }
- 537 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 12:59:25.18 ID:QpU5MbB6.net
- a1,a2,...,an を負でない整数とする
f:R→R が任意の実数yと任意の0でない整数dに対して
Σ[i=1,n]f(y + ai・d) = 0
を満たすとき、f=0であることを示せ
- 538 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 13:04:34.50 ID:2Vi3xI0a.net
- sin x が x の整式で表せないことを示せ
- 539 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 14:19:15.96 ID:vlmQP4Sg.net
- 0でなくて無限個の0点を持つから
- 540 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 14:52:36.61 ID:6HgkcHo1.net
- >>538
表せないから sin って書いてんだろが。
- 541 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 15:24:49.80 ID:FRdXw7uP.net
- ユニークな答えをありがとう
- 542 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 15:25:23.58 ID:sIEEZvAE.net
- 有限次数では表せないが、べき級数なら。
- 543 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 17:09:42.93 ID:6HgkcHo1.net
- ln x が x の整式で表せないことを示せ
↑ ちょーかんたんだよね
- 544 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 17:12:26.34 ID:BIi1EE4n.net
- マクローリン展開なら可能ですね。
もっとも係数 (-1)k /(2k+1)! は整数ではありませんが…
- 545 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 17:49:41.28 ID:psoNaSiu.net
- >>537
環 R[x] は単項イデアル整域であるから、イデアル (Σ_i x^ai, Σ_i x^2ai, Σ_i x^3ai, …) を生成する g∈R[x] がとれる。
イデアル (g(x)) は任意の正の整数mについて、
xをx^mに移す環R[x]のR-準同型写像について閉じているので、g(x^m)はg(x)で割りきれる。
これはgの根を何乗しても再びgの根になることを意味する。
そのような根は0か1の累乗根しかあり得ない。
仮に0以外の根を持つならばgは根として1を持つことになり、g(1)=0 となるが、
Σ_i x^ai ∈ (g(x)) のxに1を代入しても0にならないため矛盾する。
したがって g は根を持っていたとしても 0 のみであり、
これはある非負整数 k が存在して g(x)=x^k であることを意味する。
ゆえに任意の実数yについて f(y)=0 が成り立つ。
- 546 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 17:51:42.91 ID:FRdXw7uP.net
- >>544
マクローリン展開は0を含む区間で微分可能な
関数に対する式であることを思い出しましょう
- 547 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 18:09:01.05 ID:7eS+P+Kn.net
- e^x > x が言えればいいんでないの?
- 548 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 18:32:12.28 ID:6HgkcHo1.net
- >>542
それって級数にした後で
それが収束することまで説明しないとだめなんじゃねーの?
- 549 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 20:06:30.19 ID:XK5r5SJ5.net
- >>545 正解
Σ[j=0,m]bj・f(y + jd) = 0 ∀y,d≠0 をみたすbjに多項式 Σ[j=0,m]bj・x^j を対応させて
イデアルになることを利用する問題でした
- 550 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 20:10:37.32 ID:BIi1EE4n.net
- 「実数全体で有界な整式は定数関数に限る」
が言えればいいんだけどな。
リュービルに訊いてみよう…
- 551 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 20:11:15.39 ID:BIi1EE4n.net
- 551蓬莱
http://www.551horai.co.jp/
- 552 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 20:11:23.06 ID:BIi1EE4n.net
- 551蓬莱
http://www.551horai.co.jp/
- 553 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 20:58:30.66 ID:6HgkcHo1.net
- オイラーの公式って
あれって公式じゃなくて虚数への指数関数の定義だよな。
だって公式っていうのは
定義から導かれる定理を数式化したものだろ?
オイラーの式はどの定義からも導かれないので公式(定理の数式化)ではない。
したがって、あれは
オイラーの等式って呼ぶべきだと思う、ぜったいそうよ ( '‘ω‘)
- 554 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 21:00:54.56 ID:6HgkcHo1.net
- e^iπ = -1
↑
単に e^it で t=πの時の値を述べているだけじゃん。
もしも、これを公式と呼ぶのであれば
f(x) = x^2 について x=3 のとき、
x^2 = 9 となる
↑ これも「正方形の公式」だと名付けるのがアリになってしまう。
- 555 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 21:11:32.41 ID:BIi1EE4n.net
- >>550
P(x) はn次の整式とする。
P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + …… + a_1 x + a_0, (a_n≠0)
n≧1 とすると
x > 2(|a_{n-1}| + … + |a_1| + |a_0|)/|a_n| かつ x>1
に対して
(1/2)|a_n| x^n > |a_{n-1} x^{n-1} + …… + a_1 x + a_0|,
よって
|P(x)| > (1/2)|a_n| x^n → ∞ (x→∞)
∴ P(x) が実数全体で有界ならば 定数関数 (n=0) に限る。
- 556 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 21:32:47.32 ID:aQ3zao0l.net
- a1,a2,...,an を負でない整数とする
f:R→R が任意の実数yと整数1≦d≦n-1に対して
Σ[i=1,n]f(y + ai・d) = 0
を満たすとき、fは周期関数であることを示せ
- 557 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 22:21:03.60 ID:VR1EFyEr.net
- x^3+x+1=0の3解をα、β、γとしf(x) = α^[x]+β^[x]+γ^[x]としてf(x+3)+f(x+1)+f(x)=0
- 558 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 22:24:28.63 ID:VR1EFyEr.net
- おっとさらにdも動かせるのか
- 559 :132人目の素数さん:2021/11/18(木) 22:30:02.97 ID:VR1EFyEr.net
- とするとf(n) = Σciαi^nとおいた時のαiは
p(x)=x^a1+x^a2+‥+x^anとおくときのすべてのdについてのp(x^d)=0の共通解でなければならない
何乗してもp(x)=0の解でなければならないから1の冪根しか許されない
- 560 :132人目の素数さん:2021/11/19(金) 00:20:42.53 ID:GztVOsob.net
- >>559
最初f(n)=Σciαi^nとおくというのはとりあえずαi固定してciを与えておくということ?nは0〜n-1で動かす?
何が仮定されてるのか掴みきれなかった
- 561 :132人目の素数さん:2021/11/19(金) 02:54:31.89 ID:h5VVFh5Y.net
- (背理法)
sin(x) が整式だったと仮定すると、その零点は代数的数である。
∴ πは代数的数である。
これは リンデマンの定理(1882)と矛盾する。(終)
かなり牛刀だ…
- 562 :132人目の素数さん:2021/11/19(金) 03:10:01.82 ID:h5VVFh5Y.net
- P(x) をn次の整式とする。
P(x)^2 + P(x + π/2)^2 は 2n次の整式である。
これが定数関数ならば、P(x)も定数関数(n=0)に限る。
- 563 :132人目の素数さん:2021/11/19(金) 09:06:34.46 ID:tUS6iqmu.net
- >>560
ちょっと不正確だった
まずxが整数の場合にしてn=3くらいの場合
a1=p,a2=q,a3=r (ただしp≧q≧r=0)とでも置いて
数列f(n)が漸化式
f(n+p)+fn+q)+f(n+r)=0
を満たすのだから方程式
x^p + y^q + x^r=0
の解α、β、γを使って
f(n)=uα^n+vβ^n+wγ^n+... (異なるp-r解の時)
または
f(n)=unα^n+vα^n+wγ^n+... (α=βの時)
または
....
とあるけどめんどくさいので最初の場合だけ考える
コレがd=2の場合の漸化式も満たすから
uα^(n+2p)+vβ^(n+2q)+γ^(n+2r)+...=0
がnについて恒等式よりα、β、γは方程式
x^(2p)+x^(2q)+x^(2r)=0
の解でなければならない
この調子でf(n)の表示に出てくるα、β...は方程式
x^(dp)+x^(dq)+x^(dr)=0
全てを満たさなければならない
しかしそれは一の冪根の時しか起こらない
重解があっても同じ議論(x^dnで括った後の議論がやや長くなるだけ)
しかも周期は高々p-rで抑えられるからするなくとも(q-r)!を周期として持つ
結局f(n+a) が全ての(a∈[0,1))で高々周期(p-r)!を持つのだからf(x)も周期関数
- 564 :132人目の素数さん:2021/11/19(金) 10:43:44.36 ID:HqLyXyRj.net
- >>563
上の問題は1≦d≦n-1だけが仮定されてる
n=3のときはd=1,2だけど、それで解が1の冪根だけと言える?
- 565 :132人目の素数さん:2021/11/19(金) 11:59:17.89 ID:UYrU1Zrc.net
- sin xがn次の整式f(x)と仮定すると2回微分した-sin xはn-2次の整式である
そしてf''(x)=-f(x)でなければならない
このことからn=0が得られるが、これは矛盾
- 566 :132人目の素数さん:2021/11/19(金) 13:02:53.42 ID:U8lD1I1E.net
- >>550の解答が王道。
あとのは、三角関数の性質を「お題」にした大喜利。
- 567 :イナ :2021/11/19(金) 13:29:53.63 ID:AuKyTKJ6.net
- 前>>500
>>521
ホールケーキの円の中心と半円側の端を通るスポンジの傾きをθ,高さを1とすると、
四分円二つの最大高さは2
半円の体積をV1とすると、
四分円二つの体積は(V1/4×2)×4=2V1
つまり三等分。
∴示された。
- 568 :イナ#103:2021/11/19(金) 13:35:26.11 ID:AuKyTKJ6.net
- 前>>567補足。
>>521
∴スポンジの角度θは0°<θ<90°なら何度でもよい。
(いちごを載せるなら生クリームにめりこませるなど落ちない工夫が必要だが)
- 569 :イナ :2021/11/19(金) 13:47:38.85 ID:AuKyTKJ6.net
- 前>>567補足。
>>521
∴スポンジの角度θは0°<θ<90°なら何度でもよい。
(いちごを載せるなら生クリームにめりこませるなど落ちない工夫が必要だが)
- 570 :イナ :2021/11/19(金) 13:55:35.67 ID:AuKyTKJ6.net
- 前>>569
数学板
面白い問題おしえてーなスレッド
568
#が全角になって変換しませんでした。
削除してください。
お願いします。
とお願いしてください。
お願いします。
- 571 :イナ :2021/11/19(金) 14:15:30.82 ID:30yk+QTv.net
- 前>>569
>>570
黙れ偽物
- 572 :132人目の素数さん:2021/11/19(金) 16:06:03.48 ID:OGa7XJPl.net
- 偽者だったのか
- 573 :132人目の素数さん:2021/11/19(金) 16:13:48.05 ID:FgcSM07K.net
- テイラー展開にケンカ売ってんのか
- 574 :132人目の素数さん:2021/11/19(金) 17:29:23.81 ID:h5VVFh5Y.net
- >>521
中央の縦線(x=0)にナイフを入れ、深さの2/3まで切る。
底から1/3の高さで 右側面からナイフを入れ、中央(x=0)まで切る。
できた半円柱を取り出す。
残ったケーキを対称に二等分する。
- 575 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 03:52:02.03 ID:ODWbQUYM.net
- >>514
作図して計測するという王道を行く
https://i.imgur.com/B6AN9NC.png
- 576 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 05:40:31.64 ID:ecvBNjJu.net
- >>521
横軸をxとする。
スポンジの深さが 1-ax だったとすると
左: ∫[-1,0] 2(1-ax)√(1-xx) dx = π/2 + 2a/3,
右: ∫[0,1] 2(1-ax)√(1-xx) dx = π/2 - 2a/3,
この比が 2:1 になるのは a = π/4 = 0.7854 のとき。
左端の深さ 1+π/4 = 1.7854
右端の深さ 1-π/4 = 0.2146
いちごは、外周に近いところを一周するように載せるとすると
外周も3等分した方がいいのか?
- 577 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 08:47:53.29 ID:ecvBNjJu.net
- >>575
(a,b,c) = (5,6,9)
O (13/8,9/2) R = 85/8,
x = 12,
(a,b,c) = (4,5,3)
O(0.67255239004416,-1.03758731674027) R = 4.84055882713771
x = 3.58885562536879
(a,b,c) = (5,6,3)
O(0.573818085970165,-2.04527234388066) R = 5.60727128955247
x = 3.39674390621436
(a,b,c) = (3,2,4)
O (-1.10298913452835,0.613994567264175) R = 3.65095110537757
x = 2.46720496707275
- 578 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 08:49:22.61 ID:ZIY/3KPe.net
- >>573
ワイの最高のボケが無視された… ( '‘ω‘)
- 579 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 09:54:05.65 ID:ecvBNjJu.net
- 大円の半径をR,
8R/(b+c) = r とおくと rの2次方程式
bc(a(a+b+c)-bc)rr + {a^3(b+c) +aa((b+c)^2+2bc) - abc(b+c) + 2bbcc}r - (aa+bc)^2 - aa(b+c)^2 = 0,
→ r
→ R = (b+c)r/8,
大円の中心を O (u,v)
u = (b-a){(a+c)(b+c)+8cR}/{8a(b+c)},
v = (c-a){(a+b)(b+c)+8bR}/{8a(b+c)},
第4円の直径をx
(x/2 - u)^2 + (x/2 - v)^2 - (x/2 - R)^2 = 0,
xx/4 + (R-u-v)x + (uu+vv-RR) = 0,
x = 2[-(R-u-v) + √(2(R-u)(R-v))],
- 580 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 11:26:32.28 ID:/SF0yLig.net
- 二次元xy平面上に長さ有限の曲線Lがある
x軸と平行で、y座標がαの直線と、Lとの共有点を「α切り口」と呼ぶ
(1) ある実数αがあって、α切り口が可算無限個である曲線Lはあるか?
(2) 非可算無限個のαに対して、α切り口が無限個である曲線Lはあるか?
(3) (1次元ルベーグ測度で)ほとんど全てのα∈Rに対して、α切り口は有限個であることを証明せよ
- 581 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 11:30:44.02 ID:/SF0yLig.net
- >>580
すみません
長さ有限の「連続曲線」という条件を加え忘れていました
- 582 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 11:36:54.19 ID:jLrFf6Hy.net
- 部分群を有限個しか持たない群は有限群といえるか?
いえるなら証明を、そうでないなら反例をあげよ。
- 583 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 12:51:04.90 ID:O0kPPiie.net
- >>582
言える
反例Gがあるとすればその任意のsub-quotientの中にはGしか反例がないものが取れる
何故ならばGが有限個しか部分群を持たないのでsub-quotientも有限集合になる
特にGの任意のG以外のsub-quotientは有限群になる
Gの単位群でない非自明部分集合の全体をXとする
単位元でないgによって生成される<g>は単位群でない非自明部分群なのでXは空集合でない
g∈Gに対してXへの作用をH→gHg^(-1)で定める
あるH∈XにおいてN_G(H)=Gとなれば、すなわちHがGの正規部分群ならH,G/Hが有限群だからGが有限群となる
任意のHについてN_G(H)が真の部分群なら仮定によりそれは有限群であるが
この時G = ∪[H∈X]N_G(H)は有限集合である
- 584 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 14:27:15.16 ID:Q9P0G4l5.net
- 無限群Gは無限個の部分群を持つ:
・位数無限の元が存在するとき
この元をaとすると, <a^k> (k=1,2,...) は異なる(無限個の)Gの部分群
・〜しないとき
どの元も有限位数なので, Gは有限生成ではない
極小生成系から a1, a2, ... を取ると, <a1>, <a2>, ... は異なる(無限個の)Gの部分群
---
というわけで, 有限群になる
- 585 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 15:16:01.91 ID:O0kPPiie.net
- >>584
極小生成系って何?
- 586 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 15:19:46.99 ID:O0kPPiie.net
- >>584
> どの元も有限位数なので, Gは有限生成ではない
コレはどうやって証明するんですか?
- 587 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 17:20:41.82 ID:vtWfBRv/.net
- >>584
同じ質問
どうやって証明するんですか?
- 588 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 20:38:00.94 ID:ecvBNjJu.net
- >>577
(a,b,c)=(4,5,3)
R = (331+84√31)/165,
(u, v) = ((179+21√31)/440, -(157+21√31)/264)
x = (124-√31)/33,
(a,b,c) = (5,6,3)
R = 3(162+55√17)/208,
(u, v) = ((74+11√17)/208, -(61+11√17)/52)
x = (63-√17)/52,
(a,b,c) = (3,2,4)
R = 3(307+105√17)/608,
(u, v) = (-(191+35√17)/304, (229+35√17)/608)
x = (51-√17)/19,
- 589 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 20:42:38.38 ID:6WC1ePoD.net
- 確か二元により生成され、単位元以外の全ての元の位数が5であるような群が
必ず有限群になるかどうかは未解決だったような
- 590 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 22:41:35.06 ID:kM5S8YlH.net
- m個の元から生成されてる自由群の元に一斉にx^n=eの関係式を課すとき群として成立するための条件として知られてるm,nの組はどれくらいあるんだろう?
例えばn=2だったらC2の直積になる気がするけどn=3とかだとどうなるんだ
- 591 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 23:01:19.24 ID:pGBO4WNJ.net
- Aをアルファベットとする任意のrelationのワードの集合Rをどんなにデタラメに与えても群<A|R>は構成されますがな
- 592 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 23:27:08.61 ID:kM5S8YlH.net
- ああ、マズいときは生成元が潰れるだけなのか
群として成立するではなく生成元が潰れないというべきだった
- 593 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 00:08:02.49 ID:Ii8KGDc/.net
- あったあった、これだ
https://en.wikipedia.org/wiki/Burnside_problem
これのB(2,5)が有限群かどうかは未解決という話ね
- 594 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 00:25:13.27 ID:3qd3I7FZ.net
- へぇ
面白いな
こんな問題あったんだ
まぁいずれにせよ有限生成、全ての元位数有限生成から有限群はでないんですな
反例もあると
まあそもそも>>582はどのみち解決してるからいいんだけど
- 595 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 01:21:12.72 ID:IfG8S6a9.net
- まさしく>>590の群は自由バーンサイド群B(m,n)と呼ばれてるものになるのか
そしてB(m,3)は必ず有限群になる
B(2,3)はF_3上のハイゼンベルク群(位数27)、B(3,3)だと位数2187の群になると…
- 596 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 07:39:23.07 ID:myOhL9Wf.net
- B(1,n) は巡回群 Z_n,位数 n,
n=2 のときは B(m,2) = (Z_2)^m, 基本アーベル群,位数 2^m,
n=3 のときはバーンサイド自身によって有限性が示された。(1902)
n=4 の場合の完全な証明はかなり遅れて1940年にサノフによって得られた。
B(2,4) は位数 2^12,
n=6 の場合はホールが1957年に証明した。
B(2,6) は位数 2^28・3^35,
(参考文献)
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984) p.115-116
W. Burnside: Quart. J. Math., 33, p.230-238 (1902)
I. N. Sanov: Leningrad State Univ. Ann., 10, p.166-170 (1940)
M. Hall: Proc. Nat. Acad. Sci., 43, p.751-753 (1957)
- 597 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 08:18:50.90 ID:3qd3I7FZ.net
- >>598
あんた日本語の本ばっかり読んでるねえ
- 598 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 08:31:05.15 ID:d+ETSJu/.net
- ん
- 599 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 17:54:02.41 ID:8HH7+Hzi.net
- a1,a2,...,an を負でない実数とする
f:R→R が任意の実数yと整数1≦d≦n-1に対して
Σ[i=1,n]f(y + ai・d) = 0
を満たすとき、fは周期関数であることを示せ
- 600 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 21:08:00.98 ID:2vivyZma.net
- >>599
めんどくさいのてn=4, a:0,3,7,12くらいで
p(x) = x^0 + x^3 + x^7 + x^12とおく
既出のように定数cを任意にとる時、p(x)の根α,β,‥と定数u,v,‥を
f(k+c) = uα^k + vβ^k+‥
を満たすように取れる
条件によりα,α^2,α^3は全てp(x)の根でなければならない
よってα^3=θ、α^7=φ、α^12=ψとおくと
θ+φ+ψ = -1
θ^2+φ^2+ψ^2 = -1
θ^3+φ^3+ψ^3 = -1
である
一方で1の原始4乗根をζ、ζ^2=ξ、ζ^3=ηとすれば
ζ+ξ+η=-1
ζ^2+ξ^2+η^2=-1
ζ^3+ξ^3+η^3=-1
であるからαはζ、ξ、ηのいずれかとなる
- 601 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 21:19:42.45 ID:8HH7+Hzi.net
- >>600
ごめん分かりにくかったかもだけど
新たな問題としてa_iたちを実数に変えた
- 602 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 22:26:44.44 ID:2vivyZma.net
- >>601
条件コレで終わり?
同じのが入ってもいいの?
- 603 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 22:29:19.57 ID:2vivyZma.net
- 同じつてのはaiね
1π,π,√3とかもあり?
- 604 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 23:29:03.39 ID:8HH7+Hzi.net
- >>602-603
遅くなって申し訳ない
条件はそれだけで同じのでも大丈夫です
- 605 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 23:47:51.03 ID:2vivyZma.net
- ブラジャー
- 606 :132人目の素数さん:2021/11/22(月) 00:22:53.53 ID:qyHFM8De.net
- 例えば
f(x)+f(x+1)+f(x+π)=0,
f(x)+f(x+2)+f(x+2π)=0
の条件だけから周期性が言えるってこと?ちょっと信じられんが
一つ目から
f(x+2π)=f(x+π)+f(x+π+1)
=f(x)+2f(x+1)+f(x+2).
二つ目から
f(x+2π)=-f(x)-f(x+2).
ゆえに
f(x)+f(x+1)+f(x+2)=0.
いけたわ…まじか
- 607 :132人目の素数さん:2021/11/22(月) 00:26:11.32 ID:qyHFM8De.net
- >>606
誤
f(x+2π)=f(x+π)+f(x+π+1)
正
f(x+2π)=-f(x+π)-f(x+π+1)
- 608 :132人目の素数さん:2021/11/22(月) 01:05:06.56 ID:qyHFM8De.net
- n個の変数x1,…,xnの1次以上n-1次以下の基本対称式で生成される
環 R[x1,…,xn] のイデアルの多項式 (x1)^n-(x2)^n が属することを示せば良さそうだな
- 609 :132人目の素数さん:2021/11/22(月) 11:42:45.27 ID:qvQPgCgs.net
- ニュートンの恒等式を使えばいける。
- 610 :132人目の素数さん:2021/11/22(月) 13:13:25.08 ID:yZFVkOxl.net
- 定理 N次元空間上の関f(x1,...,xN)が任意の点(a1,...aN)と1≦k≦Nに対し
f(a1,...,aN)
+f(a1+k,a2,...)...+f(a1,a2,...,a(N-1),aN+k)=0
を満たすとき
Σ[k=0,N]f(a1+k,a2,...,aN)=0
である
以下N次元空間の単位ベクトルeiを第i成分のみ1であるものとしE = { ei | i:1〜N }とおく
条件は格子点Pと1≦k≦Nに対し
f(P) + Σ[e∈E]f(P+ke) = 0
と書ける
また1≦k≦Nに対し
Zk = { (x1,...,xN ) | xi = 0 (∀i>k) }
Tk = { (x1,...,xN ) | xi ≧ 0 (∀i),Σxi ≦ k }
とおく
補題
1≦k≦Nに対し
Σ[v∈Tk]f(P+v) = 0
∵ )
0 = Σ[1≦i≦k, 0≦j≦k-i, v∈E, w∈Tj ]f(P+iv+j)
= k Σ[v∈Tk]f(P+v) □
定理の証明
1≦k≦Nとk≦l≦Nに対して
Σ[v∈Z(N-k+1)∩Tl]f(P+v)=0
を示せばよい
k=1の時は補題である
k<k0の時示されたとしてk=k0とする
k≦l≦Nに対して帰納法の仮定から
Σ[v∈Z(N-k+2)∩Tl]f(P+v)=0
Σ[v∈Z(N-k+2)∩T(l-1)]f(P+e(N-k+2)+v)=0
であるが辺々引けば
Σ[v∈Z(N-k+1)∩Tl]f(P+v)=0
である□
- 611 :132人目の素数さん:2021/11/23(火) 19:53:26.65 ID:LVKbIa2X.net
- ↑これは何
- 612 :132人目の素数さん:2021/11/23(火) 20:58:22.04 ID:QSnsPEhH.net
- 補題の証明の訂正
補題
h(x1,...,xN) = Σxi
とする
1≦k≦Nに対し
Σ[v∈Tk]f(P+v) = 0
∵ )
0 = Σ[w∈T(k-1),1≦i≦k-h(w) ]
(f(P+w)+Σ[e∈E]f(P+w+ie))
= kΣ[v∈Tk]f(P+v). □
>>611
>>599の解答
>>599の関数f(x)に対しan=0としてよい
N=n-1とおけば
F(p) + ΣF(p+d ei)
= f( c + Σaixi ) + Σ[i=1,n-1]f( c + Σaixi + aid )
=0
で定理の条件満たす
この時定理により
0=Σ[k=0,N]F(k)=f(c+a1k)
なのでfは周期関数
まぁ>>606のアイデア一般化してまとめただけやけど
- 613 :132人目の素数さん:2021/11/23(火) 22:07:09.55 ID:LVKbIa2X.net
- うーん、読み辛い
Fとは何?
あと、任意の点と言ったり格子点と言ったり変数の範囲が実数なのか整数なのか不明確
- 614 :132人目の素数さん:2021/11/23(火) 22:38:48.21 ID:QSnsPEhH.net
- >>613
出題のfと定理で使ったfが被ってしまったので定理の方をFに変えた
別に読まなくてもいいよ
基本>>606がやったのと同じ
そもそも>>599はaiがただの実定数で条件式は連続性もなんもないただの代数関係なので事実上a1〜anをいくつか足したり引いたりして写り合う格子上の関係式に過ぎないすなわち>>599は例えばN=2の場合
階数2の格子Z^2上の関数Fが
F(x,y) + F(x+d,y)+F(x,y+d)=0 (1≦∀d≦2)
を満たす時F(x,y)+F(x+1,y)+F(x+2)=0
を示せ
と言ってるのとほぼ同じ
>>599がやった計算は格子点が
A
BC
DEF
でF(P)を[P]と略記すれば条件より
0 = ( [A] + [B] + [C] ) + ( [B] + [D] + [E] )
+( [C] + [E] + [F] ) + ( [A] + [D] + [ F] )
= 2 ( [A] + [B] + [C] + [D] + [E] + [ F] )
となる
コレはN=2の場合たまたまそうなったわけではなく、よくよく考えると一般のNでも一辺kの“N+1面体”でもその中の“小N+1面体”を全部足し合わせれば中の各点をk回ずつ出す事になる
それが補題
N=2の場合は[A]+[B]+[C]=0なので即[D]+[E]+[F]=0になるけどN≧3の時は線分だけ残して残り全部取り去るのはいくつかステップ踏まないとダメだけどできるって主張が定理
コレもN=3,4くらいでやってみればすぐわかる
あとはまとめただけ
- 615 :132人目の素数さん:2021/11/23(火) 22:58:09.95 ID:LVKbIa2X.net
- 最初にそう書いてくれれば…
だから>>610は最初から整数格子上での話だったわけだ
- 616 :132人目の素数さん:2021/11/23(火) 23:11:42.89 ID:QSnsPEhH.net
- でもコレ中々面白かった
>>599読んで、ああコレ実は格子上の関数の話に過ぎないと気づいてノートに>>614の図書いて「なーる、コレで0になるのか」と気づいた
でN=3とN=4に拡張できるかやってみてちょうど中の点が3回ずつと4回ずつでてきたの見た時は「おおぉ」と唸ってしまった
なんか重さ調整して上手いこと足しあわせればできるやろなとは思ってたけど、最初試しにダメ元で全部重さ1で足してみたらそれだけでうまくいってなんかすごくいい気分だったな
- 617 :132人目の素数さん:2021/11/24(水) 01:21:59.04 ID:v9K5BDSI.net
- ニュートンの恒等式で普通に解けるけど、
まあ>>610の方がこの問題には特化してるか。
- 618 :132人目の素数さん:2021/11/24(水) 07:51:01.97 ID:JOGGpS/y.net
- f(x) + f(x+1) + f(x+π) = 0,
f(x+1) + f(x+2) + f(x+π+1) = 0,
f(x+π) + f(x+π+1) + f(x+2π) = 0,
と
f(x) + f(x+2) + f(x+2π) = 0,
から f(x+π), f(x+π+1), f(x+2π) の3つを消去すれば
f(x) + f(x+1) + f(x+2)=0,
階差をとれば
f(x+3) - f(x) = 0,
同様に f(x+1), f(x+π+1), f(x+2) の3つを消去すれば
f(x) + f(x+π) + f(x+2π) = 0,
階差をとれば
f(x+3π) - f(x) = 0,
- 619 :132人目の素数さん:2021/11/24(水) 15:46:34.71 ID:TdAn4rKB.net
- 2以上の自然数nに対して、
2+2^(1/2)+2^(1/3)+...+2^(1/n)
は無理数であることを示せ.
- 620 :132人目の素数さん:2021/11/24(水) 16:25:12.49 ID:GcmRiWFi.net
- >>619
LをQ(2,2^(1/2),2^(1/3),...,2^(1/n)のガロア閉包とする
1≦k≦nに対してKをQ(2^(1/k))のガロア閉包とすれば
tr[L/Q](2^(1/k))
= tr[K/Q](tr[L/K](2^(1/k)))
= tr[K/Q]([L:K]2^(1/k))
= 0
よって
tr[L/Q](2+2^(1/2)+2^(1/3)+...+2^(1/n)) = 0
であるが2+2^(1/2)+2^(1/3)+...+2^(1/n)>0により2+2^(1/2)+2^(1/3)+...+2^(1/n)は有理数ではあり得ない
- 621 :132人目の素数さん:2021/11/24(水) 16:42:25.48 ID:GcmRiWFi.net
- >>620
初項の2消し忘れた
- 622 :132人目の素数さん:2021/11/24(水) 20:18:56.79 ID:TdAn4rKB.net
- >>620
素晴らしい あっという間でしたか
- 623 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 13:49:14.17 ID:8y6tUgX7.net
- >>580
ヒントおながいします
(2)はある?ない?
- 624 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 17:42:30.53 ID:V98Lfemx.net
- >>623
(1)も(2)も「あります」
(2)のヒントはカントール集合です
- 625 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 17:44:04.29 ID:V98Lfemx.net
- (3)のヒントですが、αについて、α切り口の個数を積分すると、とある値になります
そこから証明できます
- 626 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 17:55:32.52 ID:6PomQE5H.net
- なるほど
切り口無限のaが測度>0ならその積分値は無限になるはず、でも有限だからそんな事はないか
もそっと考えてみる
- 627 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 18:01:21.07 ID:V98Lfemx.net
- >>626
仰る通りです
積分の有限性を曲線の長さの有限性に帰着させれば勝ちです
- 628 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 18:02:07.96 ID:6PomQE5H.net
- 全変動かな?
- 629 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 18:02:25.51 ID:V98Lfemx.net
- >>628
おお凄い
その通り
- 630 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 20:48:12.16 ID:IXjS2eTu.net
- 無理数の無理数乗が有理数になることはあるか?
とかどうっすか
- 631 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 20:49:42.00 ID:IXjS2eTu.net
- 簡単だけど途中がきれいで好きなんだよ
- 632 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 20:51:40.05 ID:tVWlC46j.net
- 君がブラウワーじゃないなら
2 = √2^√2^√2
- 633 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 20:58:29.90 ID:Y7ignqjK.net
- 結局√2^√2が無理数って直接は証明されてないの?
証明されてても良さそうなもんだけど
- 634 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 21:57:57.05 ID:zlRZGCE5.net
- >>633
もちろん余裕で証明済み
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%88%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%83%80%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
- 635 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 22:09:16.39 ID:lTAahHil.net
- >>630
昔阪大の入試で出た頻出問題
- 636 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 22:10:03.90 ID:Y7ignqjK.net
- >>634
おお
でもその証明の中で排中律使ってそうではあるw
どうなんだろうか
- 637 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 22:22:38.92 ID:PdJNc0GQ.net
- だから (√2)^log_2(9)=3 という明らかな例があるんだからそれを出せばいいとあれほど
- 638 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 22:50:47.73 ID:Df1V8yGV.net
- もっときれいな例がいい
- 639 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 23:23:42.49 ID:lTAahHil.net
- 十分綺麗だろ
- 640 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 23:34:50.16 ID:Rw3FvsQA.net
- log(2)9より√2の方が無理数だとわかりやすいからね
- 641 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 23:48:28.73 ID:VFbfo/E5.net
- どっもどっち
- 642 :132人目の素数さん:2021/11/26(金) 00:29:29.08 ID:tQA/LQL0.net
- しかし√2^√2の無理性は相当に難しい
log[2]9の無理性なら高校生でも理解できる
その意味では√2^log[2]9の方に分がある気もする
- 643 :132人目の素数さん:2021/11/26(金) 00:48:51.98 ID:UObL0TwW.net
- >> 無理数の無理数乗が有理数になることはあるか?
√2^√2が有理数ならこれがその例である
√2^√2が無理数なら2 = √2^√2^√2がその例である
√2^√2の無理性を証明する必要はない
- 644 :132人目の素数さん:2021/11/26(金) 06:32:02.57 ID:cvK+wBOV.net
- >>643
そゆこと
- 645 :132人目の素数さん:2021/11/26(金) 06:45:32.55 ID:EkeCVj+u.net
- >>643
文盲か
- 646 :132人目の素数さん:2021/11/26(金) 08:06:02.75 ID:4eLtzvlM.net
- オイラーの等式より
e^iπ = -1
e … きっと無理数!
iπ … ぜったい無理数!!
証明終わり!
- 647 :132人目の素数さん:2021/11/26(金) 08:20:17.46 ID:Xue5Uqdd.net
- iは虚数では、?
- 648 :132人目の素数さん:2021/11/26(金) 09:27:45.67 ID:hBafPRzS.net
- ネタだろwww
- 649 :132人目の素数さん:2021/11/26(金) 09:40:27.86 ID:4eLtzvlM.net
- 虚部が無理数だから
虚数の無理数やろがい!!
実数だったら実数って家や、ハゲ!
- 650 :132人目の素数さん:2021/11/26(金) 14:05:13.59 ID:ANLdUK9X.net
- 虚数の無理数の虚数の無理数乗が有理数になることはあるか
- 651 :132人目の素数さん:2021/11/26(金) 14:51:30.87 ID:4eLtzvlM.net
- >>650
神戸大文系おじさんですが
めっちゃ早口で長文失礼します!
これって問いとして成立しないだろ。
指数の関数のうち、基底部が虚数だと
(実数でやるような)累乗の操作が出来ないじゃん。
実証の例…
a = (i^4) とおくと
a = i^4 = -1 * -1 = +1
また b = +1とおく。
この時点で、 a = b が成立している。
つぎに、これの両辺を 3/4乗すると
a^(3/4) = (i^4)^(3/4) = i^3 = -1 * i = -i
b^(3/4) = 1^(3/4) = 1
以上より 左辺と右辺が等しいので
-i = 1 が得られ… るわけねーだろ、ハゲ!!
指数の関数の低に虚数を置くな、ハゲ!!
- 652 :132人目の素数さん:2021/11/26(金) 20:56:06.17 ID:8NpoxZH6.net
- p^4+10^4≡1 (mod 200)をみたす200以下の素数pをすべて求めよ
- 653 :132人目の素数さん:2021/11/26(金) 21:45:25.84 ID:HeQ3ZqFM.net
- p^4 ≡ 1 ( mod 8 ) iff p odd
p^4 ≡ 1 ( mod 25 ) iff p ≡ 1,7,18,24 ( mod 25 )
p = 101,151,7,107,157,43,193,149,199
- 654 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 04:01:06.69 ID:HxEDg/nu.net
- p^4 ≡ 1 (mod 16) iff p:odd
(略証)
{p-1, p+1} は共に偶数で、一方が4の倍数。
pp - 1 = (p-1)(p+1) = 8a,
pp + 1 = 2b, (b:奇数),
p^4 - 1 = 16ab,
- 655 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 04:03:31.20 ID:k0N45jtp.net
- 自然数nをいくつかの正の実数の和に分割したとき、それらの積の最大値をM(n)とする.
極限lim(n→∞)M(n)^(1/n)を求めよ.
- 656 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 04:23:46.20 ID:fPyU50HJ.net
- >>652
p^2-1 = 24m
を使って ガーってしてグワー!ってやったら
簡単に解けそう。
- 657 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 04:24:34.19 ID:fPyU50HJ.net
- >>655
神の声が聞こえた
eだ
- 658 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 04:31:41.32 ID:k0N45jtp.net
- >>657
不正解
- 659 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 05:23:11.41 ID:HxEDg/nu.net
- まづ、nをk個の正数の和に分割する。
積の最大値は AM-GM により (n/k)^k である。(全部 n/k のとき)
次に個数kを変えて
M(n)^(1/n) = (n/k)^(k/n) が最大となるkを求める。
x^(1/x) が最大となるのは x=e のとき だから
k は n/e をはさむ自然数 |k - n/e| < 1,
(1/n)log(M(n)) = (k/n)log(n/k)
≒ 1/e - (e/2nn)(k - n/e)^2 → 1/e (n→∞)
M(n)^(1.n) → e^(1/e) (n→∞)
- 660 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 06:09:45.72 ID:HxEDg/nu.net
- (補足)
|e - n/k| = (e/k)|k - n/e| < e/k → 0 (n→∞)
∴ x = n/k → e (n→∞)
- 661 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 06:43:46.71 ID:HxEDg/nu.net
- >>643
This number was used in a non-constructive proof that
an irrational number raised to an irrational power may be a rational number:
"(√p)^(√2) is either rational or irrational.
If it is rational, our statement is proved.
If it is irrational, {(√p)^(√2)}^(√2) = (√p)^2 = p, proves our statement." (Jarden, 1953)
http://oeis.org/A078333
- 662 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 08:52:14.21 ID:HxEDg/nu.net
- >>637
>>642
a,b (≧2) は互いに素な自然数とする。
log_a(b) = m/n (m,nは自然数)
と仮定すると
b = a^(m/n),
b^n = a^m,
これは互いに素であることに反する。
∴ log_a(b) は無理数。
- 663 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 09:41:03.14 ID:wltlzuKs.net
- >>662
尿瓶久しぶりw
- 664 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 13:29:03.52 ID:fPyU50HJ.net
- >>662
これって a が自然数ってところの条件は
外しちゃってもいけるかな?bだけ自然数にして。
assuming , log_e(b) を有理数
Then,
log_e(b) = ln_(b) = m/n
(b は自然数、 m,n は互いに素な自然数)
b = e^(m/n)
→ b^n = e^m
→ e^m - b^n = 0 … 式A
ここで f(x) = x^m -b^n = 0 という
有理係数の代数方程式について考える。
式Aは この方程式の解 x = e の場合に相当する。
ところが、 e は超越数であるので
この方程式の解には成り得ない、よって式Aは成立しない。
以上より bが自然数のとき、
ln_(b) は必ず無理数となる。
- 665 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 13:32:49.32 ID:HxEDg/nu.net
- >>657
その神はコロナウィルスに感染してるかも。
気をつけて…
- 666 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 13:37:51.16 ID:fPyU50HJ.net
- >>664
「e が超越数である」
っていうのは定義でもないし持ち出したら不味いかな…。
d(sinx)/dx = cos(x) くらいの軽いノリで
持ち出したけど…
- 667 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 16:43:51.01 ID:k0N45jtp.net
- >>659
>>660
素晴らしい
大正解です
- 668 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 17:04:51.93 ID:5fo6e6Cm.net
- 推しの体重が不明なのでどなたか天才様解いてください
https://i.imgur.com/CIvMnQv.jpg
- 669 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 20:48:02.52 ID:u4bxYgRP.net
- ここって何のスレだっけ?
- 670 :132人目の素数さん:2021/11/28(日) 10:44:29.66 ID:MWTbmNPN.net
- >>668
部分積分を繰り返す。
∫[0,x] t^4 exp(-t) dt
= [ - (t^4 + 4t^3 + 12t^2 + 24t + 24) exp(-t) ](t=0,x)
= 24 - (x^4 + 4x^3 + 12x^2 + 24x + 24)exp(-x)
→ 24, (x→∞)
(s-1) ζ(s) → 1 (s→1+o),
{(2√2)/9801}Σ[n=0,∞] (4n)!(1103+26390n)/{(n!)^4・396^(4n)} = 1/π,
ラマヌジャンの公式
24×1 + 10 + 44 = 78 かな?
- 671 :132人目の素数さん:2021/11/28(日) 11:02:15.83 ID:MWTbmNPN.net
- >>666
eが超越数であることはエルミートによって1873年に証明された。
(参考書)
数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社 (1983) p.85
- 672 :132人目の素数さん:2021/11/28(日) 12:09:24.96 ID:KhU70dD/.net
- >>671
サンクス。
んじゃ eが超越数であるので
「kが自然数である時、ln(k) は無理数となる」
って当たり前のように使ってもええんやな。
d sin(x) /dx = cos(x) くらいのノリで。
- 673 :132人目の素数さん:2021/11/28(日) 12:17:25.13 ID:lYD3DJcQ.net
- 論文書くつもりなら問題ないわな
しかし自分の数学力を上げたいと思うならそういう態度は大概マイナスになる
エルミートの定理の証明なんて大して難しくないものを「××に証明されてる」で終わらせる“引用病”に陥る
- 674 :132人目の素数さん:2021/11/28(日) 12:36:07.43 ID:citK4BGc.net
- 本人はものすごい得意顔なんだろうな
- 675 :132人目の素数さん:2021/11/28(日) 14:08:16.12 ID:JQv6cHoX.net
- ○ ◻︎ △に数字(自然数)を入れて正しい式にしましょう
○÷(◻︎+△) + ◻︎÷(○+△) + △÷(○+◻︎) = 4
- 676 :132人目の素数さん:2021/11/28(日) 16:12:49.69 ID:fCoU52UD.net
- ○=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
△=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
◻︎=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036
- 677 :132人目の素数さん:2021/11/29(月) 02:00:25.74 ID:v8u2LIxr.net
- >>676
だいせいかい!
- 678 :132人目の素数さん:2021/11/29(月) 03:27:07.58 ID:PpeO3mLY.net
- >>670
わーすごい!!ありがとうございます!!
- 679 :132人目の素数さん:2021/11/29(月) 16:58:22.67 ID:oOpbOEVC.net
- 今日撮った写真を、明日以降撮った写真でないことを、1週間後に証明したい。
現実的で、簡単な方法は?
- 680 :132人目の素数さん:2021/11/29(月) 17:04:27.53 ID:9hfF3Y2h.net
- 不可能
- 681 :132人目の素数さん:2021/11/29(月) 17:20:03.18 ID:61/6OifG.net
- 明日死ぬ友達と写真取る
- 682 :132人目の素数さん:2021/11/29(月) 17:21:04.50 ID:S8XPS3UW.net
- 捨て垢作ってツイッターにでも投稿しとくとか?
- 683 :132人目の素数さん:2021/11/29(月) 17:46:25.11 ID:93HAqDpr.net
- 数学の問題は?
- 684 :132人目の素数さん:2021/11/29(月) 18:39:50.13 ID:61/6OifG.net
- 今何問目?
- 685 :132人目の素数さん:2021/11/29(月) 19:20:12.32 ID:PpeO3mLY.net
- >>679
写真を撮った後に髪を染めたりして証拠を残す
- 686 :132人目の素数さん:2021/11/30(火) 10:55:57.80 ID:4VUJecAd.net
- >>681
デスノートの切れ端ください。
- 687 :132人目の素数さん:2021/11/30(火) 10:58:00.31 ID:4VUJecAd.net
- >>679
写真を現像して
それを銀行の金庫で預かってもらう。
手続きとその書類はちゃんと保存しておくこと。
で、1週間後に証拠を見せる相手と一緒に受け取りに行く。
- 688 :132人目の素数さん:2021/11/30(火) 17:15:19.95 ID:KpiI69wm.net
- 当日の日付がはいった新聞と一緒に撮影して、
ただちにそのデジタル画像をNFT化しておく。
- 689 :132人目の素数さん:2021/11/30(火) 22:47:39.16 ID:mfOUBuSX.net
- 机の上にコインが1枚だけ置かれている
正方形状に4枚コインを追加するもしくは取り去るを何度か行い最初とは別の位置にコインが1枚だけ置かれている状態にせよ
- 690 :132人目の素数さん:2021/11/30(火) 22:49:01.80 ID:mfOUBuSX.net
- ただし正方形の大きさや角度は自由で、途中コインを同じ位置にも重ねて置けるとする
- 691 :132人目の素数さん:2021/11/30(火) 23:08:42.58 ID:q/2x9HXV.net
- 000
010
000
↓
000
021
011
↓
010
122
021
こういうイメージかな?
数字はその場所にあるコインの枚数
- 692 :132人目の素数さん:2021/11/30(火) 23:42:03.94 ID:mfOUBuSX.net
- そうです
>>610から思い付いたパズルです
- 693 :132人目の素数さん:2021/12/01(水) 14:58:23.07 ID:ilJ0OrC2.net
- >>674
ドヤ顔
- 694 :132人目の素数さん:2021/12/01(水) 20:17:47.04 ID:Sk67rQA5.net
- {A, B, ..., I} = {1, 2, ..., 9}とする.
AB|C
+DE|F
--+-
GH|I
+|
という虫食い算が成り立つ時 A, B, ..., I を求めよ.
※縦方向と横方向でそれぞれ足し算の筆算が成立している.
※解は2通りある.
- 695 :132人目の素数さん:2021/12/01(水) 20:19:51.37 ID:Sk67rQA5.net
- すみません。ずれちゃいましたが酌んでくれると助かります。
□□|□
+□□|□
―――+―
□□|□
- 696 :132人目の素数さん:2021/12/01(水) 22:01:05.79 ID:Chqmntic.net
- とりあえず1個見つけた
583
146
729
- 697 :132人目の素数さん:2021/12/01(水) 22:13:37.94 ID:Chqmntic.net
- もう一つと見つけた
482
157
639
- 698 :132人目の素数さん:2021/12/01(水) 23:19:45.74 ID:ePCcRmPK.net
- >>689
無の盤面から可能な配置を考える。
>>691的な書き方を使うことにする。
011 000 010 001
011 110 101 020
000 110 010 100
左から (一番目)+(二番目)-(三番目) を実行して (四番目) を得る。
000
121
000
等の配置も縮小や回転により可能として良い。
121 000 101 020
000 000 000 000
000 121 101 020
左から (一番目)+(二番目)-(三番目) を実行して (四番目) を得る。
000
022
000
等の配置も縮小や回転により可能として良い。
1210 0121 0220 1111
左から (一番目)+(二番目)-(三番目) を実行して (四番目) を得る。
(必要であればあらかじめ周りに十分細かい
11
11
を格子状に十分に配置することにより、
0220等の特定の配置をマイナスするために一時的にコインを取り除く必要がある別の点いおいても
コインの不足が起きないようにすることが可能)
よって、初期配置の 10000 に対して 01111 を足して 11110 を引けば
00001 を得る。
- 699 :132人目の素数さん:2021/12/01(水) 23:50:39.36 ID:Chqmntic.net
- >>698
おお、戦略的な解き方ですね
正解です!
自分が用意していた答えはパズル的なもので
12枚の追加と消去で実現するものです
これも是非考えてみてください
- 700 :132人目の素数さん:2021/12/02(木) 00:28:15.97 ID:25i92e5b.net
- >>689
いくつか解を作ってみて思ったんだけど
コインの置ける所を格子点に限定した場合
初期コインの座標が(0,0)なら
最終コインの座標は(4(n+m),4(n-m))(n,m∈Z)と書けるときのみ実現可能な気がする
((2(n+m),2(n-m))が必要なことまでは示せたが…さて)
- 701 :132人目の素数さん:2021/12/02(木) 06:22:40.38 ID:YES3dZQp.net
- >>694
プログラムで総当たりして検索
[,1] [,2] [,3]
[1,] 4 8 2
[2,] 1 5 7
[3,] 6 3 9
[,1] [,2] [,3]
[1,] 5 8 3
[2,] 1 4 6
[3,] 7 2 9
※解は2通りある. を確認
- 702 :132人目の素数さん:2021/12/02(木) 06:23:55.11 ID:YES3dZQp.net
- >>694
プログラムついでに0も許すと
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 9 1
[2,] 0 5 6
[3,] 3 4 7
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 9 1
[2,] 0 6 7
[3,] 3 5 8
[,1] [,2] [,3]
[1,] 4 8 2
[2,] 1 5 7
[3,] 6 3 9
[,1] [,2] [,3]
[1,] 5 9 4
[2,] 0 2 3
[3,] 6 1 7
[,1] [,2] [,3]
[1,] 5 8 3
[2,] 1 4 6
[3,] 7 2 9
[,1] [,2] [,3]
[1,] 6 9 5
[2,] 0 2 3
[3,] 7 1 8
の6通りになった。
- 703 :132人目の素数さん:2021/12/02(木) 16:46:27.04 ID:WdQQVyoV.net
- >>693
http://meaning-dictionary.com/「したり顔」と「ドヤ顔」の違いとは?分かりや/
http://www.kotobano.jp/archives/1413
http://mayonez.jp/topic/1022362
http://usable-idioms.com/1768
http://zatugaku1128.com/sitarigao/
http://tap-biz.jp/business/business-terms/1022163
- 704 :132人目の素数さん:2021/12/02(木) 17:46:59.82 ID:z8OpeHlC.net
- S^dはd次元球面とする
S^(n+1)の部分空間XがS^nと同相であるときS^(n+1)\S^nはちょうど2つの連結成分を持つ事を示せ
- 705 :132人目の素数さん:2021/12/02(木) 18:45:09.20 ID:25i92e5b.net
- ジョルダンブラウアー?
- 706 :132人目の素数さん:2021/12/03(金) 14:17:49.17 ID:eZ5pjqYE.net
- 森重文さんが高校時代に解けなかったとかいう「大学への数学」誌上の問題について
どなたかご存じの方、その問題内容を教えていただけませんか?
「x>0を無理数として……等差数列についての問題……」らしいのですが。
(著作権の問題があるようでしたら参考文献でも教えていただければありがたいです)
- 707 :132人目の素数さん:2021/12/03(金) 14:43:24.65 ID:TqNct8Ys.net
- >>706
本人にメールして聞いたら?
- 708 :132人目の素数さん:2021/12/03(金) 15:23:12.98 ID:/rdO7joW.net
- https://i.imgur.com/yjTngsN.jpg
- 709 :132人目の素数さん:2021/12/03(金) 15:58:40.41 ID:0eBJNBtx.net
- とてもキレイないろのミカン
- 710 :132人目の素数さん:2021/12/03(金) 18:08:17.91 ID:TemBWqTk.net
- 次回からスレタイ変えようよ
「面白い数学の問題おしえて〜な」とかにしてさ
数学関係ない問題が多すぎる
いつ撮った写真か信じさせるとか山はなぜ美しいかとか意味わからん
数学板に何しにきてるんだか
- 711 :132人目の素数さん:2021/12/04(土) 17:27:40.02 ID:rw/e+05b.net
- Σ(k=1〜n) 1/(sin(x/2^k))=- sin3x/((sin2x)(sinx))をみたすxを求めよ。ただしnは自然数。
- 712 :132人目の素数さん:2021/12/04(土) 18:57:52.81 ID:mYuIku+P.net
- 分からない問題スレにもあるってことは答え用意してないパターンか
- 713 :132人目の素数さん:2021/12/05(日) 12:56:27.12 ID:b6UTZQuo.net
- 対角成分が偶数、その他の成分が奇数であるようなm次正方行列のランクがm-1以上であることを示せ。
- 714 :132人目の素数さん:2021/12/05(日) 14:18:56.15 ID:zdpyX54O.net
- mod2でそのような偶数次の行列式は≡1だから
(帰納法で対角0他1の(m+1)次の行列式は(-1)^m×m)
- 715 :132人目の素数さん:2021/12/05(日) 17:43:37.50 ID:oPJmTyyQ.net
- 任意の正の整数nに対して
(1/n)Σ[k=1,n]log[n]k>1/2
が成り立つことを示せ.
- 716 :132人目の素数さん:2021/12/05(日) 17:44:27.77 ID:oPJmTyyQ.net
- 訂正
「正の整数」を「2以上の整数」に
- 717 :132人目の素数さん:2021/12/05(日) 18:11:43.89 ID:zdpyX54O.net
- n=2もダメじゃないか
まぁ等号も許すとして
k(n-k+1)≧nをk=1〜nまで掛けて(n!)^2≧n^nかな
- 718 :132人目の素数さん:2021/12/05(日) 18:20:56.38 ID:oPJmTyyQ.net
- >>717
おっと,そうでしたね
まさにその不等式が元ネタの不等式でした
- 719 :132人目の素数さん:2021/12/05(日) 18:22:56.95 ID:L2pTa+UK.net
- Σ[k=1,n]log(k)
>∫[x=1,n]logxdx ( always holds )
=nlogn-n+1
>1/2logn
holds if (n-1/2)(logn-1) + 1/2 > 0
if n>e.
LHS = RHS = 1/2 if n=2.
- 720 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 10:28:50.55 ID:4djBTV6C.net
- (1) どんな三角形でも、3分割して組み替えることで鏡映に出来ることを示せ.
(2) 内角が全て自然数°の三角形は2分割して組み替えることで鏡映の出来ることを示せ.
(ここでn分割とは、n個の連結成分の和にすることとする)
- 721 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 13:42:55.72 ID:gDrwvFhk.net
- >>720
折線あり?
- 722 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 14:00:26.37 ID:v/sQ94rk.net
- >>720
https://o.5ch.net/1vnzn.png
- 723 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 14:04:10.85 ID:gDrwvFhk.net
- >>722
(2)できてる?
- 724 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 14:04:15.42 ID:oWROMf11.net
- どんな球でも少なくとも5分割して組み替えることで元の球が2つできることを示せ.
- 725 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 14:08:56.62 ID:gDrwvFhk.net
- 少なくとも5分割?
- 726 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 15:11:59.82 ID:4djBTV6C.net
- >>721
折れ線とはなんでしょうか
>>722
(2)は右の切れ端を左に写す時に鏡映にしているので不正解ですね
- 727 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 15:14:02.83 ID:4djBTV6C.net
- >>722
(1)については正解です 素晴らしい
こちらが用意していた解法は、内心から辺に垂線を引き、その垂線で切断して組み替える、というものでした
- 728 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 15:16:53.39 ID:4djBTV6C.net
- >>722
ごめん(1)はよく見たら不正解でした
角度の違う三角形になりませんか?
- 729 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 15:30:37.24 ID:H4jKu838.net
- >>728
合ってるのでは?
最大角から下ろした垂線の足から2辺の中点に向かって切れば二等辺三角形よっつに分かれる
真ん中の線は切らなければ切るのは2箇所
- 730 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 15:33:09.50 ID:4djBTV6C.net
- >>729
大変失礼しました
下2つの三角形は確かに二等辺になりますね
- 731 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 15:41:03.74 ID:H4jKu838.net
- >>730
(2)ヒントおながいします
- 732 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 15:58:16.63 ID:4djBTV6C.net
- >>731
イメージはこうです
https://o.5ch.net/1vo04.png
- 733 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 16:26:07.69 ID:H4jKu838.net
- 折線使うんだよな
でもそれだと条件足りなくない?
- 734 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 22:27:09.79 ID:NA/POH18.net
- 最近趣味で独学で数学の勉強を始めました。
掲示板に初書き込みします。
問題というか問題提起なんですが、
「運」というものを数学的に定義してみたくて記述方法を考えています。
結果の良し悪しは関係なく低確率であればあるほど値が高くなり、
かつ数学的に処理しやすい定義を思いついたので評価して下さい。
要約すると、運の総和は0(ゼロサムゲーム)になることと、
確率によって運の大小関係がはっきりとするような実数値(運値)を定義します。
確率X(1), X(2), X(3)……X(n)とする時
運値をそれぞれY(1), Y(2) ,Y(3)……Y(n)とする。
そしてk番目の運値Y(k)を
Y(k)=(1/k){1-kX(k)}と定義することにする。
確率の総和
Σ [k=1, n]X(k)=1
となることから運値の総和は
Σ [k=1, n]Y(k)=0・・・@
となる。
このとき、このY(k)についての偏差値、
すなわち運の偏差値は一般的な統計学と同様に
Z(k)=10{Y(k)-μ}/σ+50
で求めることにする。
このときΣ [k=1, n]Y(k)=0より
μ=0である。
したがって
σ=√{Σ [k=1, n] Y(k)^2/n}
=(1/n)√{nΣ [k=1, n] X(k)^2-1}
また10を底とし運指数を指数とした数 I(k)を定義する。
つまり
I(k)=10^Y(k)・・・A
また@を満たすので、指数法則により
Π [k=1, n] I(k)=10^{Σ [k=1, n]Y(k)}
=10^0=1
となり、運を指数表記で評価することもできる。
というものです。独学ゆえ私が単に無知なだけだったらすみません。
- 735 :132人目の素数さん:2021/12/06(月) 22:47:10.82 ID:w8H4I6fb.net
- うんち言いたいだけやろ
- 736 :132人目の素数さん:2021/12/07(火) 00:00:10.60 ID:XC2FoQ/T.net
- (√(A_n+1 −α^2)−√(A_n −α^2)= A_n
ただし、A_1 = √(α^2+β^2)
この時、A_n を求めよ。
- 737 :132人目の素数さん:2021/12/07(火) 00:44:28.77 ID:qyoBUXw1.net
- まず@がちがうんちゃうか?
- 738 :132人目の素数さん:2021/12/07(火) 01:22:16.63 ID:3X/tC+IG.net
- >>734
よく分からんけどギャンブルの数学の小ネタを教えてやろう。
例として100人を集めてコインの裏表を当てるゲームをやるとする。
表が出れば +1万円、裏が出れば-1万円。
毎回 1/2 の確率であたったりハズレたりするので
1万回ほどやれば全員が期待値である ±0円 へ近づく。
結果としては、大勝する人や大負けする人がわずかに居るが、
大抵は ±0円となる。 これは常識だろう。
ところが、途中経過での収支
(例えば500回目での勝ち負け金額) について見てみると
面白いことに偏りがあり arcsin の形になる。
つまり、収支がマイナスの者が約45人、プラスの者が約45人、
ほぼプラマイ 0 の者が約10人というように。
結果として、ゲーム大会中にずっと機嫌の良い45人とずっと機嫌の悪い45人と
普通の10人に分かれる。
繰り返すが、最終的な着地点、収支は同じだろうに…だ。
これの応用として、パチスロなどのギャンブル番組では
プレイヤーを4人以上用意する。
プレイヤーが1人だと撮影時間中にずっと不機嫌になる危険性があるため。
- 739 :132人目の素数さん:2021/12/07(火) 02:32:08.77 ID:dP1DlsZV.net
- >>734
です。申し訳ありません。数式に誤りがありました。
誤:Y(k)=(1/k){1-kX(k)} 正:Y(k)=(1/n){1-nX(k)}・・・☆
これで@を満たすよね…… Σ☆=(n/n)-(n/n)Σ [k=1, n]X(k)=0
_____________________________________
正しく書き直すと、
確率X(1), X(2), X(3)……X(n)とする時
運値をそれぞれY(1), Y(2) ,Y(3)……Y(n)とする。
そしてk番目の運値Y(k)を
Y(k)=(1/n){1-nX(k)}・・・☆と定義することにする。
確率の総和
Σ [k=1, n]X(k)=1
となることから運値の総和は
Σ [k=1, n]Y(k)=0・・・@
となる。
このとき、このY(k)についての偏差値、
すなわち運の偏差値は一般的な統計学と同様に
Z(k)=10{Y(k)-μ}/σ+50
で求めることにする。
このときΣ [k=1, n]Y(k)=0より
μ=0である。
したがって
σ=√{Σ [k=1, n] Y(k)^2/n}
=(1/n)√{nΣ [k=1, n] X(k)^2-1}
また10を底とし運値を指数とした数I(k)を定義する。
つまり
I(k)=10^Y(k)・・・A
また@を満たすので、指数法則により
Π [k=1, n] I(k)=10^{Σ [k=1, n]Y(k)}
=10^0=1
となり、運を指数表記で評価することもできる。
- 740 :132人目の素数さん:2021/12/07(火) 02:59:25.17 ID:dP1DlsZV.net
- >>738
逆正弦法則のことですね。
これも何かしらの数学的操作をすることによって
運に相当する曲線が求まりそうだと感じております。
ご指導ありがとうございます。
- 741 :132人目の素数さん:2021/12/07(火) 04:53:26.49 ID:dP1DlsZV.net
- 活用例:確率X(1)=5/10, X(2)=3/10, X(3)=2/10 のとき、
運値Y(1)=-5/30, Y(2)=1/30, Y(3)=4/30を取る。
ここで運値に対しての標準偏差は
σ=√(14)/30≒0.12472……なので、
偏差値Z(1)=10*(-5/√14)+50≒36.6369……
偏差値Z(2)=10*( 1/√14)+50≒52.6726……
偏差値Z(3)=10*( 4/√14)+50≒60.6904……
また運指数I(k)=10^Y(k)より
運指数I(1)=10^(-5/30)≒0.681292……
運指数I(2)=10^( 1/30)≒1.079775……
運指数I(3)=10^( 4/30)≒1.359356……
高確率ならば運値は低く、低確率ならば運値は高くなり、
正負のある実数値として運値は現れるので、その確率を引き当てたときの
その人の運の数値化・視覚化に役立つのではないだろうか?
- 742 :132人目の素数さん:2021/12/07(火) 13:42:46.21 ID:5AWmDZKX.net
- >>727
外心でもOK?
- 743 :132人目の素数さん:2021/12/07(火) 14:09:24.51 ID:wvLZX0OC.net
- >>732
多分こういう事だと思うんだけど
https://sagecell.sagemath.org/?z=eJyljzsOgzAMQPdIuYPFlA8FNWXlJChDEgGNiJII6NDb11CEmLp0sGzLz0-2gRYUJRbTgxKHqaFkffarwTL7WtUMDEiwGA44JZTkO46CX1YGnUsLm8TO83Lx8WxAw5BmmMBH6AyU5qaElUq4qjLyKPXmy-pfWyMsmvC-bhew3c-PzXrTmKvzx1xrSgY_bp-n8B5TZIDPli6FNLeFDa--4F9CXhF1ItnH6UA-8idh7g==&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==
でもこれだと3つの角を2aθ,2bθ,2cθ (a<b<c)として
c-b|2b,c-a|2a,b-a|2a
のどれかが成り立ってないとうまくいかないと思う
(図の例は(a,b,c=(2,3,4))
例えば(a,b,c)=(2,5,8),θ=π/30のときダメじゃない?
- 744 :132人目の素数さん:2021/12/08(水) 10:20:32.83 ID:NgQegdN7.net
- 2011年頃の東大模試だったとおもうのですが・・・
log10(2)について、10進数で表したとき小数点以下でもっともよく現れる数字は?
みたいな問題を知ってる人いないでしょうか?(あやふやでloge(2)だったかも・・・)
ご存知の人いましたら教えて頂けないでしょうか。
- 745 :132人目の素数さん:2021/12/08(水) 11:48:01.33 ID:+weaVj8Z.net
- 円周上に自由に4点ABCDをとる。四角形ABCDが円の中心を含む確率を求めよ。
- 746 :132人目の素数さん:2021/12/08(水) 12:34:16.96 ID:eCTPM8NZ.net
- >>744
正規数の問題
√2が正規数か否か解決してないやろ
- 747 :132人目の素数さん:2021/12/08(水) 12:58:29.72 ID:eCTPM8NZ.net
- >>745
原点を含む事象をAとする
中心を極とする極座標での各点の偏角をa,b,c,dとする、ただし偏角は[-π,π)をとるとする
a=0,b,c>0,d<0という事象Eを考えてP(A)=P(A|E)である
bcd座標空間においてO(0,0,0),X(π,0,0),Y(0,π,0),Z(0,0,-π)とする
Eはこの座標空間の一辺πの立方体でA∩Eは四面体OXYZの外側である
よってP(A|E)=2/3である
- 748 :132人目の素数さん:2021/12/08(水) 22:16:27.30 ID:TLf6L99e.net
- >>744
これ誰か知らんか
- 749 :132人目の素数さん:2021/12/08(水) 23:14:00.63 ID:6SQmMPWb.net
- >>748
答えてるやん?
問題がそのままその通りなら未解決問題やっての
- 750 :132人目の素数さん:2021/12/09(木) 08:14:32.32 ID:azr64e7J.net
- やっぱマルチするやつはスルーした方がいいな
- 751 :132人目の素数さん:2021/12/09(木) 17:25:06.62 ID:nwoSxie0.net
- 訂正
log[10]2の正規性は完全にオープンっぽいな
正しいとも間違ってるともわかってないっぽい
↓わかってたら書いてると思う
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E6%95%B0
もちろん受験で出るハズもない
- 752 :132人目の素数さん:2021/12/09(木) 22:04:14.00 ID:92SnPDG9.net
- まあたぶん 2^n の最高位の桁に最もよく表れる数字は?の記憶違いでしょう
- 753 :132人目の素数さん:2021/12/09(木) 22:59:54.94 ID:Dt8eD/NN.net
- >>751
ありがとう
なんか場合分けして各確率を出してたようなきがする・・・
底がeかもだけど思い出せなくて
- 754 :132人目の素数さん:2021/12/09(木) 23:05:39.24 ID:rM66UHMq.net
- >>751
とりあえず
1234567890/9999999999
は世紀数でおk?
- 755 :132人目の素数さん:2021/12/09(木) 23:13:01.90 ID:rM66UHMq.net
- ごめん、なんでもない(´・ω・`)
- 756 :132人目の素数さん:2021/12/10(金) 02:13:40.51 ID:PLxTTszX.net
- チャンパーノウン定数0の頻度が低い問題
- 757 :132人目の素数さん:2021/12/10(金) 04:19:12.51 ID:4pnrj9SZ.net
- 初めて知ったけど、この定数の連分数展開面白いね
かなり気まぐれに数字が爆発してる
https://oeis.org/A030167/a030167.txt
円周率なんかの連分数はずっと安定して見える
https://oeis.org/A001203/b001203.txt
数字が爆発する箇所は一応予想もされてるようだ
- 758 :132人目の素数さん:2021/12/10(金) 04:38:47.56 ID:4pnrj9SZ.net
- 元の10進小数で同桁数の進行部分は有理数的だから、桁数が上がるところで連分数近似の補正も大きくなるということか
- 759 :132人目の素数さん:2021/12/10(金) 07:30:32.77 ID:b9i9qEdJ.net
- >>745
偏角を一様分布乱数を発生させて100個描出してみる。
https://i.imgur.com/MzNlS4n.png
このケースでは50個が中心がABCDの内部にある。
俺は面積使ってプログラムにカウントさせたが、尿瓶おまる洗浄係とその仲間なら学問の矜持によって手作業でカウントするであろう。
100マンコやって数えてみると、
> replicate(1e6,f()) |> mean()
[1] 0.500236
予想は1/2だな。
おまけ
R言語(ver4.1.1)のコード
f=\(print=FALSE){
arg=sort(runif(4,-pi,pi))
P=exp(1i*arg)
O=0i
A=P[1]
B=P[2]
C=P[3]
D=P[4]
S2=ABC2S(A,C,B)+ABC2S(A,C,D)
S4=ABC2S(O,A,B)+ABC2S(O,B,C)+ABC2S(O,C,D)+ABC2S(O,D,A)
if(print){
source('toolmini.R)
Plot(-1,1,axes=F)
pt(O)
Cir(0i,1,col=8)
for(i in 1:4) pt(P[i],LETTERS[i])
Polygon(P[1:4])
cat(c(S2,S4,'\n'))}
S4-S2<1e-10
}
layout(1) ; f(T)
par(mfrow=c(10,10))
par(mar=c(0,0,0,0))
re=numeric()
for(i in 1:100) re[i]=f(T)
mean(re)
replicate(1e6,f()) |> mean()
- 760 :132人目の素数さん:2021/12/10(金) 07:57:22.08 ID:IM/fwNiz.net
- n以下の自然数を10進数表記したとき、先頭の数が1である確率をP(n)とする
limsup_{n→∞} P(n)
を求めよ.
- 761 :132人目の素数さん:2021/12/10(金) 09:56:01.91 ID:xvMmsLBt.net
- 先頭桁がkである事象をEkとする
P(E1)=...=P(E9),P(E1)+...+P(E9) = 1
- 762 :132人目の素数さん:2021/12/10(金) 10:01:26.19 ID:xvMmsLBt.net
- おっと訂正
n=10^m-1の時はP(E1)=1/9
n=2×10^m-1のとき
P(E1)
=P(E1|X<10^m)×P(X<10^m)+P(E1|X≧10^m)×P(X≧10^m)
=1/18+1/2
=5/9
∴収束しない
- 763 :132人目の素数さん:2021/12/10(金) 11:40:58.12 ID:IM/fwNiz.net
- >>762
上に有界な数列の「limsup」なので値は存在します
- 764 :132人目の素数さん:2021/12/10(金) 11:59:12.12 ID:xvMmsLBt.net
- ああlimsupか
5/9やな
- 765 :132人目の素数さん:2021/12/10(金) 12:37:56.49 ID:OTv/IBSS.net
- ベートーベンの法則ってやつだな
- 766 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 09:37:05.36 ID:FgVzaPki.net
- >>765
"ベートーベンの法則"や英語でググってもこのスレの765の発言しか出てこないんだがどういう法則?
- 767 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 09:38:17.66 ID:FgVzaPki.net
- ああ、ベンフォードの法則か
ボケを殺してしまったみたいで申し訳ない
- 768 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 12:10:21.70 ID:i+rxMhmx.net
- >>745
中心が四角形の辺の上にあってもよいとしてシミュレーションしても1/2になった。
1万回やって0.5005の結果だった。
解析解と乖離しているなぁ。
- 769 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 12:12:52.58 ID:uqlknJ8D.net
- >>768
アホか
条件付き確率で3/4かけ忘れてるだけやろ
誰も突っ込まないのはみんなそんな事わかりきってるから
もう終わってる問題をいつまでもいつまでもいつまでもいつまでも
ええ加減にせえや能無し
- 770 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 12:39:11.60 ID:ODnTAG3m.net
- >>768
尿瓶ジジイ発見!
- 771 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 13:49:01.34 ID:vH9d0DA9.net
- >>747
a=0,b,c>0,d<0
という設定にすると
b,c,dの偏角がすべて正の場合やすべて負の場合が排除されているので
>円周上に自由に4点ABCDをとる
という題意に反する。
a=0,b,c>0,d<0
の設定
すなわり、bは[-π,π),cは[0,π),dは[-π,0)とから乱数発生させて100個シミュレーションすると
https://i.imgur.com/9zlwAGq.png
図では62個が四角形ABCDの内部に円の中心がある。
1万回シミュレーションして
> replicate(1e4,f()) |> mean()
[1] 0.6561
>
>747のとおり、ほぼ、2/3と返ってきた。
シミュレーションと一致して気分が( ・∀・)イイ!!
- 772 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 13:50:01.38 ID:vH9d0DA9.net
- んで、>誰の心にも届かん
というのは証明はまだ終わっていないぞ。
- 773 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 13:54:38.62 ID:RDTb6OzM.net
- そういう当たり前の話を人から言われてやっと気付ける無能
- 774 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 13:57:39.40 ID:vH9d0DA9.net
- >>769
終わってない問題といえばこれ!
んで、>誰の心にも届かん
というのは証明はまだなの?
学問の矜持という道具は無力なのかよ?
あんたは、
俺の心に届かん
を
誰の心にも届かん
と一般化してんじゃないの?
一般化するなら証明がいるぞ。
証明まだぁ??
- 775 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 14:01:00.29 ID:RDTb6OzM.net
- 文章の意味すら取れてない
こんな簡単な文章すら理解できないクズ
- 776 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 14:11:22.50 ID:bd/TIts1.net
- >>774
他人のどうこう言う前にスレタイ位読めるようになれよ
- 777 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 14:18:27.82 ID:vH9d0DA9.net
- 発展問題
円周上および円内に自由に4点ABCDをとる。四角形ABCDが円の中心を含む確率を求めよ。
- 778 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 14:34:02.25 ID:vH9d0DA9.net
- >>777
凹四角形の場合はどの四角形を選ぶかで中心を含むかどうかが変わるから面倒だな。
- 779 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 16:52:51.88 ID:Qgz4k1nK.net
- 自問自答やめろ
- 780 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 16:55:00.22 ID:gPXR2bhT.net
- ベルトランのパラドックス知らんのか
- 781 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 18:07:38.15 ID:vH9d0DA9.net
- >>778
少なくとも1つの凹四角形が中心を含めばよいことにする。
まず、実験
https://i.imgur.com/6pQn1c6.png
100個中49個が中心を含んでいる。
- 782 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 18:08:41.43 ID:vH9d0DA9.net
- >>779
解析解を出せればネ申だね。
モンテカルロ解と照合したいのでよろぴく。
- 783 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 18:49:43.56 ID:vH9d0DA9.net
- >>782
100万回のシミュレーション
> replicate(1e6,f(F)) |> mean()
[1] 0.499463
0.5の予感。
- 784 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 19:27:29.58 ID:RDTb6OzM.net
- ホンマにバカ
- 785 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 19:28:15.86 ID:Y+AiguKH.net
- 自分で自分の答え出せてないじゃん、アホか?
まあアホだからこんな寝言言ってるんだろうが
- 786 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 19:58:33.05 ID:RDTb6OzM.net
- シュミなんか組むまでもない
自分でどれだけ意味ない問題出したのか気づけない時点でどうしようもない無能だが、最低でもシュミ組んで答えわかった時点でまだ自分がどれだけ意味ないこと言ってる無能か気付けない
無限に無能
- 787 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 20:59:55.50 ID:QaDRjkqC.net
- 四角形の内部にあるかの判定をどうプログラムするかが面白い。
ベクトルの外積で判定させた。
- 788 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 21:35:30.80 ID:gPXR2bhT.net
- 全ての多角形は鋭角三角形の有限直和であることを示してください
- 789 :132人目の素数さん:2021/12/11(土) 21:46:49.74 ID:6J0J+vZc.net
- >>787
だから自分で自分の答えも出せないようなクソみたいな問題出すなって言ってんだよ
引っ込んでろ無能ゴミジジイ
- 790 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 06:52:16.42 ID:A1oPnyUL.net
- >>786
理論と現実が乖離するのは治験では時折みられる。
不整脈死が増えたCAST試験はしばしば言及される。
シミュレーションできるものはシミュレーションした方が( ・∀・)イイ!!
麻酔分野ではTIVAの登場以来、3コンパートメントモデルを用いてシミュレーションした論文が多いね。
俺もフェンタニル投与のタイムミングを決めるのに使っている。
抜管して退室させたいから。
- 791 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 06:54:37.20 ID:A1oPnyUL.net
- 応用問題
円周上および円内に自由に4点をとる。4点を結んで凸四角形ができる確率を求めよ。
- 792 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 07:46:32.13 ID:E4J1RG1z.net
- お前にはこのスレ無理
- 793 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 08:04:01.58 ID:TzekThXe.net
- 「ベルトランのパラドックス知らんのか」って言われてるのに
なおも阿呆な主張を続ける謎
- 794 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 08:24:24.93 ID:A1oPnyUL.net
- 発展問題
円周を含む円の内部に順にA,B,C,Dの点を無作為に選ぶ。
A,B,C,D,Aを順に線分で結んだときに凸四角形が形成されてその内部(辺を含む)の円の中心が含まれる確率はいくつか?
- 795 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 08:27:07.84 ID:DgF67xLC.net
- >>794
アンタはもうここにいる資格ないから
隔離スレででも喚いてろ
- 796 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 08:44:47.61 ID:7coXR28z.net
- 自分で出しておいて自分で答え出せないアホが発展問題だってw
- 797 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 09:36:39.20 ID:d3kh42Yu.net
- >794(補足)
The proof of the pudding is in the eating.
100回実験してみた。
https://i.imgur.com/3B7urNS.png
凸四角形が円の中心を含んだら赤丸で表示
13個が該当した。
解析解が投稿されたら100万回の結果と照合してみよう。
- 798 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 09:39:34.74 ID:8zEcPQVh.net
- 自分で出しといて答え出せないガイジかよ
- 799 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 10:23:51.64 ID:vUxpHpez.net
- >>790
で、いつになったら板名やスレタイ読めるようになるんだ?
- 800 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 10:24:55.51 ID:vUxpHpez.net
- >>797
解析解を求める問題なら解析回用意してから出せよ。クズ
- 801 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 10:25:26.20 ID:vUxpHpez.net
- 解析回→解析解
- 802 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 11:11:47.92 ID:TJ6uW17j.net
- 複素解析、多変数関数解析、解析学の概論…
って色々な科目名をみかけたけどさ。
工学部の人の言う 「解析」 って
何をもってして解析と呼んでいるの?
例えば、高校の数学でやってきたような
微積分や二次関数は解析じゃないのか?
整数問題を解いてきたのは解析じゃないのか?
行列は線形代数Iみたいなオシャレな科目名になってるけど
あれは 「行列解析」 では無いのか?
解析ってなんだ!?
- 803 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 11:58:51.17 ID:AEzUYmp5.net
- >>802
実験して得られた解以外をそう読んでいると思う。
3人でジャンケンしてアイコになる確率1/3も解析解。
でも現実はそうならん。
- 804 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 12:18:29.53 ID:5MtW09fJ.net
- アホ尿瓶にちゃんと解ける問題出すのなんか不可能
受験問題レベルですら1人で解けないのに
コイツにできるのは小学生でも解けるような問題か手間だけかかって面白くもなんともない問題しか出せない
当たり前
面白いかどうか解けないのにわかるわけがない
でアホな計算ベタベタ貼り付けてまじめに解答用意した問題が流れていく
それ何度注意されても元々他人に迷惑がられてオレすごいと思うのが目的だから屁とも思わない
ともかく他の人の迷惑になるような事をする事が恥ずかしいという基本的な思考回路が潰れてしまってるのでほっとく以外対処しようがない
- 805 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 13:42:32.54 ID:XpvN+o8o.net
- まあ無視したところで粘着するんだけどなこいつは
どこからそのモチベ湧いて来るんだか
入院して電子機器没収されるまで続くんだろう
- 806 :イナ :2021/12/12(日) 15:00:59.89 ID:UtNj8HFU.net
- 前>>570
>>765ベートーヴェンの法則とはなんでしょう?
人生交響曲が九作書けたら死ぬってことか。
じゃあ俺は五六作でいいや。
図書館に俺の棚ができるぐらいでいい。
>>791
xy平面に原点を中心とした同心円を4つ等間隔に描き、
いちばん小さい四分円の面積を1とすると、
外にいくにつれバウムクーヘン型の領域の面積は、
3,5,7となる。
いちばん外側の円の半径RはπR^2=(1+3+5+7)×4=64
R=8/√π
面積32の円の半径rはπr^2=32より、
r=4√2/√π
頂点と重心の距離がrの正三角形の面積は、
(4√2/√π)^2(3/2)(√3/2)=(32/π)(3√3/4)=24√3/π
凸になる確率=(64-24√3/π)/64
ろくじゅうよんぶんのろくじゅうよんひくにじゅうよんるーとさんばーぱい。
- 807 :イナ :2021/12/12(日) 15:10:36.54 ID:UtNj8HFU.net
- 前>>806つづき。
>>791
凸になる確率=(8π-3√3)/8π=0.79325166421……
約79.3%
- 808 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 15:23:42.34 ID:UtNj8HFU.net
- 前>>807
>>791
円を4つの同心円で分割して約79.3%と出たけど、
円をn個の同心円で分割すると、
凸になる確率はある値に近づく可能性がある。
80%とか75%とか。
- 809 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 20:21:57.94 ID:Nd6qN5U6.net
- x, y, z を複素数とするとき以下の不等式を示せ
また等号成立の条件も求めよ
|x| + |y| + |z| + |x + y + z|
≧ |x + y| + |y + z| + |z + x|
- 810 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 20:28:09.81 ID:d3kh42Yu.net
- 乱数発生させて100個描いてみた。
https://i.imgur.com/Mj6VST4.png
この図だと70個が凸四角形
- 811 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 20:31:58.28 ID:d3kh42Yu.net
- 2500個に増やす
https://i.imgur.com/kJIRrTK.png
1757/2500=0.7028
70%強になるみたいだな。
- 812 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 20:36:55.22 ID:E4J1RG1z.net
- な、全く聞く耳持たず
せめてこれだけ怒られたら、しばらくの間くらいしおらしくしてるなら人間としての心を持ってるのかとも思るけどもうこれ
他人の気持ちを気遣うとかいう当たり前の心の回路が完全に壊れてる
- 813 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 21:42:52.17 ID:0L3HYKs2.net
- 二次元平面上に、「全ての辺が長さ1の線分で、全ての次数(頂点についている辺の個数)が4のグラフ」を描け.
- 814 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 21:44:11.12 ID:0L3HYKs2.net
- >>813
すみません、「有限グラフ」という条件を書き忘れました
- 815 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 21:54:42.55 ID:xqyX8naH.net
- 頂点100個以上にならんっけ
- 816 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 21:55:33.77 ID:xqyX8naH.net
- いや、辺が重なってもいいのか
勘違い
- 817 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 21:56:21.91 ID:3g/M39ct.net
- 答え:空集合
- 818 :132人目の素数さん:2021/12/12(日) 21:59:07.29 ID:0L3HYKs2.net
- >>815
あー知ってたか
>>816
後付け申し訳ないけど二次元上のグラフなので、辺は交わらないということでお願いします
>>817
ああああ虚空の真か
それは盲点でした
じゃあ有限グラフは空を含まないという流儀でお願いします
- 819 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 00:26:42.07 ID:/8AOWCzG.net
- 聞いたことはあるけど答えはわからん
- 820 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 02:39:32.53 ID:DlONvD1e.net
- 素数の問題です
2と3と5のかけ算を使ってしらみつぶしに素数を探して
素数が見つかったら今度は素数を加えて同じ事をする
2と3と5と7というふうにこれをやっていくとしらみつぶしとはいへ
素数がかんたんに見つかるという方法を発見しましたこれに間違いはありますか?
例
2.4.6.8.10.12.14.16.18.20.22
3.6.9.12.15.18.21.24.27.30.33
5.10.15.20.25.30.35.40.45.50.55
7.14.21.28.35.42.49.56.63.70.77
11.22.33.44.55.66.77.88.99.110.121
13.26.39.52.65.78.91.104.117.130.143
- 821 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 02:46:07.81 ID:DlONvD1e.net
- これが正しかったらイメージとしては
素数をシラミ潰しに探すプログラムが作れると思うんですが
俺はプログラムのつくり方は知りません
- 822 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 03:11:34.02 ID:DlONvD1e.net
- >>820
補足としては素数が見つかった時点で
すぐにその素数からの早見表を作っていくことです
そうじゃないと桁数が多くなると判別が難しくなるので
- 823 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 05:27:29.63 ID:4RtfXb01.net
- エラトステネスの篩かな
- 824 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 07:12:15.85 ID:slCACaED.net
- 長さ1mの金太郎飴を任意の2箇所で切って、その間の部分がもらえるとする。
もらえる金太郎飴の長さの期待値と中央値を求めよ。
- 825 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 08:39:25.47 ID:40tR0dOB.net
- 確率変数とその分布は?
- 826 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 09:21:58.74 ID:4RtfXb01.net
- [0,1]×[0,1]の一様分布での|x-y|の平均と中央値だとして
l = |x-y|の確率密度は2(1-l)dl
E(l) = ∫[0,1]2l(1-l)dl = 1/3
F(x) = P(l≦x) = 2x-x^2
F(x) = 1/2 iff x = 1-1/√2
シュミいらんぞ
他の問題流れるからな
- 827 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 13:38:06.86 ID:PbS0/WJS.net
- 半径1メートルの巨大ピザがある.
巨大ピザ上の任意の2点を結ぶ線分を直径とする円で
ピザがくり抜かれて貰える。
その円の中に巨大ピザが存在しない部分は欠損のまま貰える
https://i.imgur.com/jDgP0od.png
もらえるピザが巨大ピザの1/4以上の大きさである確率の概算値を求めよ
- 828 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 13:39:04.39 ID:PbS0/WJS.net
- 半径1メートルの巨大ピザがある.
巨大ピザ上の任意の2点を結ぶ線分を直径とする円で
ピザがくり抜かれて貰える。
その円の中に巨大ピザが存在しない部分は欠損のまま貰える
https://i.imgur.com/jDgP0od.png
もらえるピザが巨大ピザの1/4以上の大きさである確率の概算値を求めよ
- 829 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 13:47:25.10 ID:PbS0/WJS.net
- やはり、食い物の話題の方が現実的でいいな。
半径1メートルの巨大ピザがある.
巨大ピザ上の任意の3点を頂点とする三角形でピザがくり抜かれて貰える。
もらえるピザが巨大ピザの1/4以上の大きさである確率の概算値を求めよ。
- 830 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 14:09:01.16 ID:PbS0/WJS.net
- >>828
こっちの図の方がわかりやすいな。
https://i.imgur.com/CEKfvyw.png
- 831 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 16:14:30.38 ID:4RtfXb01.net
- >>813
できた
https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxVkEFrhDAUhO-C_2GOcfvcbrLQQ2EPKvRPiAdptQ2EGBMX9N_vS1wpKx7mm5n3jPkZRvhpEVgJGwjL37D0BT7zDPz4Ybl7C4EW31MQz_CEFSWCtv_GRq-84u11YkOHIs_yzOHGySKcfpeKnZnZcVvlmWc5R8n9OAzufKShSnLUwpFEx6SehDJxvaczYUd14B43e-yJF0dUB14SXg8sU8wnDOwYHfhSOKgUVZJqSQ2_KopaRdFco0hp-rPemDTYputcaSOnT5bPD4yTh4W2nF3OZ8n96LTc6aLrwv7ZyWy_kxVpEWHUxty-ehMG6tchbh4jFA_Bzmz0&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==
- 832 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 16:37:28.83 ID:+sRKVVZ/.net
- >>831
これ最小だっけ?
- 833 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 18:02:03.37 ID:PP6b/PT4.net
- >>832
さぁ?
とりあえずこれしか今んとこ思いつかん
- 834 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 18:07:27.33 ID:LuJLY1ur.net
- ちょっと気になっただけだけど
次数5ではできないんかねこれ
- 835 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 18:19:25.34 ID:FDBpt35+.net
- >>831
お見事! 大正解です素晴らしい
>>832
実はこれは最小ではなくて、これより小さい本数の
例えばこんな解があります
https://i.imgur.com/wRs0Dhb.jpg
まあこれも最小なのかは分からないけど
- 836 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 18:25:47.33 ID:FDBpt35+.net
- >>834
うーん
ごめんなさい
これについては分からないな...
- 837 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 18:36:21.65 ID:BjQc4AI8.net
- 4って数に意味はあるの?
もっと大きい数だと存在しないとか?
- 838 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 18:49:08.13 ID:FDBpt35+.net
- >>837
次数が一般の場合は全くわかりません
大きすぎると多面体定理とかで矛盾が導けそうではありますね
テキトーですが
- 839 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 21:15:43.74 ID:/8AOWCzG.net
- 辺が重なってもよければどうなるんだろ
- 840 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 21:23:33.47 ID:fFjk/qW9.net
- >>831
美しい
- 841 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 21:25:07.19 ID:yBtvMT3f.net
- それはもちろんあるよ
4-regularの解をいずれかの方向に1平行移動したやつ重ねて対応する頂点結べばいい
- 842 :132人目の素数さん:2021/12/13(月) 21:52:10.90 ID:/8AOWCzG.net
- ああなるほど
- 843 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 02:14:52.79 ID:7MZHoOW4.net
- 半径1mの巨大チョコボールがある。
これを任意の平面で二分割して大きい方が貰える。
(1) 貰えるチョコの体積の期待値と中央値を求めよ。
(2) 貰えるチョコの切断面を含む表面積の期待値と中央値を求めよ。
参考画像
https://i.imgur.com/trMXmkx.png
https://i.imgur.com/lfkbVR9.png
- 844 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 02:16:55.67 ID:7MZHoOW4.net
- 俺が出題する問題は解答不能とか言ってた椰子も食べ物を題材にすると食いつきが(・∀・)イイ!! www
- 845 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 02:27:03.77 ID:JVlZc78L.net
- 次数が6の場合は平面グラフの次数についての定理からそもそも無理か
あるとしたら次数5ってことにはなるけど
ある頂点から180゚未満の範囲に辺が五本延びている必要があって
隣と繋がれないために反対側に延びるしかない頂点の連鎖ができるから
有限性と矛盾、みたいな感じで反証できるのかしら
- 846 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 03:54:48.42 ID:5ios6KMb.net
- >>830
モンテカルロ法での計算例
https://i.imgur.com/izj08CV.png
- 847 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 04:00:45.11 ID:5ios6KMb.net
- >>826
じゃあ、シミュレーションでなくて数値積分での期待値をレスしておくよ。
> f <- function(x,y) dunif(x+y,0,1)*dunif(y,0,1)
> vf=Vectorize(f,vectorize.args = 'y')
> pdf <- function(x) integrate(function(y) vf(x,y),-1,1)$value
> pdf=Vectorize(pdf)
> integrate(\(x) abs(x)*pdf(x),-1,1)$value
[1] 0.3333292
- 848 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 08:16:03.15 ID:3WdG40V4.net
- >>845
6-regularがplanerでないのはすぐ示せるけど残念ながら5-regularかつplanerは無限に存在する
5-regular planerでググると画像とか論文とか色々出てくる
しかも全部線分になるやつとか出てくる
こんなのとか
http://faculty.capebretonu.ca/jpreen/ef/D53.gif
なので不可能である事示すのは角度だけではダメで“長さ1”まで考えないとダメやな
ちょっとどうやればいいかわからん
- 849 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 08:49:58.80 ID:7MZHoOW4.net
- >>843
大きい方が貰えるほど世の中は甘くないとして、改題してみる。
半径1mの巨大チョコボールがある。
これを平面のナイフで任意の面で切ってナイフの右側面に接した方が貰える
貰えるチョコの体積の元のチョコの3/4以上が貰える確率を求めよ。
- 850 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 08:58:26.61 ID:H+QNTuCU.net
- >>844
お前は散々バカにされて生えた草でも食ってろ
ハナからまともに相手にされてないことに気づかないのか?
- 851 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 12:39:40.50 ID:hIh5MNWc.net
- >>839
こういうやつ?
http://imepic.jp/20211214/454630
- 852 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 15:32:03.62 ID:P8QPAYmJ.net
- >>809 はどれも解かないな
- 853 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 16:48:44.79 ID:F+7G/uQ5.net
- こちらにも投下しておきます
790 132人目の素数さん[] 2021/12/14(火) 14:31:35.14 ID:F+7G/uQ5
予備校の講師が面白い問題を紹介してくれたので
和が100となるn個の自然数がある時、それらn個の数の積の最大値は?
この問題は高校数学だけの知識で論述出来ますか?できない場合どこまで書けば許容されますか?
- 854 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 17:56:35.28 ID:9fHpMzRE.net
- 分割の中に5以上のnがあるとき
n→(n-2),2
に置き換えると積は
n→(n-2)×2=2n-4
と増大するので積が最大となる分割で5以上は現れない
分割の中に4が2つ以上あるとき
4,4→2,3,3
に置き換えると積は
4×4→2×3×3
と増大するので積が最大となる分割で4は2個以上現れない
分割の中に2が3つ以上あるとき
2,2,2→3,3
に置き換えると積は
2×2×2→3×3
と増大するので最大値を与える分割で2は3つ以上現れない
分割の中に1があるとき
任意に分割の中の他の項nを選んで
n,1→n+1
に置き換えると積は
n×1→n+1
と増大するので最大値を与える分割で1は現れない
以上により積が最大となる分割では4が1個以下2が2個以下残りは3である
該当するのは
2×2 + 3×32
4×1 + 3×32
の2組だけでありそれぞれで与えられる積は共に4×3^32であるからコレが求める最大値である
- 855 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 18:09:03.42 ID:F+7G/uQ5.net
- >>854
同じような説明を講師にもされたのですが雰囲気だけの説明だったので困ってました
とてもわかりやすい説明ありがとうございました
- 856 :132人目の素数さん:2021/12/14(火) 18:32:56.78 ID:JVlZc78L.net
- >>809 解こうと思ったけど思ったより手強くて、なかなか糸口が見つけられずにいる
単純な三角不等式の組み合わせだけじゃ無理そうな雰囲気を感じる
- 857 :イナ :2021/12/14(火) 21:34:36.48 ID:S5lwFPDn.net
- 前>>808
>>853
(100/n)^nがいちばんおっきなる思う。
- 858 :イナ :2021/12/14(火) 21:47:25.36 ID:S5lwFPDn.net
- 前>>857
>>853
3^32×2^2>2^50=4^25
- 859 :イナ :2021/12/14(火) 21:55:48.37 ID:S5lwFPDn.net
- 前>>858
>>854でやってるじゃん!
おんなじだ。あってるね。
- 860 :132人目の素数さん:2021/12/15(水) 00:09:00.94 ID:AbT+U7hb.net
- >>854
これ、>>853への解答?
- 861 :132人目の素数さん:2021/12/15(水) 00:33:57.02 ID:jddDJBbl.net
- >>738
アークサインの法則ネタ
表裏の区別のある平面の包丁で体積1の球形のチョコボールを任意の平面で二分割して表に接した方のチョコがもらえる。貰えるチョコの体積の分布はどうなるか?
これを実験してみると
形状パラメータ0.5,0.5のベータ分布がそっくりの分布が得られた。
アークサインの法則が成り立つような気がする。
理由は知らん。
- 862 :132人目の素数さん:2021/12/15(水) 00:34:11.15 ID:rQnofbtf.net
- そやろ
n固定ならq =[100/n],r=100-nqとしたときのq^(n-r)×(q+1)^rだけどそれじゃ面白くもなんともないしな
n動いても大して面白くないけど
実際予備校講師の解答と同じみたいやし
- 863 :132人目の素数さん:2021/12/15(水) 07:08:34.14 ID:aRp/jSdM.net
- >>854
それは n = 33, 34 の時の解だけでは?
「和が100となるn個の自然数がある時、それらn個の数の積の最大値」ではない
- 864 :132人目の素数さん:2021/12/15(水) 07:09:23.11 ID:aRp/jSdM.net
- と思ったらすぐ上で言われてたわ
無視して
- 865 :132人目の素数さん:2021/12/15(水) 11:43:12.41 ID:Fz2xbjUh.net
- >>856
不等式の証明は意外と簡単だけど等号成立条件が難しい
- 866 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 04:30:05.47 ID:OKIb43sV.net
- >>824
発展問題
一辺の長さが1の立方体のキャラメルがある。
平面の包丁を使って任意の方向で二分割して大きい方が貰える。
貰えるキャラメル片の体積の期待値を概算せよ。
- 867 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 07:28:50.48 ID:PjTEAET0.net
- >>866
尿瓶ジジイ今から就寝かよ?
- 868 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 12:25:37.30 ID:wjnZcz/8.net
- >>809
できた
C^4の超平面P:x,y,z,wはx+y+z+w=0上の関数Fを
F(x,y,z,w) = ( |x| + |y| + |z| + |w| )
-( |x+y| + |x+z| + |x+w| + |y+z| + |y+w| + |z+w|)/2
と定める
主張
F≧0である
等号成立は
xyzw=0かまたはx,y,z,wが複素平面上原点を通る同一直線上に並び、原点で1個と3個に分けられる...(❇︎)
ときである
以下sは複素平面のCの座標関数とする
補題
実軸を除いてd(|s|-|1+s|)は異なる値をとる
さらに虚軸成分は0ではない
また実軸上ではd(|s|-|1+s|)の虚軸成分は0である
(∵)
α=arg(1+s), β=arg(s)とおく、ただし偏角は[-π,π)に値をとるとする
このとき
d(s)の実軸方向成分=cis(β)-cis(α)の実部
d(s)の虚軸方向成分=cis(β)-cis(α)の虚部
であるから主張は成り立つ□
- 869 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 12:26:20.94 ID:wjnZcz/8.net
- 主張の証明
(∵) xyzw=0のときF=0となるのは容易であるからxyzw≠0として良い
また(❇︎)のときF=0は容易であるから(❇︎)が必要条件である事のみ示せば良い
すなわちPのxyzw≠0においてF≧0であるか極小値でないかのいずれかであり、極小かつF=0となるには(❇︎)が必要である事を示せば良い
Pの(❇︎)を満たす部分をZとする
|w|が最大として(x',y',z',w') = (x/w,y/w,z/w,w/w)とおけば
F(x,y,z,w)=0⇔F(x',y',z',w')=0、
(x,y,z,w)∈Z⇔(x',y',z',w')∈Z
であるからw=1かつ|x|,|y|,|z|≦1として良い
このとき
F=|x|+|y|+|z|-|x+1|-|y+1|-|z+1|+1
である
(i)x,y,z全て実数のとき
x+y+z=-1より全て正はありえない
さらにx,y,z∈[-1,1]より負の数は最低でも2つ必要である
3つとも負の数なら
F = -x-y-z-(x+1)-(y+1)-(z+1)+1=0
であり、このとき(x,y,z,w)は常にZに入る
負の数か2つならx,y<0<zとしてよく
F=-x-y+z-(x+1)-(y+1)-(z+1)+1=2z>0
である
- 870 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 12:27:05.65 ID:wjnZcz/8.net
- (ii) x,y,zのうち実部が-1/2以下の点が2つ以上あるとき
re(x),re(y)≦-1/2として良い
このとき
F=(|x| - |x+1|) + (|y| - |1+y|) + ( |z| + 1 - |z+1|) ≧0
である
等号成立はzが0以上の実数であることが必要で
よってx+yも実数である
さらに|x|=|1+x|,|y|=|1+y|によりre(x)=re(y)=-1/2であるがこのときz=-1-x-y=0となり仮定に反するから等号が成立することはない
(iii) (i),(ii)ではなく、|x|,|y|,|z|のうち1未満であるものが2つあるとき
このとき補題によりd(|x|-|x+1|), d(|y|-|y+1|),d(|z|-|z+1|)は全て相異なる
|x|,|y|<1として良い
このとき微小なe=(a,b)を
( d(|x|-|x+1|) - d(|y|-|y+1|) )・e< 0, | x + a+bi | < 1, | y - (a+bi) |<1
と選べるからこの点でFは極小値を取り得ない
(iv) 実部が-1/2より大きい点が2点あり、その虚部が同符号でないとき
re(x),re(y)>-1/2, im(x)>0≧im(y)として良い
このときd(|x|-|x+1|)の虚部は正でありd(|y|-|y+1|) の虚部は負である
またy=1なら(x,z)=(-1,-1)となるので仮定に反するからy≠1である
よって微小なe=(0,-c)を
d(|x|-|x+1|)・e < 0, d(|y|-|y+1|) ・e > 0, | x + (-ci) | < 1, | y - (-ci) |<1
ととれるからこの点でFは極小値を取り得ない
- 871 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 12:27:35.87 ID:wjnZcz/8.net
- (v) (i)〜(iv)全てに該当しないとき
im(x)>√3/2とする
このときre(x)>-1/2であり仮定からy,zは虚部が0以上かまたは実部が-1/2以下である
特に虚部は-√3/2以上である
ここでim(y)≧0とするとim(x+y)>√3/2となりim(x+y+z)>0となりx+y+z=-1に反する
よってim(y),im(z)<0であるがre(y),re(z)≦-1/2となって(ii)に該当するから矛盾する
よって|im(x)|,|im(y)|,|im(z)|≦√3/2である
うち2つは絶対値が1だから|x|=|y|=1として良い
re(x),re(y)≧1/2とするとre(z)≧-1と合わせてre(x+y+z)≧0となり矛盾する
re(x),re(y)≦-1/2とすると(ii)に該当するので仮定に反する
re(x)≧1/2,re(y)≦-1/2とするとこのときre(z) = re(-x-y-1)≦-1/2となり(ii)に該当するので仮定に反する
以上により(v)はありえない
以上により全てのケースで主張が示された□
定理
複素数x,y,zにおいて
|x|+|y|+|z|+|x+y+z|+1≧|y+z|+|z+x|+|x+y|
である
等号成立はxyz(x+y+z)=0であるか、x/(x+y+z),y/(x+y+z),z/(x+y+z)が全て0でない実数でその中の負の数が1個か3個のときである
(∵)前主張より直ちに従う□
- 872 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 13:43:43.79 ID:OKIb43sV.net
- 問題の意味は小学生にもわかるであろう問題
球形のチョコボールと立方体のチョコキューブがあり、両者の重量は同じである。
それぞれを任意の平面で二分割して大きい方のチョコ片が貰える。
チョコボールとチョコキューブのどちらのチョコ片を貰う方が沢山もらえると期待できるか?
- 873 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 14:33:25.12 ID:yGE8X4yv.net
- もっと一般に、複素数の有限列 {a_λ}_λ∈Λ について
Σ_(L⊂Λ) (-1)^(#L) |Σ_(λ∈L)a_λ|
の符号について何か言えたりするんだろうか
あとは >>809 の主張が一般のバナッハ空間でも成り立つかどうかという拡張も考えられそう
- 874 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 16:26:11.68 ID:CantZzuY.net
- >>809
(|x| + |y| + |z| + |x + y + z|)^2 - (|x + y| + |y + z| + |z + x|)^2
= 2 {(|x^2 + xy + zx| + |yz| - |x^2 + xy + zx + yz|)
+(|y^2 + xy + yz| + |zx| - |y^2 + xy + yz + zx|)
+ (|z^2 + zx + yz| +|xy| - |z^2 + zx + yz + xy|)}
≧ 0
- 875 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 20:14:40.72 ID:/RIdFavg.net
- >>873
Hlawkaの不等式でググると出てくるけどL^1では成り立つみたい
- 876 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 21:36:33.28 ID:yGE8X4yv.net
- >>875
なるほど、確かにL^p系は成り立ってても不思議ではないな
x∈R^3 について ||x||≦1 が
x∈(8点 (0,0,±1), (0,±1,0), (±1,0,0), ±(1,1,1) の凸包)
と同値になるようにノルム ||x|| を定めると
これが >>873 の後半の反例になることがわかってしまったので、
何ででも成り立つ訳ではなさそうだけど
- 877 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 23:39:09.87 ID:kdJ4c4Yx.net
- >>874
すげw お見事
- 878 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 23:54:35.25 ID:rtbyr7Dg.net
- ググれば複素数の乗法構造使わない一発証明もあった
|x|^2+|y|^2+|z|^2+|x+y+z|^2=|x+y|^2+|y+z|^2+|z+x|^2
に注意して
(|x|+|y|+|z|+|x+y+z|-|x+y|-|y+z|-|z+x|)×(|x|+|y|+|z|+|x+y+z|)
= (|x|+|y|-|x+y|)(|z|-|x+y|+|x+y+z|)+(cyc.)≧0
まぁ等号条件はこういうのだと分からないけど
- 879 :132人目の素数さん:2021/12/16(木) 23:59:21.42 ID:rtbyr7Dg.net
- >>873
同じこと思ったけどググっても見つけれないな
1,2,3変数だけ成立で4変数以上は反例あるんかな
シンプルな不等式なのに成立理由が結局よくわからん
- 880 :132人目の素数さん:2021/12/17(金) 00:42:04.27 ID:Vqhb2lTJ.net
- 数学とか分からんけど
2桁の整数xについて
x^2+(x+1)^2
の下1桁が5で無い時必ず素数になるのはどうして
- 881 :132人目の素数さん:2021/12/17(金) 01:49:37.48 ID:8JruZ8/e.net
- 24
- 882 :132人目の素数さん:2021/12/17(金) 02:19:58.94 ID:7DDEhCVG.net
- ここは質問スレではないんだが?
- 883 :132人目の素数さん:2021/12/17(金) 03:00:26.82 ID:klYEaq07.net
- x = 10 のときからして 10^2 + 11^2 = 221 = 13 * 17 なの草
下一桁が5にならない2桁の整数は54個あってその内素数になるのがたったの29個
- 884 :132人目の素数さん:2021/12/17(金) 04:51:07.19 ID:SurtGoxm.net
- >>880
x=10で成立しない
10^2+(10+1)^2=221=13*17
- 885 :132人目の素数さん:2021/12/17(金) 04:52:05.58 ID:SurtGoxm.net
- 成立する場合
> z[isPrime(z)]
[1] 313 421 613 761 1013 1201 1301 1741 1861 2113 2381 2521
[13] 3121 3613 4513 5101 7321 8581 9661 9941 10513 12641 13613 14281
[25] 14621 15313 16381 19013 19801
成立しないな場合
> z[!isPrime(z)]
[1] 221 481 841 1513 2813 3281 3961 4141 4901 5513 5941 6161
[13] 6613 7081 7813 8321 9113 11101 11401 12013 12961 16021 17113 17861
[25] 18241
- 886 :132人目の素数さん:2021/12/17(金) 04:58:52.10 ID:SurtGoxm.net
- xの値で記述すると
> n=10:99
成立する場合
> n[sapply(n,f)]
[1] 12 14 17 19 22 24 25 29 30 32 34 35 39 42 47 50 60 65 69 70 72 79 82 84 85
[26] 87 90 97 99
> g=\(x){
+ y=x^2+(x+1)^2
+ y%%10!=5 & !isPrime(y)
+ }
成立しない場合
> n[sapply(n,g)]
[1] 10 15 20 27 37 40 44 45 49 52 54 55 57 59 62 64 67 74 75 77 80 89 92 94 95
- 887 :132人目の素数さん:2021/12/17(金) 05:00:45.75 ID:SurtGoxm.net
- >>872
三次元的には球も立方体も対称なので、どちらでも同じかと思ったけど、違うみたいだな。
- 888 :132人目の素数さん:2021/12/17(金) 08:37:00.94 ID:8SDYGyYL.net
- >>887
673 132人目の素数さん[sage] 2021/10/11(月) 13:05:51.23 ID:qOF1Ryfq
どっちの式も()を解くように計算すると2.5x+10になるから答えが一緒なのね
>>672 俺の年はおっさんだよ。
(馬の年齢−4歳)×2.5+20歳が馬齢の人間年齢換算になると調べて質問した。
馬は4歳で肉体が完成、馬齢4歳で人間年齢20歳になる。その後は1年で2.5歳ずつ年取るからこういう式になるのかなと
681 132人目の素数さん[sage] 2021/10/18(月) 08:42:58.43 ID:RIpG+M8m
>>673
馬が産まれた時に既に10歳というのは補正が必要そう。
682 132人目の素数さん[sage] 2021/10/22(金) 09:30:42.73 ID:7Vn+WHAB
>>681
https://i.imgur.com/Dc1YsbD.png
おい、鹿の年齢はどうした?
お前には馬と鹿がお似合いだって言っただろうが
- 889 :イナ :2021/12/17(金) 23:23:05.34 ID:4MaIVNCI.net
- 前>>859
>>872
5種類の切り方で概算すると、
立方体 (1+0.75+0.5+0.75+1)/5=0.8
球 {1+(1-v)+0.5+(1-v)+1}=4.5-2v
∵半径(3/4πの三乗根)の球の中心から(3/4πの三乗根)の1/2の点を水平に切った欠球の体積vは、
v=π∫[t=0→3/4πの三乗根の1/2]{1-(1-t^2)}dt
=π∫[t=0→3/4πの三乗根の1/2](2t-t^2)dt
=π[t^2-t^3/3](t=3/4πの三乗根の1/2)
=π(3/4π)(1/t-1/3)(t=3/4πの三乗根の1/2)
=(3-t)/4t(t=3/4πの三乗根の1/2)
球-立方体=4.5-2v-0.8
=3.7-2v
=3.7-(3-t)/2t(t=3/4πの三乗根の1/2)
これが正なら球が得。
- 890 :イナ :2021/12/17(金) 23:43:36.59 ID:4MaIVNCI.net
- 前>>889
>>872
3/4πの三乗根は(3/4π)^(1/3)=0.62035049089……
t=0.31017524545……
球-立方体=3.7-(3-t)/2t
=3.7-3/2t+0.5
=4.2-3/0.62035049089……
<4.2-3/0.7=(2.94-3)/0.7<0
∴立方体のほうが期待できる。
- 891 :イナ :2021/12/17(金) 23:50:30.94 ID:4MaIVNCI.net
- 前>>890
- 892 :イナ :2021/12/17(金) 23:55:22.02 ID:4MaIVNCI.net
- 前>>890確認。
きのこの山とたけのこの里ではどっちがチョコレートが多くて得か? という問題と似ている。
答えはきのこの山。凹凸が多いほうだ。
すなわち球より立方体であってる。
- 893 :132人目の素数さん:2021/12/18(土) 05:57:41.60 ID:18bnryMR.net
- >>892
大きい方が貰えるという設定がミソだな。
チョコの微笑片を包丁でどちらが削り取りやすいかと考えると
球なら表面近くを削ればどこでも微笑片がとれるけど、立方体だと頂点近傍でないと微笑片はとりにくい。
大きい方が貰えるのだから、微小片がとれやすい球を選ぶ方が沢山のチョコが貰えると期待できる。
これを定量的に計算できる人は凄いと思う。俺はモンテカルロ解しか持ち合わせていない。
- 894 :132人目の素数さん:2021/12/18(土) 05:58:53.56 ID:18bnryMR.net
- こういう問題設定にすると、球でも立方体でも同じ。
球形のチョコボールと立方体のチョコキューブがあり両者の重量は同じである。
表裏が区別できる平面の包丁を使って任意の方向で二分割して表側に接したチョコ片が貰える。
チョコボールとチョコキューブのどちらのチョコ片を貰う方が沢山もらえると期待できるか?"
- 895 :132人目の素数さん:2021/12/18(土) 09:04:52.22 ID:qethEj0o.net
- しかし貧乏臭い問題だな
尿瓶ジジイにはお似合いだねw
- 896 :132人目の素数さん:2021/12/18(土) 09:32:10.32 ID:DDIBIULP.net
- >>894(補足)
PC上で実験してみると、
平均値も中央値も同じだけど、球形のチョコボールの方がギャンブラー向き。
https://i.imgur.com/tcoJHjS.png
- 897 :132人目の素数さん:2021/12/18(土) 09:39:50.28 ID:6Dyu40i4.net
- >>896おい、途中でぶん投げるなよ穀潰しジジイ
673 132人目の素数さん[sage] 2021/10/11(月) 13:05:51.23 ID:qOF1Ryfq
どっちの式も()を解くように計算すると2.5x+10になるから答えが一緒なのね
>>672 俺の年はおっさんだよ。
(馬の年齢−4歳)×2.5+20歳が馬齢の人間年齢換算になると調べて質問した。
馬は4歳で肉体が完成、馬齢4歳で人間年齢20歳になる。その後は1年で2.5歳ずつ年取るからこういう式になるのかなと
681 132人目の素数さん[sage] 2021/10/18(月) 08:42:58.43 ID:RIpG+M8m
>>673
馬が産まれた時に既に10歳というのは補正が必要そう。
682 132人目の素数さん[sage] 2021/10/22(金) 09:30:42.73 ID:7Vn+WHAB
>>681
https://i.imgur.com/Dc1YsbD.png
鹿の年齢はどうした?
お前には馬と鹿がお似合いだって言っただろうが
- 898 :132人目の素数さん:2021/12/18(土) 12:11:23.32 ID:XgqMiYo4.net
- 問題として成立してない
確率論の基礎を何も分かってない
- 899 :132人目の素数さん:2021/12/18(土) 12:11:50.94 ID:XgqMiYo4.net
- ベルトランのパラドックス知らんのか
- 900 :132人目の素数さん:2021/12/18(土) 19:19:51.09 ID:gdRbxM5m.net
- 解が一意じゃないから解けないって散々言われてんのにね
意味不明
- 901 :132人目の素数さん:2021/12/18(土) 21:55:22.04 ID:VGdPFeRH.net
- >>873
これ前半も要素4つ以上で反例あったわ
a=1, b=1, c=1, d=-2 とおいたら
|a| + |b| + |c| + |d| + |a+b+c| + |b+c+d| + |c+d+a| + |d+a+b| = 8,
|a+b| + |a+c| + |a+d| + |b+c| + |b+d| + |c+d| + |a+b+c+d| = 10
だから同じような不等式が成り立たない
>>809 がどうして成り立つのかいよいよ謎めいてきたな…
- 902 :132人目の素数さん:2021/12/18(土) 23:13:14.67 ID:FR2FPKpk.net
- >>901
なんか計算変じゃないか
- 903 :132人目の素数さん:2021/12/18(土) 23:14:32.42 ID:FR2FPKpk.net
- いや、合ってたすまんw
- 904 :132人目の素数さん:2021/12/18(土) 23:38:00.73 ID:GWQ/aW7A.net
- 暇つぶしに
lim[n→∞]∫[0,1]√(1+n^2x^n)dx
模試の問題らしいので受験数学縛りで
- 905 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 00:53:06.08 ID:/t623hEG.net
- >>901
ググると出てくると思うけど一般化がそもそも違う
- 906 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 05:26:07.23 ID:HiQZNjYX.net
- >>904
n^2x^n って n^(2 * (x^n)) のこと?
- 907 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 07:57:53.52 ID:fuQPdDRd.net
- 図形の問題。
長さ1の正方形の額縁がある。
この中に 多角形である N角形 を置いて回転させたい。
今、N角形のうち、以下を満たすものを最大回転可能N角形と呼ぶ。
・最も長い対角線が1以下である
・回転可能な大きさであり、かつ、その面積は他のどのようなN角形よりも大きい。
この時、最大回転N角形を求めるとそれは"ユニークな正N角形"の事だろう…
と直感的に思われるが実はそうではない。
「Nの値によっては
最大回転N角形が正N角形と同一ではない場合が起こり得る」
Q.1. これが起こるもっとも小さい自然数Nはいくらか?
Q.2. その時の最大回転N角形はどのような形状か?
それぞれの角度N個、 および 、最長と最短の対角線の長さ2つを答えよ。
- 908 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 08:41:42.98 ID:84ev5+Ep.net
- >>906
いえ、n^2 * x^n です
- 909 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 09:20:34.65 ID:84ev5+Ep.net
- N=3のとき一辺1の正三角形
ここまでできた
- 910 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 09:24:15.25 ID:P+C5K3Ef.net
- 降水確率というときに何をもって同様に確からしい根元事象として設定しているのかはよくわからんが、予報士の確信の度合いを示す指標であることはすぐにわかる。
確率は人の心の中にある。
他の例、
安倍晋三が仮病である確率
- 911 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 09:24:53.98 ID:84ev5+Ep.net
- N=4のとき対角線が直交しててどちらも長さ1のやつが最大回転可能
そういうのはいっぱいあるからN=4が最小値やな
- 912 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 09:42:12.92 ID:fuQPdDRd.net
- >>909
そういう正三角形や正方形は
「正N角形 = 最大回転可能多角形 」 になっちゃうから
ダメなんだよなぁ。
回転可能で面積を最大にする形状、
それが「正N角形にならない」 のはどういう場合で、それは何角形か?
- 913 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 09:52:13.77 ID:84ev5+Ep.net
- >>912
問題文そう読めんけど
まぁいいんだけど
- 914 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 09:55:02.46 ID:84ev5+Ep.net
- >>912の文章でもダメやろ
くだけた文章にするのはいいけど最低限違う意味にとれてしまう文章はあかんやろ
- 915 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:07:54.11 ID:fuQPdDRd.net
- >>913 >>914
ごめんなさい。
とにかく、回転可能な多角形で
なるべく面積を大きくするような形状を求めて…
それが正多角形ではないような奴
が登場するからそれを見つけてください。
よろしくお願いします… ぺこり m(_ _)m
- 916 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:11:43.63 ID:P+C5K3Ef.net
- 根元事象という仮想の一様分布モデルで確率計算するのだから、一意に定まるかどうかはどういうモデルを使うかによるので自分で設定すれば( ・∀・)イイ!!
例
1kgの巨大チョコボールがある。
図のように小さな粒からできており、この粒を点とみなして無作為に選んだ3点を結ぶ平面で巨大チョコボールを分割して大きいほうがもらえる。
もらえるチョコの重さの期待値を概算せよ。
https://i.imgur.com/klkzLe7.png
- 917 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:14:05.57 ID:5kl1h8NU.net
- >>915
まぁ謝んなくてもいいけどまだ文章ダメやろ
N=4のとき対角線が長さ1で直交してる場合、回転可能で面積最大、正方形でないと全て条件満たしてるんだから
「回転可能なN角形で面積最大のものが“全て”正N角形でない」
でしょ?
N=4の場合回転可能で面積最大である必要十分条件が対角線の長さ1で直交してるだからその中に正方形が入るのでアウト
って意味だよね?
- 918 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:20:03.34 ID:fuQPdDRd.net
- >>917
ん? 正方形じゃん。
四角形で…対角線の長さが1で…直行している…
そういう四角形って、それはまさにユニークな正方形 1つ だろ。
N=4 の時の解は ユニークな正方形1つ だよ。
(対角線は 1、 1辺が √2/2 の)
- 919 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:20:11.25 ID:TW1kxhZc.net
- >>910
ただのガイジ
- 920 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:22:34.34 ID:Oo2a+Dml.net
- >>915はつまり、Nによっては回転可能・面積最大の正N角形より
面積が真に大きい回転可能N角形が存在するということ?
>>911は正方形と面積が同じだから該当しないと。
- 921 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:23:31.66 ID:fuQPdDRd.net
- 条件にあるのは、 もっとも長い対角線の長さが1以下 だぞ。
「長さ1の対角線2本が 直行する四角形」って
それ、正方形じゃん。
回転可能N角形が…
正N角形にならないようなNを探せ って問題だよ。
- 922 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:26:10.91 ID:5kl1h8NU.net
- >>921
イヤだって例えば
(1/3,0),(-2/3,0),(0,1/3),(0,2/3)
の凸包は
対角線の長1、直交、面積1/2で最大
だけど正方形じゃないやん?
- 923 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:26:30.98 ID:GTFgVJd4.net
- >>921
頭の検査してこい
- 924 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:28:07.19 ID:Oo2a+Dml.net
- >>918
この>>911の図形は、対角線がそれぞれの中点で
交差してない四角形を想定してるんだと思う。
- 925 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:29:43.30 ID:5kl1h8NU.net
- >>917
あ、これちょっと条件緩すぎるな
直交してる交点がはじに寄りすぎると回転できない
でもピッタリ中点で直交しなくてもややどちらかにずれるだけなら回転可能だから少なくとも
面積最大、回転可能、正方形でない
ものが存在してる
- 926 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:31:24.25 ID:fuQPdDRd.net
- >>920
「Nによっては回転可能・面積最大の正N角形より
面積が真に大きい回転可能N角形が存在する」
Yes です!
直感的に 「正」という字にこだわってしまうのが落とし穴なんです。
N角形をいろいろと考えると
ついつい、正N角形が答えだと思ってしまいがち。
直感的には信じられないかもしれないけど
「最大回転可能N角形 が 正N角形の形状 になっていない」
ものが存在するんスよ、あるNの値において。
(Nが3や4の時は明らかにそんなものは存在しないですよね)
「上下・左右に対称な正N角形」 が答えになりそうだと思いがち。
しかし、それはどのN多角形にも適用されるわけじゃないんです、マジで。
- 927 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:36:52.21 ID:fuQPdDRd.net
- >>922
それ、矢じりのような形になるよね。
- 928 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 10:42:23.91 ID:5kl1h8NU.net
- >>927
イヤ両方ずらしてるから等脚台形
N=4の場合でも正方形でない回転可能な正方形でない形は山ほどある
- 929 :907:2021/12/19(日) 11:24:03.56 ID:fuQPdDRd.net
- >>907 の回答を
ちゃんと用意したから
正解がなければ
夕方には ここに貼るわ。
- 930 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 11:27:26.91 ID:fuQPdDRd.net
- >>928
それだと面積が 1/2 より小さくなるだろ。
最大な回転可能N角形 を求めるんだぞ?
でもって それが 正N角形の相似形になっていないようなもの。
N=4 だと正方形だってば。
- 931 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 11:43:58.11 ID:5kl1h8NU.net
- >>930
ならん
対角線が直交してて長さ1なら面積1/2
- 932 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 11:55:01.24 ID:fuQPdDRd.net
- >>931
それ正方形じゃん。
- 933 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 11:58:36.75 ID:fuQPdDRd.net
- 長さ1の対角線2本を直行させて作る四角形って
それ 1辺√2/2 の正方形 じゃん。
ユニークに定まるじゃん。
- 934 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 12:01:40.78 ID:5kl1h8NU.net
- >>933
座標まで書いてるやん?>>922
正方形なってないやん?
- 935 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 12:07:34.62 ID:5kl1h8NU.net
- >>933
いわゆる多角形だからいわゆる"width"の最大値は辺、対角線の最大値に等しい
>>922の等脚台形は対角線は共に1、辺の長さは√2/3=0.4714、√8/3=0.9428、√5/3=0.7453なのでwidth=1
なので回転可能
面積=1/2×1×1×sin(π/2)=1/2
- 936 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 12:09:52.49 ID:5kl1h8NU.net
- おっと>>922の座標最後の点は(0,-2/3)ね
- 937 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 13:32:31.98 ID:NPfRQQp1.net
- >>881 訂正
https://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5Bisprime%282x%5E2%2B2x%2B1%29+and+mod%282x%5E2%2B2x%2B1%2C+5%29%21%3D0%2C+%7Bx%2C10%2C99%7D%5D&lang=ja
- 938 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 13:39:06.45 ID:fuQPdDRd.net
- >>935
そのとおりだわ、ごめん。
四角形は台形を変化させるだけだから
解が無数に存在するわ。
「そのN角形のうち、 「正」N角形が解と成り得ない無いもの
が表れるもっとも小さいNの値」 を求めよ。
って言わないといけんかった。
- 939 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 13:41:05.96 ID:fuQPdDRd.net
- そもそも、四角形の枠の中を回転させるんだから
N=4 の時は 正四角形も含めて無数に解が存在するのは
よく考えたら当たり前だな。
- 940 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 13:44:25.16 ID:84ev5+Ep.net
- >>938
いいってことよ
気にすんな
- 941 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 23:11:10.20 ID:PUT03yh2.net
- >>904
コレ受験縛りだと面白くないかな
受験縛りなしで
しかしそれだと収束定理うまく使うと4,5行でかける
でもそのままズバリ積分とlimは交換できないんだけど
- 942 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 23:56:19.30 ID:o/dDflpC.net
- 受験縛りってガバガバでいいなら弧長積分だと思って極限はカクッとした折れ線の長さで2ですみたいな感じじゃないの
- 943 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 00:17:38.77 ID:8Ya8L/ki.net
- それなら元のグラフ2x^(n/2)だから横1縦2で長さ3?
- 944 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 00:21:45.31 ID:8Ya8L/ki.net
- あ、正確には2n/(n+2)x^((n+2)/2)か
- 945 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 00:25:44.12 ID:cWv7dGHL.net
- 適当に答えちゃったけど
>横1縦2で長さ3
だね
- 946 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 00:40:25.57 ID:/He8Kipe.net
- 実際の模試では誘導があってまずこの積分計算を別の積分計算に還元します
元の積分はnに関して一様に可積分でも単調収束でもないので評価が難しい
そこで一様可積分な別の積分計算に還元します
すると受験縛りがなければlimと積分交換して終わりです
受験縛りだとハサミウチ
- 947 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 01:24:32.16 ID:FpwH25e2.net
- 多角形のやつはこれか
https://youtu.be/1kYGbMK1oA4
- 948 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 08:18:14.39 ID:6ADfbm/C.net
- >>916
割面と球の中心との距離が一様分布するように設定すると、分布が変わるなぁ。
- 949 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 08:21:04.50 ID:6ADfbm/C.net
- 雪が溶けたら何になるか
(1)水になる
(2)春になる
どちらも正しい。
キャンディーズの歌だと 川になる が答。
転落事故が起きた
(1)不注意が原因
(2)防護柵がなかったのが原因
(3)万有引力が原因
どの主張にも根拠はある。
政治資金規正法は
規制でなくて、規正としているのも
増やすのが正しいのか、減らすのが正しいのか どちらにも言い分があるから。
- 950 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 08:26:03.54 ID:aTVADeRS.net
- お前数学板でバカじゃねぇの
- 951 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 08:26:49.89 ID:6ADfbm/C.net
- 次の総理が女性である確率を求めよ?
男か女のどちらかだから、1/2
日本では過去に女性が首相になったことはないから0
男女比は日本の総人口で計算すべき
総人口でなくて有権者数の男女比で計算すべき
有権者でなく被選挙権のある人数の男女比で計算すべき
衆議院・参議院で年齢が異なるのでそれも勘案すべき
参議院議員から総理誕生は例がないから衆議院議員の被選挙権人数だけでいい
国会議員の男女比で計算すべき
現職議員が次期総理を選ぶ国会で議員をやっているとは限らないから現職議員の男女比で計算するはおかしい
一意には定まらない。
∵ 確率は人の心の中にある。
ユネスコ憲章みたいだな。
- 952 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 08:30:44.50 ID:aTVADeRS.net
- ここは面白い問題のスレだ
面白くないガイジはひっこんでろ
- 953 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 19:46:09.74 ID:GvvJLFbq.net
- >>904
I = ∫[0,1]√(1+n^2x^n)dx、J = ∫[0,1]1/√(1+n^2x^n)dxとおいて
I = [x√(1+n^2x^n)] - ∫n^3x^n/(2√(1+n^2x^n))dx
. = √(1+n^2)-(n/2)(I - J)
∴ I = ( nJ + 2√( n^2 + 1 ) )/( n + 2 )
(0,1)において0≦1/√(1+n^2x^n)≦1より一様可積分であり1/√(1+n^2x^n)は1に各点収束するからlim J = 1
∴ lim I = lim ( nJ + 2√( n^2 + 1 ) )/( n + 2 ) = 3
- 954 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 22:06:29.80 ID:j72vxFD3.net
- 「どちらかの一辺が自然数の長方形」達の非交和で長方形を作ったとき、その長方形も、どちらかの一辺が自然数であることを証明せよ.
- 955 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 22:13:23.24 ID:j72vxFD3.net
- この問題、解法を見ておったまげました
- 956 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 23:19:59.75 ID:8Ya8L/ki.net
- 天書の証明に載ってるやつか
- 957 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 23:35:16.35 ID:GvvJLFbq.net
- >>954がおったまげまたのではない泥臭いやつ
分割の辺と頂点の作るグラフを考える
例えば
┏━┳┓
┣┳┻┫
┗┻━┛
なら頂点が10個、辺が横向きが7本、縦向きが6本の計13本からなるグラフである
各辺にその長さ13個が指定されるわけだけど、それが各面について縦横2つの方程式が導かれる
例なら8個の方程式となる
この方程式の解で各面の縦か横のいずれかは有理数だが全体の縦、横は共に無理数の解があるとして矛盾を導く
解の正の実数のはるQベクトル空間をVとする
dimV=1ならよい
dimV≧2とする
Vの基底をv1=1,v2,...,vnとして各vk(k≧2)に対して十分近い有理数wkを選んでw1=1,w2=v2としてviをwiにマップするQ準同型をとればdimΣQwi=2だから最初からdimV=2としてよい
同じ手法でv2は超越数としてよい
このとき全長方形の縦横はV\Qの元だから面積はVの元ではない
しかし各小長方形の面積は仮定よりVの元である
よって矛盾を生じた□
この証明引っ提げて解答読んでびっくらこいたな
- 958 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 23:43:29.00 ID:GvvJLFbq.net
- 面積のくだりちょっとおかしいな
エスパーして読んでちょ
- 959 :132人目の素数さん:2021/12/21(火) 00:01:14.85 ID:h3asEwSt.net
- >>904
実数a,b≧0に対して |√a-√b|≦√(a+b)≦√a+√b が成り立つことを利用して
∫[0,1]|1-nx^(n/2)|dx ≦ ∫[0,1]√(1+n^2x^n)dx ≦ ∫[0,1]1+nx^(n/2)dx
の挟み撃ちでいけそうだな
左辺に lim(n→∞) n^(-2/n) が出現するから高校範囲ではややめんどいけど
- 960 :132人目の素数さん:2021/12/21(火) 00:12:40.94 ID:8B59gmDB.net
- 部分積分使わずに受験縛りでやる手もあるのはある
上からはそれでいける
下からが中々いいのが見つからない
できるのはできる
- 961 :132人目の素数さん:2021/12/21(火) 01:28:09.90 ID:/fOMOInE.net
- >>956
ご存知でしたか
>>957
おーなるほど
代数的にも解けるのか 面白い
- 962 :132人目の素数さん:2021/12/21(火) 01:36:01.39 ID:/fOMOInE.net
- ということで皆さん知っていたかもしれませんが>>954のおったまげた解法です
{R_k}_k を条件を満たす分割とする
R=[a,b]×[c,d]=∪_k [a_k,b_k]×[c_k,d_k]=∪_k R_k
とする
∫_α^β e^(2πix)dx = 0 ⇔ α-β∈Z に注意すれば、
(∫_a^b e^(2πix) dx)* (∫_c^d e^(2πiy) dy)
=∫_R e^(2πi(x+y)) dxdy
=Σ_k ∫_(R_k) e^(2πi(x+y)) dxdy
= Σ_k (∫_(a_k)^(b_k) e^(2πix) dx)* (∫_(c_k)^(d_k) e^(2πiy) dy)
=0
より、
∫_a^b e^(2πix) dx = 0
or
∫_c^d e^(2πix) dx = 0
となり、a-b∈Z or c-d∈Z
- 963 :132人目の素数さん:2021/12/21(火) 04:26:49.99 ID:yatk9tP0.net
- >>962の焼き直しに過ぎないが、積分を経由しない書き方も可能。
Gはアーベル群とする。f:R^2 → G は写像とする。長方形 [a,b]×[c,d]⊂R^2 に対して、
f([a,b]×[c,d]):= f(a,c)−f(a,d)−f(b,c)+f(b,d)
と定義すると、分割
a=x_1<x_2<…<x_n=b,
c=y_1<y_2<…<y_m=d
に対して
f([a,b]×[c,d])=Σ[i=1〜n−1, j=1〜m−1] f([x_i, x_{i+1}]×[y_j, y_{j+1}])
となることが分かる(右辺を地道に計算すると左辺になる)。
このことから、長方形 I⊂R^2 が長方形の非交和 I=∪[i=1〜n] I_i
になるとき、f(I)=Σ[i=1〜n] f(I_i) となることが示せる。
よって、長方形 I⊂R^2 の少なくとも片方の辺が整数のとき、かつそのときのみ
f(I)=o となるような f;R^2 → G とアーベル群Gが作れたなら、>>954は直ちに従う。
そして、G=(複素数全体), f(a,b):= e^{2πi(a+b)} と置けばよい。
- 964 :132人目の素数さん:2021/12/21(火) 07:29:56.10 ID:/fOMOInE.net
- >>963
おーありがとうございます
なるほど確かに∫_R e^(2πi(x+y))dxdyの欲しい性質のみ抽象的に取り出せばおkですね
この手法が適応出来る安直な一般化として「直方体」とかの多次元でも使えるのがあると思いますが
なんか他に応用できないかな
- 965 :132人目の素数さん:2021/12/21(火) 14:38:14.12 ID:P/a/5Sul.net
- ∫_R e^(2π√(-1) (x+y)) dxdyってようするにχを指示関数として、χ_Rをフーリエ逆変換して(1,1)を代入したものだよね
だから(1,1)代入する前の
F(s,t)=∫_R e^(2π√(-1) (sx+ty)) dxdy
って形の方がRの情報が失われずに色々出来そうではある
- 966 :132人目の素数さん:2021/12/21(火) 16:49:29.44 ID:/fOMOInE.net
- >>965
なるほどその見方は確かに熱いですね
それならプランシュレルの定理とか、ハウスドルフ=ヤングの不等式とかが使えるので何か言えそうですね
ありがとうございます
- 967 :132人目の素数さん:2021/12/21(火) 18:06:22.42 ID:iAk4+Yg9.net
- めっちゃアホな質問でスマン。
図を見てもらいたいから張りたいんだけど
Imgur が貼れない 。("お断りします" と言われる)
普通のアップローダーだと貼れるんだけど
いちいちDLしてもらう必要があって不便。
Imgurみたいなサイトとそれを貼れるブラウザを教えてくれ。
答えを張りたいんや
- 968 :132人目の素数さん:2021/12/21(火) 18:24:34.43 ID:8B59gmDB.net
- コレとか
http://imepic.jp/
- 969 :132人目の素数さん:2021/12/21(火) 18:27:24.70 ID:iAk4+Yg9.net
- >>926 >>938
>>907 の回答 は N=6 ですした
おもしろいね (´・ω・`)
http://imepic.jp/20211221/663880
- 970 :132人目の素数さん:2021/12/21(火) 18:28:05.39 ID:iAk4+Yg9.net
- >>968
あざす!!
- 971 :132人目の素数さん:2021/12/22(水) 09:51:31.73 ID:dbzo25h+.net
- >>969
この六角形は現実的に応用するとすれば
中華料理用?チャーハンなどのお皿、
食器の形として実用的。
一般の正六角形のお皿のように
ちゃんと食器棚に入る。(面積は正六角形よりも4%ほど少ないだけ)
しかも左奥と右奥にスペースがあるので
ここに醤油用の小皿などをおける。
省スペース食器としては実に良いデザイン。
- 972 :132人目の素数さん:2021/12/22(水) 09:54:57.22 ID:qAeWzuyt.net
- >>971
スレタイ読めないアホは退場だぞ
- 973 :132人目の素数さん:2021/12/22(水) 11:53:31.41 ID:wrdq8ooG.net
- この問題誘導はあるけど中々難しい
https://twitter.com/IchigoSpoon1212/status/1472409069239808002?t=RwGDF-_EUgXlCkwMeKCxPw&s=19
(deleted an unsolicited ad)
- 974 :132人目の素数さん:2021/12/22(水) 17:52:02.45 ID:kNymY3ew.net
- 誘導の使い方がよく分からんけどとりあえずtan(kπ/n)は多項式
C[n,1]x-C[n,3]x^3+C[n,5]x^5....
の根だからtan(kπ/n)+1は多項式
C[n,1](x-1)-C[n,3](x-1)^3+C[n,5](x-1)^5....
の根
よって求めるのはこれの-一次の係数/定数項
定数項は
-C[n,1]+C[n,3]-C[n,5]...
= -im(1+i)^n=-2^((n-1)/2)
一次の項は
C[n,1]-3C[n,3]+5C[n,5]...
=n(C[n-1,0]-C[n-1,2]+C[n-1,4]...
= re(1+i)^(n-1)=n2^((n-1)/2)
より求める和はn
かな
誘導がポイんだけどピンポイントにハマらない
- 975 :132人目の素数さん:2021/12/22(水) 18:31:02.34 ID:7HQ37/sU.net
- (x_k + (1-x_k)i)^n が実数、x_kも実数であることから
(x + (1-x)i)^n = f(x) + g(x)i (f(x),g(x): 実数係数多項式) とおけば {x_k} は g(x)=0 の解
って気づけば誘導に乗れる
- 976 :132人目の素数さん:2021/12/22(水) 18:54:41.35 ID:x+rhmqBF.net
- >>972
>>907の問題、回答とその実用の話だから
ギリギリセーフ。
- 977 :名無し一級:2021/12/22(水) 18:57:44.31 ID:GKEijcA0.net
- エロ画像が生まれたのは江戸時代からとされるが最初の浮世絵に始まり春画が生まれ頭の良い人の中から情報を深奥の霊子レベルで破瓜から数式処理を施した栄養源であり生物の進化の時に女を食すというカーマストラという宗教書等があります。Qエロ画像ってどうやって作るの?
- 978 :132人目の素数さん:2021/12/22(水) 19:01:02.90 ID:Gk+bjEAQ.net
- >>975
なるほどそれやな
答え出すより誘導の意味考える方が難しい
- 979 :132人目の素数さん:2021/12/22(水) 22:22:51.91 ID:rIQcTr/3.net
- >>973
似た問題に、
Σ[k=1,n-1]1/sin^2(kπ/n)=(n^2-1)/3
がある。これを利用して、
Σ[k=1,∞]1/k^2=π^2/6
を導くことができるのは、初見の人には面白いはず。
- 980 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 00:17:20.28 ID:2O6wbFET.net
- Rを平面上の凸四角形ABCDとする
R上の経路p:[0,1]→Rにおいてp(0)が辺AB上、p(1)が辺CD上にあるときpはRを縦断するといい、p(0)が辺BC上、p(1)が辺DA上にあるときpはRを縦断するという
今RのPL部分集合(i.e. 有限個の線分と三角形の和集合による集合)X,YによってR=X∪Yと被覆されているときX上の経路でRを縦断するものか、もしくはY上の経路でRを横断するものがとれる事を示せ
- 981 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 04:06:27.08 ID:8Sjzx1Td.net
- 谷口凌晟兵庫区三川口町2.5.8.1201
殺人未遂罪にて千葉刑務所に服役中。
- 982 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 06:49:06.09 ID:PVbT0aVn.net
- >>971
4人で食事するときの回転テーブルではどうだろ。
- 983 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 12:28:52.43 ID:YVTZ+xR1.net
- >>969
imgurにアップできた。
https://i.imgur.com/5Ga4IQc.png
- 984 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 14:02:03.01 ID:PVbT0aVn.net
- >>972
こういう投稿が最もウザいと思う。
- 985 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 14:06:57.16 ID:PVbT0aVn.net
- 半径1の球の表面および内部のから三点を無作為に選んで
この三点を結ぶ面と球の中心との距離の期待値と中央値を概算せよ。
- 986 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 14:10:27.96 ID:6OZJBCWK.net
- 尿瓶しつこいぞ
- 987 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 15:20:19.96 ID:xOnURUe4.net
- この程度ですら自力では解けないから面白いかどうかの判定すらできん能無し
- 988 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 15:49:09.69 ID:71difKPu.net
- >>987
こういう投稿が最もウザいと思う。
- 989 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 15:49:56.57 ID:Lu/XrMxv.net
- >>988
こういう投稿が最もウザいと思う。
- 990 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 16:01:26.34 ID:l2EKazVx.net
- いいから面白い問題ください
- 991 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 16:47:16.56 ID:Tj6qwdc0.net
- >>982
使えなくはないけど
そういう巨大なのは使う頻度もすくないし
サイズの収納の手間とスペースの節約はたいして重要ではないと思う。
それと食事中に、向かい側の人が回転させた時に、
その反対側の人の醤油の小皿などに当たって溢す事故が
置きて危ない。
目の前での回転を考えれば
上下左右 が対称形であるのが一番安全だよ。
- 992 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 16:49:59.32 ID:Tj6qwdc0.net
- >>983
例えば 北側に座っている人が
食事中にうっかり、ギリギリの位置に醤油皿を置いた場合、
もしも誰かがこれを回転させたら ぶつかって倒れるので
すげぇ使いづらい。
- 993 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 17:23:08.80 ID:ddJG0qNc.net
- 二人もいるの?
本格的に実用数学や統計を専門にやるスレを作って誘導した方がいいのかなこれ
- 994 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 17:55:06.94 ID:peGZmhum.net
- 次スレのタイトルを
「面白い数学の問題おしえて〜な」
にしていいか?
- 995 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 18:38:38.93 ID:ddJG0qNc.net
- それだと「これも立派な数学だ」とか言い張られそうなのがちょっと心配
>>3あたりにルール貼るとかの方がはっきりした根拠ができていいかもと思っているけどどうだろう
(というかルール文的なのは昔あった気がする)
- 996 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 19:25:59.37 ID:peGZmhum.net
- 数学どころか山がなぜ美しいかみたいなこと言い出すやつらだぞ
数学という表記は要ると思う
- 997 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 19:37:28.90 ID:vVabKv0B.net
- >>951みたいな書き込みするからな尿瓶は
バカにつける薬ない
- 998 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 19:40:57.75 ID:bL+whXnN.net
- 統計と計算機は分けろ
- 999 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 19:58:48.53 ID:ehgPZR/H.net
- 質問いいですか?
- 1000 :132人目の素数さん:2021/12/23(木) 20:22:24.12 ID:peGZmhum.net
- 0時まで誰も立ててなかったら俺が>>994のスレタイで立てる
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