面白い問題おしえて〜な 39問目

1 ：１３２人目の素数さん：2021/10/11(月) 12:42:12.04 .net

前スレ
面白い問題おしえて〜な 38問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629715580/

過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/

過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/

207 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 12:09:55.66 ID:OvSIJGC7.net

ε = 1/{(10^N + 1)･ln(10)}　とおけば
　10^(-ε) = exp{-1/(10^N + 1)} > 1 - 1/(10^N + 1) = (10^N)/(10^N + 1),
　10^ε < 1 + 1/(10^N),
2^m = 10^(mα) の上から二番目以降の桁に0がN個以上連続する。

208 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 12:24:39.05 ID:W6g8lNxi.net

なんか数学の証明の書き方わかってない奴多いな

209 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 12:31:48.05 ID:woR2hqu4.net

>>206は細かいこというとN=1,2がダメだけど実質自分の>>200と同じやり方だね
>>207は>>199のεを見積もった感じかな

210 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 13:39:26.88 ID:OvSIJGC7.net

>>200
おいらの定理から
　2^φ(5^M) = 1 + k･5^M,　k≧1
　φ(5^M) = 4・5^(M-1)　…　おいらの関数
と取れる。
　n = φ(5^M) + M に対して
　2^n = 2^M + k・10^M
10^M の下M桁は0
2^M は [Mα]+1 桁の数　(α=0.30103…)
0が連続してN個上続くには
　M - ([Mα]+1) ≧ N,
　M(1-α) -1 > N,
　M > (N+α)/(1-α) + 1,
でござるか

211 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 14:19:35.89 ID:OvSIJGC7.net

>>157
>>170
　図の数字は正しいとして、内側の円はも少し右にあったとすれば
　左側にも隙間 ( 24.4 ) があるはず。
　それで r = 50 になったんぢゃね？

212 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 14:21:48.86 ID:fYFvDz06.net

>>192
６レースで上位３馬を確実に決めるのは不可能

あるレースの順位が上からa,b,c,d,eだった時に a→b, b→c, c→d, d→e のように矢印で結ぶことにすると、
N≦6試合を終えたタイミングで25の頂点と4N本の矢印を持つ有向グラフGができる
（Gの頂点a,bが a→x→y→…→b のように一つ以上の矢印で辿れることを a>b と表記することにする）

N=6の時点で一位が決まるためにはグラフGは連結でなければならないので、
頂点と矢印の数の関係から、Gはループを持ってはならない

もしグラフGのある３頂点x,y,zが x>z, y>z の関係にあれば、ループの制約から、
グラフGから頂点zを取り除いた際にできるxの連結成分とyの連結成分に属する
いかなる二元の大小も確定しない

これはGが一位を確定するという仮定に反するため、Gの任意の頂点xについて、
y>x が確定しているGの頂点y全体は全順序集合でなければならない…�@

したがって、M(<N≦6)レース目に出場した馬hがNレースに参加する場合、
もしhがMレース目で一着でない場合、Nレース目で一着をとらなければ�@に反する状況になる

ゆえに、６レース目までで確実に一位を決定するには、
既にあるレースに参加した馬のうち別のレースに参加できるのは
過去参加した全てのレースで一着だった馬のみとなる…�A

このような制約のもと６レース目までレースをする際、
もしG全体で一位となる馬 h_1 が１レース目に参加した場合は
制約�Aから他のレースにも出場する必要があるため、
Gにおいて h_1 から矢印で結ばれる馬が複数存在することになり、二位や三位は決まらない

213 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 14:25:42.90 ID:fYFvDz06.net

>>212
訂正
誤：
N≦6試合を終えたタイミングで25の頂点と4N本の矢印を持つ有向グラフGができる

正：
N≦6試合を終えたタイミングで25の頂点と4N本の矢印を持つ有向グラフができる。
N=6の時の有向グラフをGとおく。

214 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 20:51:13.16 ID:W6g8lNxi.net

>>212
ダメでしょ
あくまで向き付けられたループがないだけで向き付けられてない反対向きに進むループは許される
実際同じような構成で7レース行う場合にはx,y,zを1〜3位の馬とすると
x→y→zとx→zでループが出来ます

215 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 04:23:35.29 ID:orYAOMtA.net

>>214
明示的に書いてないとわかりにくかったかな？
グラフGが連結かつ頂点数が25、矢印の数が24という仮定から
Gにループが無いという結論を導いてるだけだよ

７レース目までやる状況だと頂点数25、矢印の数が28になるから
勿論何らかのループは生じるだろうね

216 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 07:34:55.32 ID:AG7SUMLX.net

漸化式
a_{n+1}=((n^2+n+1)a_n + n^2+3n+1)/(na_n+1)、
a_1=1
を解け。

217 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 08:35:11.26 ID:9cYjUwc0.net

>>214
ああ、なるほど
それならいけてるね

218 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 08:35:43.30 ID:9cYjUwc0.net

おっと
>>217は>>215宛

219 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 09:28:48.64 ID:9cYjUwc0.net

あれ？
でもGがツリーで
x1→>x3, x2>x3, 以下xn>x(n+1)
だとツリーかつx>z,y>zだけど1〜3位は順位は確定してないけどトップ3確定てるよ
最も早い3頭の馬を決める
というのはその3頭の順位は確定する必要ないのでは？

220 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 10:45:44.59 ID:orYAOMtA.net

>>219
その可能性は見落としてたな…
でも次のように修正すれば大丈夫

【旧】
N=6の時点で一位が決まるためにはグラフGは連結でなければならないので、
【新】
N=6の時点で上位三馬が決まるためにはグラフGは連結でなければならないので、
（補足：もし連結でなければ、Gの半数以下の点しか持たないある連結成分について、
その極大元となる馬が上位三馬に入るかどうかが確定しない）

【旧】
もしグラフGのある３頂点x,y,zが
（中略）
参加できるのは過去参加した全てのレースで一着だった馬のみとなる…�A
【新】
1≦M<N≦6 とする。Mレース目に参加した五馬のうち第i着の馬hがNレース目にも出場するとする。
この時、もしiが1でない場合、hがNレース目で5着だった際に全体の上位が確定しなくなる。
（∵Gはループを持たないため、hより上位の馬のうち極大元となる馬が複数存在することになり、
なおかつhより上位の馬は5頭以上存在するため、
極大元のうち上位三馬に入るかどうかが確定しない馬が存在することになる）
したがってどのレースにも、過去に一着以外とったことがない馬しか参加できない…�A

221 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 12:12:26.94 ID:9cYjUwc0.net

>>220
それで完璧ですな

222 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 15:27:01.61 ID:9cYjUwc0.net

よくよく考えたら途中のレースはどうでもいいんだな
最終的に頂点数25、辺数24の連結グラフになるには第五レース終了時に連結成分数がちょうど5個になるしかない
各連結成分Ci(i:1〜5)は少なくとも一頭の無敗馬xiを含む
x1が最終レースに参加しないとしてx1の代わりにC1から最終レースに参加した馬が5着だとするとx1がベスト3に入る可能性も入らない可能性も残ってしまう
よってx1〜x5は全て最終レースに参加しなければならない
C1が2頭以上を含むとしてよく、C1にはx1以外には負けたことがない馬zがあるとして良い
この時に最終レースの結果でx1が優勝するとベスト3にzが入る可能性も入らない可能性も残ってしまう

223 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 16:30:49.07 ID:9cYjUwc0.net

>>192
コレ元サイトで「6回で不可能の証明ついてないじゃん」って指摘したら「たしかにその通りで４年前にNeil Turtonという人が証明つけてた」という返事いただきました
そして「常に7回以下でなくとも良いから場合によっては6回以下で判定できるような戦略も含めて判定までの期待値の最小となる戦略は何か」という話題も出たらしくてそちらはオープンだそうな

224 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 16:39:12.71 ID:+TVd8iYb.net

円周上に10個の点をおく
これらの点を線で結んだとき、円は最大何個の領域に分割できるか？

225 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 16:39:29.38 ID:+TVd8iYb.net

>>224
すみません線→線分です

226 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 16:43:15.62 ID:+TVd8iYb.net

10だとややこしい場合、6でもおkです

227 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 16:45:49.02 ID:9cYjUwc0.net

>>224
n本で分けられる領域数をanとおく
a0 = 1
n本目の弦で新しい領域は最大n個できるから
an = a(n-1) + n
an = (n^2 + n + 2)/2
a10 = 56

228 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 16:49:02.36 ID:+TVd8iYb.net

>>227
これは不正解です
円周上に点があるだけなので、線の数はもっと多いよ

かといって答えはk=10C2として、a_k
というわけでもありません

円周上の点という拘束があるので

229 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 16:51:55.03 ID:9cYjUwc0.net

>>228
え？
線分なら円の外部関係ないやん

230 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 16:54:56.16 ID:9cYjUwc0.net

ああ、わかった
C[10,2]個の弦全部考えるのね
そして区切りは弦のみで円周は関係ないと

231 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 16:56:06.68 ID:+TVd8iYb.net

>>230
ああ円周も領域の区切りの一つと思ってください
例えばこの図なら4つの領域です
https://o.5ch.net/1v9lh.png

232 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 17:27:20.29 ID:9cYjUwc0.net

結局n=6なら
凸N角形の対角線の辺で切り分けた時の領域数ね。

凸N角形の内部の点の数MはM=C[N,4]
内部の点は全て分岐数4、境界の点は分岐数N-1として良いから辺数Eとすると
2E = 4M + (N-1)N
により
E= 2M +N(N-1)/2
よって面の数Sは
S= -(N+M) + E + 1
コレに円弧と辺でできるN個の領域足すから答えは
-(N+M) + E + 1 + N
= -(N+C[N,4]) + 2C[N,4] +N(N-1)/2 + 1 + N
= C[N,4] +N(N-1)/2 + 1
かな

233 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 17:48:56.39 ID:+TVd8iYb.net

>>232
本当に素晴らしい
大正解です
まさにオイラーの多面体定理使うのがミソでした

234 ：イナ ：2021/10/20(水) 17:53:58.44 ID:Oy0CGj/0.net

前>>204
>>192
第1レースA,B,C,D,Eの5頭が出走し、
1着A,2着B,3着Cだった。
第2レースF,G,H,I,Jの5頭が出走し、
1着F,2着G,3着Hだった。
第3レースK,L,M,N,Oの5頭が出走し、
1着K,2着L,3着Mだった。
第4レースP,Q,R,S,Tの5頭が出走し、
1着P,2着Q,3着Rだった。
第5レースU,V,W,X,Yの5頭が出走し、
1着U,2着V,3着Wだった。
第6レースA,F,K,P,Uの5頭が出走し、
1着対決をし、1着A,2着F,3着Kだった。
第7〜12レースで点数をつける。
第1レースから第6レースまでの結果、3強の可能性があるのはA,B,C,F,G,Kの6頭だから、
1着5点、2着4点、3着3点、4着2点、5着1点、待機0点として第7レースから第12レースを行う。
着順　１　２　３　４　５　待機
７Ｒ　Ｋ　Ｆ　Ｃ　Ａ　Ｂ　Ｇ　
８Ｒ　Ｇ　Ｂ　Ａ　Ｆ　Ｋ　Ｃ
９Ｒ　Ｂ　Ｆ　Ａ　Ｃ　Ｇ　Ｋ
10Ｒ　Ｃ　Ｋ　Ｇ　Ｂ　Ｆ　Ａ
11Ｒ　Ａ　Ｆ　Ｋ　Ｇ　Ｂ　Ｃ
12Ｒ　Ｋ　Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｇ　Ｆ
点数を集計すると、
Ａ　2+3+3+0+5+4=17
Ｂ　1+4+5+2+0+3=15
Ｃ　3+0+2+5+1+4=13
Ｆ　4+2+4+1+4+0=15
Ｇ　0+5+1+3+2+1=12
Ｋ　5+1+0+4+3+5=18
1位Ｋ　18点
2位Ａ　17点
同点3位Ｂ，Ｆ　15点
第13レースをＢ，Ｆを含む5頭で行い、
Ｂ，Ｆの勝敗を決め、
どっちが3強入りするかを決める。
∴13レース

235 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 19:06:00.55 ID:4UyQ6TGD.net

すいません、教えてください。
ゲームAI A,Bがあり、シングルスレッドで対戦するとAの勝率は５割である。
ただし、Aが勝つ試合は試合時間が1分で、Bが勝つ試合は試合時間が10分である。
10並列で試合を行った場合、時刻tにおけるAの勝率をp(t)とおくと
lim t→∞ p(t)はいくつになるか？

236 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 19:22:30.01 ID:DDmkQGzU.net

>>235
全く意味がわからん

237 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 19:29:54.17 ID:4UyQ6TGD.net

AI AとBを10個用意して同時に何試合も試合させるんです。

238 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 19:51:24.97 ID:tGBp8wkO.net

N角形に一つの頂点Xを追加する。
　頂点X と k個先の頂点を結ぶ対角線Lの両側には
(k-1)個、(N-k)個の頂点がある。
それらを結ぶ (k-1)(N-k) 本の対角線がLと交差する。
L は (k-1)(N-k) + 1 の線分と交差するから
Lによって 領域の数が (k-1)(N-k) + 1 だけ増える。
　S(N+1) - S(N) = Σ[k=1,N] {(k-1)(N-k) + 1}
　　　　　　　　= C[N,3] + N,
∴　S(N) = C[N,4] + C[N,2] + 1,

239 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 20:06:54.81 ID:4UyQ6TGD.net

どういえば伝わるんだろ？難しい。
問題文修正してみました。

ゲームAI　A,Bがあり,A対Bで対戦したときのAの勝率は5割である。
ただしAが勝つ試合は試合時間に1分かかり、Bが勝つ試合は試合時間があ10分かかる。
AとBを10組用意し、時刻0から連続で無限回試合を行う。
時刻tにおける[結果が出ている試合のうちAの勝った数]/[結果が出ている試合数]をp(t)とおく。
lim [t→∞] p(t)の期待値はいくつか？

240 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 20:10:37.47 ID:tGBp8wkO.net

>>238
ﾁｮﾄ変だった。ｽﾏｿ。

対角線L は (k-1)(N-k) + 1 個の線分に分割されるから

241 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 20:10:37.59 ID:4UyQ6TGD.net

９分目まではAが負けることはないので最初のうちはAの勝率が高く出るはずなんです。
十分長い時間をかければ勝率は5割に落ち着くのかそれともずれるのか。

242 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 20:14:53.68 ID:xV4hqej3.net

どの試合も確率1/2で一分かけてAが勝ち、確率1/2で十分かけてBが勝つってこと？
それならp(t)はt→∞で普通に1/2に収束すると思うけど
かかった時間を無視すればコイントスを何回もやるのと同じことだから

243 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 20:26:04.82 ID:4UyQ6TGD.net

同じになりますか。
私の杞憂だったようですね。
ありがとうございます。

244 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 23:03:32.52 ID:abn6ONk+.net

これ1〜9分目はAの勝率1だけど10分目で既に1/2になるよな
で11分目でまた抜かして20分目に1/2に戻る
21分目で抜かして30分目に1/2に戻る
この抜かしの度合いがちょっとずつ下がってきて最終的に均等になる
でいいのかな

245 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 00:26:50.56 ID:2dqYHpk1.net

Rを実数全体からなる集合とし、SをRの有限部分集合とする
全単射f:R＼S→Rをつくれ
※R＼SはRからSを除いた集合です

246 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 01:35:36.87 ID:KSSKuSyW.net

RとR\{0}の全単射を作れば十分だけど、それは自然数をズラせばいい

247 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 01:49:01.09 ID:5V2kb62q.net

aを整数ではない実数とするとき以下の等式を示せ
∫[-∞,∞] sin(√(x^2-a^2))/√(x^2-a^2) dx
= Σ[n=-∞,∞] sin(√(n^2-a^2))/√(n^2-a^2)

248 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 05:18:34.62 ID:O+UDjgrs.net

>>216
Wolfram 先生が解なしと言ってる
誰も解けないだろう
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=a%28n%2B1%29%3D%28%28n%5E2%2Bn%2B1%29a%28n%29%2Bn%5E2%2B3n%2B1%29%2F%28na%28n%29%2B1%29%2C+a%281%29%3D1

249 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 06:23:04.69 ID:NlJIpmJH.net

>235に刺激されてこんな問題を考えてみた。

AI1号とAI2号の通算対戦成績はAI1号の10勝20敗である。
AI1号が勝った10戦の対戦時間（分）は
0.55 0.44 0.42 1.31 8.68 3.69 1.62 2.87 0.44 4.17
AI２号が勝った20戦の対戦時間（分）は
1.84 1.46 1.4 4.36 28.95 12.3 5.4 9.57 1.47 13.91
7.62 12.38 44.24 10.54 10.35 18.76 6.55 3.37 5.88 23.64
である。

新たにAI1号とAI2号を対戦させる。
対戦開始後10分経過したときにAI2号が勝っている確率を求めよ。

計算に必要な前提は適宜設定してそのモデルでの確率を計算すればよい。
例：対戦時間は正規分布に従っている。

250 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 12:30:25.20 ID:nObBNZP5.net

>>249
尿瓶懲りないなーw

251 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 12:32:37.57 ID:nz04gD9G.net

>>247
ヒントおながいします

252 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 12:39:51.99 ID:nz04gD9G.net

>>247
てか√の中負の数の時どうするん？

253 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 13:15:33.54 ID:5V2kb62q.net

>>252
当然虚数になりますが、分母分子でキャンセルされて実数になります。
これは以下のマクローリン展開からも明らか
sin(√x)/√x = 1-x/3!+x^2/5!-...

>>251
手持ちの想定解答は2種類あります。
一つ目はシャノンの標本化定理を使う方法で
もう一つはAbel-Planaの和公式の類推を証明す露方法です。

254 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 17:46:58.32 ID:ZNry6gJA.net

>>253
いや、高校生的に√(-a) = (√a)iなんか大学以上の数学だとあんまり出てこないからかえって要確認でしょ？

255 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 17:56:37.23 ID:K/hghBtO.net

>>252
　∫[-|a|, |a|] sinh(√(aa-xx))/√(aa-xx) dx

256 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 18:09:42.59 ID:ZNry6gJA.net

>>255
わかってるよ、√(-a)=√ai ( for a > 0 )と定義するならそう解釈できるのなんて
問題はそれでいいのかちゃんと描いてくれって言ってるんだよ
√x = exp(1/2 log(x)) のlog(-x)を高校生的にlog(-1) = π/2iにとっていいのかどうかの確認
√zと見て「あれ？ここ今回はどうすんの？」と思えないようでは大学以上の教科書読めてない
「√(-ai) = √a iに決まってる、高校の時習ったでしょ」なんていう方がどうかしてる

257 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 18:34:03.35 ID:CByNampU.net

「0^0 は 1 ではない」

これを証明せよ。

258 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 18:39:07.95 ID:NlJIpmJH.net

0^0は
x^0=1
0^x=0
のどちらが辻褄が合うかというだけの話だろ？
定義をどうするかだけじゃないのか。

259 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 19:26:05.78 ID:CByNampU.net

>>258
そうなんだけど
この問題の趣旨とそれる。
もっと詳しく証明に挑戦をしてみてさ、
最終的には…

命題A 「0^0 は 1ではない」
命題B 「0^0 は 1である」
この2つのどちらも証明不可能 であるって
説明してほしかった。

260 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 20:02:33.69 ID:QEmdLSxb.net

>>259
どの形式系で証明不可能なの？

261 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 20:09:02.62 ID:v/aX4Lpu.net

lim[x→+0]{x・log(x)} = 0

262 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 20:38:44.40 ID:ZNry6gJA.net

>>253
abel-plana使えば

thm
φmfが超越整関数で偶関数、xについて局所一様に一様にlim[|y|→∞]f(x+iy) = 0であるとき
Σ[n=-∞,∞]f(n) = ∫[-∞,∞]f(x)dx

(∵)
abel-planaより任意のNに対して
Σ[n=-N,N]f(n)
= -f(0) + 2Σ[n=0,∞]f(n)
= -f(0) + 2(1/2f(0) + ∫[0,N]f(x)dx
+ ∫[0,N](f(iy)-f(-iy))/(exp(2πy)-1)dy
- ∫[0,∞](f(N+iy)-f(N-iy))/(exp(2πy)-1)dy )
= 2∫[0,N]f(x)dx
= ∫[-N,N]f(x)dx
であるからN→∞をとって主張は成立する
□

が得られる
本問はf(z) = sinc(√x^2-a^2)(ただしsinc(z)が偶関数である超越整関数であることから自然に√はキャンセンされると考える)としてコレが超越整関数である偶関数であることは自明
以下ではim log(z)∈(-π,π]にとるとする
|1 - (a/(x+iy))^2|<2,
|y|>|x|
であるyにおいて
|√( ( x + iy )^2-a^2 )|
=|√(1 - (a/(x+iy))^2)| |x+iy|
<2√2|y|
により
|im√((x+iy)^2-a^2)| < 2√2y
であるから
|sin√((x+iy)^2-a^2)|
≦2exp( im√((x+iy)^2-a^2))
≦2exp( 2√2y )
により定理が使える

263 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 21:31:08.75 ID:3W5WpVEo.net

(1) f(f(x))=-xとなる実連続関数f:R→Rは存在しないことを示せ

(2) f(f(x))=-xとなる実関数f:R→Rを一つ挙げよ

264 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 21:38:58.11 ID:Otu7rzhf.net

>>253, >>262
abel-plana みたいな定理ってどういう教科書を読んで知りましたか？

265 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 21:44:06.61 ID:xDtWwD2+.net

>>264
オレはオイラーマクローリンのwikiのページの関連項目から知った
すげーと感動

266 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 21:59:00.54 ID:5V2kb62q.net

>>262
thmの条件が
× lim[|y|→∞]f(x+iy) = 0
〇 lim[x→∞]|∫[0,∞] im f(x+iy)/(exp(2πy)-1)dy| = 0
などでないとダメですよね？
lim[|y|→∞]f(x+iy) = 0を満たす超越整関数は
実軸方向で必ず発散する、あるいは恒等的に0ですよね？

もう少しよく考えてみてください。

267 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 22:20:47.97 ID:5V2kb62q.net

>>266 の続き
thmの条件以外は
>>262
の解答で正解です。

何かのタイポでしょうか？

268 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 22:28:53.63 ID:xDtWwD2+.net

>>263
(1)ε>0を任意にとる
∪[δ>0]f([-δ,δ]) = R
によりあるδ>0をとれば
-ε,ε∈f([-δ,δ])
である
fは連続だからf([-δ,δ])は連結である
よって[-ε,ε]⊂f([-δ,δ])である
さらにfは全単射であるから
f((-∞,-δ)∪(δ,∞)) ⊂ (-∞,-ε)∪(ε,∞)
である
よって埋め込みφ:R→S^1=R/Zをφ(x)=atan(x)/πで定めてRをS^1の部分空間と見なす時、f:R→RはS^1→S^1に連続に拡張される
この時f^2は仮定によりH^1(S^1)≡Zの-1倍写像を誘導するがコレは平方根を持てないから矛盾

269 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 22:32:53.88 ID:xDtWwD2+.net

>>286
そうそう
abel-planaの条件はlimf(x+iy)/(exp^(2πy) = 0なのでo(|2πy|)で良い
示したのは|f(x+yi)| = O(exp(2√2y))なので桶

270 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 22:42:57.36 ID:CByNampU.net

>>260
うーん、良い質問ですねぇ (池上彰 っぽく)

271 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 22:49:37.16 ID:xDtWwD2+.net

>>263
(2)
非交和(0,∞) = A∪Bと全単射g:A→Bを用意しておく
(eg. A = ∪[n∈N](2n-2,2n-1], B = ∪[n∈N](2n-1,2n]でgは(2n-2,2n-1]と(2n-1,2n]を交換する)
f(x)を
f(x) = 0 ( x = 0 )
-x ( x∈A,-x∈B )
g^(-2)(x) ( x∈B )
-g(-x) (-x∈A)
で定めれば良い

272 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 23:09:45.13 ID:2dqYHpk1.net

>>263
g(x)=f(f(x))とおくと
　f(g(x))=f(f(f(x)))=g(f(x))
仮定よりg(x)=-xだから
　f(-x)=-f(x)
よってf(x)は奇函数である
また(1)より連続ではない
これらを前提にいろいろ考えると・・・
こんなのがつくれました

https://imgur.com/HfPN8nz.jpg

273 ：１３２人目の素数さん：2021/10/22(金) 00:31:48.62 ID:UbBA8FPc.net

>>268
おおお素晴らしい
こういう解法もあるのか回転数に対応させるのはうまいですね

用意していた解法はこんな感じでした

f(f(-・))=idより、f(-・)はfの逆写像
したがってfは全単射
RからRへの連続全単射は単調増加、減少のみ
そのどちらの場合でもf⚪︎fは単調増加
これはf(f(x))=-xと矛盾

274 ：１３２人目の素数さん：2021/10/22(金) 00:32:30.64 ID:UbBA8FPc.net

>>271
素晴らしい大正解

>>272
お見事
これがこちらで用意していた想定解でした

275 ：１３２人目の素数さん：2021/10/22(金) 12:25:48.58 ID:YpLjnmki.net

>>249
ヒストグラム書くとわかるけど
対戦時間は正規分布に従っていない。

276 ：１３２人目の素数さん：2021/10/22(金) 17:19:11.00 ID:y7Q9yp6E.net

次の性質をもつ関数 y＝f(x) が存在すれば例をあげ，存在しなければそれを示せ．

1．ある閉区間 [a，b] で連続
2．x∈[a，b] において x が有理数のとき，f(x) は無理数で，x が無理数のとき，f(x) は有理数．

# もちろん，大学以降の知識を使えば自明ですが，高校範囲で可能な限り厳密にお願いします．
# 誰でも考え付く問題なので，大学入試問題として既出であれば教えて下さい．

277 ：１３２人目の素数さん：2021/10/22(金) 20:02:54.73 ID:ujkgd/hQ.net

>>216
与式より
(n+1)a_{n+1} + 1 = {(n^3+2n^2+3n+1)a_n + (n^2+3n+1)}/(n･a_n + 1),
　a_1 = 1,　a_2 = 4,　a_3 = 13/3,　…
ここで
　b_n = Π[k=1,n] (k･a_k + 1)
とおくと
　n･a_n + 1 = b_n / b_{n-1},
これは線形漸化式
　n･b_{n+1} = (n^3+2n^2+3n+1)b(n) + (n^2+n-1)(n+1)^2･b(n-1),
　b_1 = 2,　b_2 = 18,　b_3 = 252,　…
になるから、少しは考え易いかな。

278 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 00:06:15.02 ID:s+Uxluaw.net

>>276
中間値の定理は高校数学の範囲だけどどんな開区間も有理数を持つはアルキメデスの原理とか使わないといけないからギリギリアウトかもしれないけどそこまで言い出すと何もできないので使わせてもらうことにして

もしそんなf(x)があるならmを(f(b)-f(a))/(b-a)と異なる有理数にとる時g(x)=f(x)-mxは有理数値を取れない
さらにg(a)≠g(a)であるから中間値の定理よりg(a)とg(b)の間にある有理数rをとってくるとc∈[a,b]でg(c) = rとならねばいけないから矛盾

279 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 04:17:17.76 ID:Yc+sz/KG.net

以前に出題されて解がなかった問題の系

【問】xy平面上の円で、その周がちょうど7つの格子点(座標のx成分とy成分が共に整数である点)を通るもののうち、その半径がもっとも小さいものをひとつ求めよ。

280 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 05:25:03.20 ID:AZmnMIWI.net

対称性から、個数は４の倍数に限られるんじゃね？

281 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 07:25:37.64 ID:Yc+sz/KG.net

つまり、中心は格子点ではないということ

282 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 09:17:38.23 ID:LOgGDCao.net

>>263
自然数の全体Nを ペア(2つ組)の直和に分解する。

ペア{m,n} に対して Rの区間の4つ組
　(m-1,m]　(n-1,n]　[-m,-m+1)　[-n,-n+1)
を対応する。
R-{0} はそれらの直和に分解される。

区間の間に 一対一の対応(全単射)を設定する。

例)
　N = {1,2} + {3,4} + {5,6} + …　　>>272

283 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 10:01:46.73 ID:6cImAIFm.net

>>279
いや答えは出たやろ

284 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 10:34:00.14 ID:s+Uxluaw.net

>>283
答え何？

285 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 12:27:44.21 ID:WzviGkWl.net

>>276
大学以降だと濃度を使えば早いかな

286 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 13:22:24.52 ID:6nG0001r.net

>>284
http://math.a.la9.jp/GridOnCircle1to20.txt

287 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 13:50:11.31 ID:s+Uxluaw.net

>>286
thx
でもコレ探索したソースはないん？

288 ：イナ ：2021/10/23(土) 13:56:59.41 ID:997EnmsO.net

前>>234
>>279
r=1/sin(π/14)だと(0,r)がだめか。
rとrsin(π/14)とrcos(π/14)が整数で、
r=4とか5とかなら面白いかも。

289 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 14:13:39.72 ID:LOgGDCao.net

>>286
格子点数 = 7,
中心座標 = (475/22, 225/22)
半径 = (25√442)/22,
(X, Y) = (0, 0) (-2, 14) (-1, 18) (35, 30) (45, 15) (40, -5) (16, -13)

290 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 14:17:08.00 ID:LOgGDCao.net

>>245
Sは有限集合だから
　#S = m,　　　　(mは自然数)
　S = {s_1, s_2, …, s_m}
とおける。また、アルキメデスの原理から
　max(S) ≦ n,
となる自然数nがある。

f(x) = x　　　　　(x<n+1 または x≠自然数)
　　= s_(x-n)　　 (x = n+1, n+2, …, n+m)
　　= x-m　　　(x = n+m+1, n+m+2, …)

291 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 14:22:13.95 ID:Xgc5zFC8.net

底辺国立数学科の集まりはここですか？

292 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 15:12:27.33 ID:LOgGDCao.net

>>290
S = Q(有理数体)　のときはどうでしょう？

Q は可算集合だから
　Q = {q_1, q_2, …, q_m, …}
とおける。
補集合R＼Q (無理数の集合) は空でないから 元 a をとる。

　f(x) = x　　　　　(xがaの自然数倍でないとき)
　　　= q_m　　　　(x = (2m-1)aのとき)
　　　= x/2,　　　　(x が 2aの自然数倍のとき)

Sが任意の可算集合のときも、補集合R＼Sから
可算無限列を取り出せば可能かな〜

293 ：イナ ：2021/10/23(土) 18:24:35.55 ID:997EnmsO.net

前>>288
>>279
あそだ、円の中心は格子点でも原点でもなくていいって最初に思たん忘れてた。

294 ：１３２人目の素数さん：2021/10/24(日) 19:36:04.55 ID:g9d5qJ2g.net

>>278
m < M　に対して
　d = [ 1/(M-m) ] + 1,
　n = [ dm ] + 1,
とおくと
　d > 1/(M-m),
　dm < n ≦ dm + 1 < dM,
∴　m < n/d < M,
でもいいか

295 ：１３２人目の素数さん：2021/10/24(日) 22:17:28.21 ID:TYB2vSsz.net

>>278
中間値の定理は実数の連続性からきてるし実数の連続性の公理はアルキメデスの原理を含んでるんだからそこまで考える必要はないのでは？

296 ：イナ ：2021/10/24(日) 23:29:20.40 ID:ExiiSONo.net

前>>293
>>289なんでそうなるの？

297 ：１３２人目の素数さん：2021/10/24(日) 23:30:35.15 ID:UPw45Ovj.net

>>295
普通ならそこまでうるさく考えないけど出題者の意向があるからな
高校数学の範囲を超えている可能性があるのはそこくらいだし
それに実際アルキメデスの原理が成立しない実閉体はあるからな
そこでは任意の開区間がかからずしも有理数を含むとは限らない
すなわち任意の開区間が有理数を含むという性質は実数の他の公理から独立な公理
ここに「アレ？大丈夫か？」と思えないようでは少なくとも数学科卒は名乗れない

298 ：１３２人目の素数さん：2021/10/24(日) 23:31:07.53 ID:UPw45Ovj.net

100人の囚人の名前を1人ずつ1〜100の番号が書かれた100個の木箱に入れて，部屋のテーブルの上に並べる．
囚人は一人ずつ部屋に入り，最大で50個の箱を見ることができるが，その後は部屋を出なければならず，他の囚人とのコミュニケーションも許されない．
もし全ての囚人が自分の名前が書かれた箱を探し出せれば全員が釈放となります
囚人たちは事前に戦略を練るチャンスが与えられます
囚人が勝つ確率が50%を超える戦略を考えて下さい

299 ：１３２人目の素数さん：2021/10/25(月) 00:17:50.78 ID:JY6z5q//.net

1/2を越すのは無理じゃない？
少なくとも最初の人が自分の札を見つけられる確率は最大でも50%なんだし

300 ：１３２人目の素数さん：2021/10/25(月) 00:22:45.29 ID:d4VSBUsR.net

探し出すってのは箱の中身を見たものに限るの？
たとえば50箱の中に自分の名前がなかったけど残りから適当に1箱選んで「これです」って言ってまぐれ当たりするのはセーフ？

301 ：１３２人目の素数さん：2021/10/25(月) 00:29:08.10 ID:QXiZ/8hb.net

全員が箱を見た後で各自が自分の名前が入った箱は何番か当てる感じに読み取れるな
この前提で考えてみたら？俺はさっぱりわからんが

302 ：１３２人目の素数さん：2021/10/25(月) 01:01:36.84 ID:d4VSBUsR.net

調べたら30%程度にしかならんみたい
50%はムリ

303 ：１３２人目の素数さん：2021/10/25(月) 01:03:14.42 ID:3OWBJvUi.net

中間値の定理からアルキメデスの原理導けるんじゃなかったっけ？

304 ：１３２人目の素数さん：2021/10/25(月) 01:10:02.10 ID:BV69bm7e.net

>>300
ダメです

305 ：１３２人目の素数さん：2021/10/25(月) 01:12:12.06 ID:BV69bm7e.net

>>302
peter winklerのパズル本ですかね？
あれと少し設定が違います

306 ：１３２人目の素数さん：2021/10/25(月) 01:18:35.74 ID:d4VSBUsR.net

あっほんとだ
検索してヒットしたやつは囚人は名前でなく自分の番号を探すという設定だった