代数学演習

1 ：１３２人目の素数さん：2021/03/09(火) 20:31:01.93 ID:2q52fjs2.net

線形代数
群
環と加群
体Galois理論
可換代数
群の表現

などの演習問題を解くスレ

41 ：１３２人目の素数さん：2021/09/10(金) 01:04:24.35 ID:j6Ljpwn9.net

有理数のなす加法群ℚと、有理数体の乗法群ℚ*は、Abel群として同型でないことを示せ。

42 ：１３２人目の素数さん：2021/09/10(金) 01:06:40.95 ID:j6Ljpwn9.net

q∈ℚを0でない任意の元とすると必ず2p = qとなるp∈ℚが存在する。
一方、ℚ*の元には平方根が存在するとは限らない。たとえば2。

43 ：１３２人目の素数さん：2021/09/10(金) 01:41:57.37 ID:j6Ljpwn9.net

K⊂ℂを部分体、pを素数とする。ℂに含まれる任意の有限次拡大L/Kに対し、

「L = Kでなければ、[L : K]はpで割り切れる」

と仮定する。このとき、ℂに含まれる任意の有限次拡大L/Kに対し、[L : K]はpのべき（1を含む）であることを証明せよ。

（京大）

44 ：１３２人目の素数さん：2021/09/10(金) 01:49:26.61 ID:j6Ljpwn9.net

L/Kを任意の有限次拡大とする。
Lを含むKの最小のGalois拡大M/Kが存在する。仮定より、[M : K]はpで割り切れる。
|Gal(M/K)| = mp^n （mとpは互いに素）とおく。Sylowの定理よりGal(M/K)のSylow p部分群が存在する。その一つをHとすると、|H| = p^n。
Hの元で固定される部分体M^HのK上の拡大次数は、Galois理論の基本定理より、|Gal(M/K)|/|H| = mである。しかし、仮定よりこれはpのべきでなければならないから、m = 1である。
したがって、[M : K] = p^n。よって、M/Kの中間体であるLのK上の拡大次数もpのべきである。□

45 ：１３２人目の素数さん：2021/09/10(金) 02:51:08.64 ID:j6Ljpwn9.net

体K = ℚ(√N, √(1 + i))がℚ上のGalois拡大となるような最小の正の整数Nと、そのときのGalois群Gal(K/ℚ)を求めよ。

（京大）

46 ：１３２人目の素数さん：2021/09/10(金) 08:55:47.47 ID:j6Ljpwn9.net

√(i + 1)のℚ上の共役は

√(i + 1), -√(i + 1), √(-i + 1), -√(-i + 1)。

√(i + 1)√(-i + 1) = √2なので、√2が含まれれば、Kに√(i + 1)の共役がすべて含まれる。
N = 1のときはGalois拡大にならないので、N = 2が最小。


M = ℚ(√2, i)とおく。
KはMの2次拡大で、Mはℚの4次拡大だから、#Gal(K/ℚ) = 8。

σ∈Gal(M/ℚ)を、σ(i) = -iで定まるものとすると、

σ(√(i + 1)^2) = - i + 1

だから、Gal(K/ℚ)の元としては

σ(√(i + 1)) = √(-i + 1)
σ(√(-i + 1)) = √(i + 1)

で、位数は2。
τ∈Gal(M/ℚ)を、τ(√2) = -√2で定まるものとすると、

τ(√(i + 1)√(-i + 1)) = -√2

だから、これをKに延長したものは

τ'(√(i + 1)) = -√(i + 1)
τ''(√-i + 1)) = -√(-i + 1)

で定まるものの2つがある。どちらも位数は2。
以上から、Gal(K/ℚ)は位数2の元3つで生成されるので、

Gal(K/ℚ)〜ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ。

47 ：１３２人目の素数さん：2021/09/10(金) 09:22:59.64 ID:j6Ljpwn9.net

おかしいな
Abel拡大になるはずない


> KはMの2次拡大で、

ここが違うか

48 ：１３２人目の素数さん：2021/09/11(土) 12:09:33.40 ID:dec+j2UA.net

もしAbel拡大なら、Galois群の部分群はすべて正規部分群だから、Q(√(i + 1))を固定する部分群も正規部分群になる。よって、Q(√(i + 1))/Qが正規拡大となり矛盾。

8次拡大はあってて、非Abel的だから位数8の二面体群になる。

49 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 10:01:30.08 ID:G1I0/SNs.net

断捨離してたら加藤和也の授業の演習プリントが出てきた

50 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 15:13:02.81 ID:l85vzMHu.net

桂利行と川又雄二郎の授業の演習プリントはまだ持ってる

51 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 15:28:59.90 ID:ioTVRrV6.net

K = ℂ(t)を変数tに関する複素数係数の1変数有理関数体とする。uを0でない複素数とし、Lを多項式f(X) = X^4 + 2utX^2 + t∈K[X]のK上の最小分解体とする。

(1) 拡大次数[L : K]を求めよ
(2) ガロア群Gal(L/K)はアーベル群であるか？理由をつけて答えよ。

（京大）

52 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 15:31:42.10 ID:/G1An2L8.net

なんで京大ばかりなの？

>>50
難しかった？

53 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 15:39:19.76 ID:ioTVRrV6.net

(1) f(X) = 0を解くと、

X = ±√(-ut + √(u^2t^2 - t)), ±√(-ut - √(u^2t^2 - t))

α = √(-ut + √(u^2t^2 - t))
β = √(-ut - √(u^2t^2 - t))

とおくと、

αβ = √-t。

K(α^2)/Kは2次拡大（u≠0なので）
K(√-t)/Kは2次拡大
よって、K(√-t, α^2)/Kは4次拡大

L/K(√-t, α^2)は2次拡大
なので、L/Kは8次拡大。


(2) Gal(L/K)がAbel群なら、すべての部分群は正規部分群なので、すべての中間拡大はGalois拡大になる。
しかし、L/Kの中間拡大K(α)/KはGalois拡大ではない。なぜなら、これがGalois拡大ならαの共役βがK(α)に属さなければならなければいけないが、αβ = √-t∉K(α)なので。
よって、Gal(L/K)はAbel群ではない。

54 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 15:40:39.37 ID:ioTVRrV6.net

>>52
別にあなたが書いてもいいんですよ

55 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 15:43:46.75 ID:ioTVRrV6.net

なぜ京大ばかりなのか

・私が受けるから
・東大はネット上では過去3年しか問題が公開されていないから
・東大の問題が難しくて解けないから

56 ：１３２人目の素数さん：2021/10/14(木) 19:33:01.30 ID:oLv14f6y.net

Bを可換環、Aをその部分環（乗法の単位元1を共有する）とする。
BはA加群として有限生成であるとし、PをAの素イデアルとする。このとき、Aの元aが、

a = Σ[i=1, n] b_i p_i （b_i∈B, p_i∈P）

と表されるならば、a∈Pであることを示せ。

57 ：１３２人目の素数さん：2021/10/14(木) 19:41:16.89 ID:oLv14f6y.net

>>56
BはAの整拡大だから、Bの素イデアルQで

Q∩A = P

となるものが存在する（lying-over theorem）。a∈PB⊂Qであるから、

a∈Q∩A = P。□

58 ：１３２人目の素数さん：2021/10/14(木) 20:30:59.94 ID:oLv14f6y.net

lying-overの証明も美しいよね。


定理:
A⊂Bを環の整拡大、PをAの素イデアルとする。このときBの素イデアルQで

Q∩A = P

を満たすものが存在する。


証明:
M = A＼Pとする。A_M, B_MをAおよびBのMによる局所化とする。
PはA_MのA_Mの極大イデアルP'の自然な写像i: A → A_Mによる引き戻しである。また、もしB_Mの素イデアルQ'で、Q'∩A_M = P'となるものがあれば、j: B → B_Mを自然な写像として、

P = i^(-1)(P') = i^(-1)(Q'∩A_M) = j^(-1)(Q') ∩ A

となる。よって、A, BをA_M, B_Mに置き換えることで、Aは局所環、PはAの唯一の極大イデアルとしてよい。
QをBの任意の極大イデアルとすると、Q∩A = Pとなることを示す。可換図式

B → B/Q
↑　 ↑
A→A/(Q∩A)

を考えると、B/QはA/(Q∩A)上整。B/Qは体なので、以下のlemmaより、A/(Q∩A)も体。よって、Q∩AはAの極大イデアル。□


lemma:
A⊂Bを整拡大とする。Bが体ならば、Aも体である。
（Aが整域ならば、「Aが体ならばBも体」も成り立つ）

lemmaの証明:
1/a∈A⊂Bを0でない元とすると、Bは体なので、1/a∈B。1/aはA上整なので、

(1/a)^n + a_1(1/a)^(n-1) + ... + a_n = 0 (∃a_1, ..., a_n∈A)

となる。よって、a^(n-1)を掛ければ

1/a = a_1 + ... + a_n a^(n-1)∈A。□

59 ：１３２人目の素数さん：2021/10/14(木) 20:49:09.33 ID:oLv14f6y.net

右辺はマイナスつけて下さい

60 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 02:44:47.39 ID:K/hghBtO.net

〔オイラーの定理〕
aがnと素ならば
　a^φ(n) ≡ 1　(mod n)
φ(n) はオイラー関数
　1≦a<n のうち nと素なもの (正則元) の個数。
・素数pについて
　　φ(p^e) = (p-1)･p^(e-1)
・n = Πp^e のとき
　　φ(n) = Πφ(p^e)　… 乗法的

61 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 02:49:43.72 ID:K/hghBtO.net

　aがnと素　⇒　a^m ≡ 1　(mod n)
となる最小の自然数m をλ(n) とかく。
λ(n) は φ(n) の約数。
nが素数p, p^2 のときはオイラー関数 φ(n) と一致する。

カーマイケル関数λ(n)
　pが奇素数 または e≦2 のとき
　　λ(p^e) = (p-1)･p^(e-1)
　p=2 かつ e≧3 のとき
　　λ(2^e) = 2^(e-2),
　n = Π p^e のとき
　　λ(n) = LCM{λ(p^e)},

62 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 02:52:24.77 ID:K/hghBtO.net

〔Wilsonの定理〕
　(n-1)! ≡ -1　(mod n)　　　(nは素数)
　(n-1)! ≡ 2　(mod n)　　　(n=4)
　(n-1)! ≡ 0　(mod n)　　　(nは合成数(>4))

63 ：１３２人目の素数さん：2021/10/21(木) 02:54:26.20 ID:K/hghBtO.net

A = { m | 1≦m<n, mとnは互いに素}
の元を 正則元 とよぶ。

〔土岡の定理〕
3以上の自然数nに対して
(1)　Π[1≦m<n, (m,n)=1] m ≡ ±1　(mod n)
(2)　-1 となるのは n=4, n=p^e, n=2p^e のときである。
　　　 (pは奇素数で e≧1)

数学セミナー, vol.39, no.3, 通巻462号 (2000/Mar)
　p.69-70　NOTE

64 ：１３２人目の素数さん：2021/11/06(土) 16:21:03.89 ID:QOJe0Sk2.net

(x^5 + x + 1)/(x^5 + x^4 + 1)　を約分せよ。

(略解)
x^5 + x + 1,　x^5 + x^4 + 1 は x=ω, x=ω' のとき 0,
因数定理より　(x-ω)(x-ω') = xx+x+1 で割り切れる。

　x^5 + x + 1 = (xx+x+1)(x^3 -xx +1),
　x^5 + x^4 + 1 = (xx+x+1)(x^3 -x +1),
∴　(与式) = (x^3 -xx +1)/(x^3 -x +1)

MathLABO　東大・医 (?)
http://www.youtube.com/watch?v=E4Lv6kerh78 09:30

65 ：１３２人目の素数さん：2021/11/08(月) 10:58:05.57 ID:uftBQz4C.net

〔問題472〕
mを自然数とする。因数分解せよ。
　2^{2m+7} + 3^{2m} + 6^{m+2},
　2^{2m+3} + 3^{2m} + 6^{m+1},
　2^{2m-2} + 3^{2m} + 6^m,
　2^{2m-2} + 3^{2m+1} + 6^{m+1},

[面白スレ３９.472]

66 ：１３２人目の素数さん：2021/11/09(火) 23:00:30.43 ID:w8WlgVT8.net

〔問題481〕
2^a + 2^b + 2^c + 2^d + 2^e = n!
の自然数解 (a≦b≦c≦d≦e; n) は何個あるか？
［面白スレ３９.481]

67 ：１３２人目の素数さん：2021/11/10(水) 17:51:09.75 ID:VyY2sUiU.net

f(x) = (x^100 +1)^100 + (x^2 +1)^100 + 1
は x^3 -1 で割り切れるか。

　2003年京大前期(?)、改作
[高校数学の質問スレPart414．427]

68 ：１３２人目の素数さん：2021/11/10(水) 23:44:39.40 ID:VyY2sUiU.net

f(x) = (x^100 +1)^100 - (x^2 +1)^100 + x^100 - x^2
は x^3 -1 で割り切れるか。

69 ：１３２人目の素数さん：2021/12/12(日) 15:19:13.10 ID:09XTOR4c.net

黄色本始めました

70 ：１３２人目の素数さん：2021/12/31(金) 12:30:31.26 ID:xeMJjnAr.net

意外と難しい

71 ：１３２人目の素数さん：2022/03/26(土) 03:39:56.11 ID:FkQAmA77.net

3次対称群S_3の自己同型群Aut(S_3)はS_3と同型であることを示せ。

72 ：１３２人目の素数さん：2022/03/26(土) 04:40:48.79 ID:FkQAmA77.net

>>71
G = S_3とする

φ: G → Aut(G)を
φ(g) = (x → gxg^(-1))

で定義する。


�@ φは準同型である。
φ(gh) = (x → g(hxh^-1)g^(-1)) = φ(g)○φ(h)


�Aφは単射である。
φ(g) = id_Gとする。このときすべての元xについて、

gx = xg

が成り立つ。もし、g ≠ e（単位元）とすると、i ≠ g(i)となるi∈{1, 2, 3}が存在する。n∈{1, 2, 3} ＼ {i, g(i)}を取る。このとき、

x(i) = i
x(g(i)) = n

となるx∈S_3が存在して、

g(x(i)) = g(i) ≠ n = x(g(i))

となるから、gx = xgとならない。よって、g = eである。


�B |Aut(G)|≦6（= |G|）である。
Gは互換(1, 2), (2, 3), (3, 1)で生成されるから、f∈Aut(G)はf((1, 2)), f((2, 3)), f((3, 1))で決まる。
fは互換は互換に写す。

∵
gを互換として、nをf(g)の位数とする。G = S_3なので、nは1, 2, 3のどれか。G = S_3なので、2のときは互換である。
n = 1のとき、f(n) = eなので、fの単射性に反する。
n = 3のとき、f(gg) = e ≠ f(g)f(g)
よって、n = 2でなければならない。

よって、fの取り方は3 * 2 * 1 = 6以下。


�@、�A、�Bより、φは同型。□

73 ：１３２人目の素数さん：2022/03/26(土) 04:53:14.93 ID:FkQAmA77.net

�Aはn = 2のときに成り立たない。
�Bの「互換は五感に」の証明がn≧4のときに使えない。
あと、n = 2, 6のときにS_n 〜 Aut(S_n)は成り立たない。

74 ：１３２人目の素数さん：2022/03/26(土) 04:55:07.39 ID:FkQAmA77.net

>>73のnはS_nのnです。証明中のnではなく

75 ：１３２人目の素数さん：2022/07/13(水) 14:00:31.26 ID:8TqBmCOL.net

K を X^5 - 2 の Q上の最小分解体とする。
Gal(K/Q)と、K/Qの中間体の個数を求めよ。

76 ：１３２人目の素数さん：2023/01/31(火) 13:43:35.48 ID:He902Scr.net

位数7の有限体F_7上の一般線形群GL(2, F_7)は可解ではないことを示せ。

77 ：１３２人目の素数さん：2023/01/31(火) 16:17:27.86 ID:Jren69LW.net

部分群SL(2,F_7)の剰余群PSL(2,F_7)は交代群に同型ではない最小の非可換単純群だからな

78 ：１３２人目の素数さん：2023/01/31(火) 19:36:51.11 ID:yuKJYltt.net

Gを非可換群で以下の性質(*)を満たすものとする。

(*) N_1, N_2がGの相異なる非自明な正規部分群（すなわち{e}とG自身以外のもの）ならば、N_1⊂N_2でない。

(1) N_1, N_2がGの相異なる非自明な正規部分群ならば、G = N_1 × N_2であることを示せ。
(2) Gの自明でない正規部分群の個数は、高々2個であることを示せ。

(京大 2015)

79 ：１３２人目の素数さん：2023/02/01(水) 15:13:51.55 ID:G2VQ19ns.net

C(t)をC上の1変数有理関数体とする。aを複素数とし、s = t^3 + 3t^2 +at∈C(t)とおく。C上sで生成されたC(t)の部分体をC(s)とするとき、以下の問に答えよ。

(1) 拡大次数[C(t) : C(s)]を求めよ。
(2) C(t)/C(s)がガロア拡大となる複素数aをすべて求めよ。

(2015年 京大)

80 ：１３２人目の素数さん：2023/02/01(水) 15:45:14.75 ID:G2VQ19ns.net

(1)
多項式F(X)∈C[s][X]を

F(X) = X^3 + 3X^2 + aX - s

と定義する。FがtのC(s)上の最小多項式であることを示す。
明らかにF(t) = 0である。
FはC[s][X]で既約である。仮にFが既約でないとすれば、1次式と2次式の積に分解するが、1次の因数は(X ± 1)か(X ± s)でないといけない。しかし、係数を比較すれば、そのような分解は不可能であることが分かる。
C[s][X]はUFDなので、FはC(s)[X]でも既約である。
したがって、FはtのC(s)の最小多項式であり、よって[C(t) : C(s)] = [C(s)(t) : C(s)] = 3。

(2)
X + 1 = Yとおくと

F = (X + 1)^3 + (a - 3)X - s - 1
= Y^3 + (a - 3)Y - s - a + 2

Fの根の差積をΔとおくと、一般にFの分解体はC(t)(Δ)なので、C(t)がGalois拡大となるのはΔ∈C(t)のときである。

Δ = √(-4(a - 3)^3 - 27(-s - a + 2)^2)
= -4a^3 + 12a^2 - 12a + 4*27
-27(

...

まあ、a = 3のときだと思うよ

81 ：１３２人目の素数さん：2023/03/02(木) 18:57:59.89 ID:y9AtEthq.net

Fを位数7以上の体とするとき、

PSL(2, F) = SL(2, F)/{I, -I}

は単純群であることを示せ。

82 ：１３２人目の素数さん：2023/04/25(火) 06:05:47.36 ID:2bR+/t7w.net

意志あるところに道は開ける

83 ：１３２人目の素数さん：2023/09/04(月) 17:44:44.33 ID:7ywaF+MS.net

nを正の整数とする。C[[t]]の部分環Aと極大イデアルmの組(A, m)で以下の条件をみたすものをひとつ求めなさい。

(1) AはCを含む
(2) C[[t]]/Aの、Cベクトル空間としての次元は有限
(3) Aの商体における整閉包はC[[t]]
(4) m/m^2 のCベクトル空間としての次元はn

84 ：１３２人目の素数さん：2023/11/16(木) 21:03:48.86 ID:TaWcpNSY.net

>>83
A = C[[t^n, t^(n+1), ..., t^(2n-1)]]
m = (t^n, t^(n+1), ..., t^(2n-1))

(1) OK
(2) t^n以降全部消えるのでOK
(4) (2)よりOK

(3) t = t^(n+1)/t^nなので、Aの商体はC[[t]]を含む
C[[t]]は正則局所環だから商体内で整閉
よってAの商体内での整閉包はC[[t]]

85 ：１３２人目の素数さん：2024/01/09(火) 18:57:44.89 ID:nyoijM3o.net

(Z/pZ)^2の位数pの部分群の個数を求めよ。

86 ：１３２人目の素数さん：2024/01/09(火) 19:30:55.41 ID:QxujZQEY.net

有限射影空間

87 ：１３２人目の素数さん：2024/01/10(水) 01:59:45.74 ID:TkXdPBKA.net

(p^2-1)/(p-1)個

88 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 13:57:08.24 ID:YZcuWVNs.net

(p^3-1)/(p-1)

89 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 12:43:31.51 ID:j51uwkB2.net

ウッソ

90 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 21:41:08.41 ID:sgJI4piv.net

150位