虚数乗法論と保型函数

1 ：１３２人目の素数さん：2021/01/16(土) 18:35:59.45 ID:qvYct10a.net

Shimura, Abelian Varieties with Complex Multiplication and Modular Functions.を読む

2 ：１３２人目の素数さん：2021/01/16(土) 18:49:51.57 ID:qvYct10a.net

志村五郎, 保型函数と整数論i
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/11/4/11_4_193/_pdf/-char/ja

を読んで感銘を受けて（2はこれより難しいので一部しか読んでない）

久賀道郎, 講座の批評「近代的整数論」, 数学の歩み 5巻3号(1957)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/SugakuAyumi/1957ayumi-5-3(1957).pdf

を読んで、

志村, 谷山, 近代的整数論

を読もうとしたが、絶版で入手できないので、内容がほぼ同じで新しい>>1を読むことにした

3 ：１３２人目の素数さん：2021/01/16(土) 20:06:05.51 ID:qvYct10a.net

志村は「数学で何が重要か」(2013)で「相互律が重要」と書いているが、1960年から同じこと言ってたんだな

4 ：１３２人目の素数さん：2021/01/16(土) 21:44:00.72 ID:s6m33an3.net

Abel多様体の等分点って、今でいうところのエタールコホモロジーだからな
まさしく数論幾何の原点だよ

5 ：１３２人目の素数さん：2021/01/16(土) 22:22:02.46 ID:KrBRPOrJ.net

>>4
全然その辺の関係知らないんだけどエタールコホモロジーの中に等分点の情報が入ってるってこと？それとも定義の契機に関係してるってこと？

6 ：１３２人目の素数さん：2021/01/16(土) 23:58:48.74 ID:AwqpM06y.net

Abel多様体に対し、その等分点の集合は1次エタールコホモロジーと解釈できる

7 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 00:20:26.90 ID:YZvz4cRR.net

円分体、楕円曲線の虚数乗法、類体論の場合はAbel拡大だから、Galois群の既約表現は1次元だから指標で定まる
モジュラー対応の場合は、Galois群は一般には非可換だから2次元以上の表現（カスプ形式から得られる）が出てくる
これも今流行りのやつの例になってる

8 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 08:41:52.77 ID:u4aV0a5W.net

>>4
ああっ、まだシルヴァーマン＆テイトの３章の
Mordellの定理のとこ読んでるんだよ！
いきなり６章に飛ばないでくれ！頼むｗ

「この章では、有理数体Ｑの拡大体で特に重要なものが、
　楕円曲線の等分点（すなわち有限位数の点）から生成されることを述べる」

9 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 12:04:48.61 ID:ffNbEJ0s.net

>>6
Abel多様体ではない一般の多様体の場合はどういう解釈になるの？

10 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 12:57:24.51 ID:9qV4lodK.net

Mumfordは高すぎるので、Milneのノートと突き合わせてAbel多様体の賞を読む
まあ、Picard群とか、同種とかそういうのが分かってれば読める気はする

11 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 13:08:07.29 ID:9qV4lodK.net

楕円曲線Eの場合、Eの定義方程式はQにj不変量を添加した体で、これがEnd(E)の最大不分岐Abel拡大なのだか、高次元の場合はj不変量に当たるものがない

Aが高次元の場合は、Aを適当な部分群で割ったKummer多様体というものの最小定義体がEnd(E)の最大不分岐Abel拡大を与える、ということが書いてある

12 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 13:17:19.83 ID:C3EBuX8E.net

やりたい分野によるんだろうけど、Abel多様体をスキーム理論で書いた本を読むより、まずは小林昭七の複素幾何の最後とか、Griffiths & Harrisの2章の後半とか読んだ方が役に立つかも

13 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 14:21:51.25 ID:u4aV0a5W.net

>>12
＞小林昭七の複素幾何の最後

ここら辺か

第8章　複素トーラスとAbel多様体
　§8.1　複素トーラスのコホモロジー
　§8.2　トーラス上の線束
　§8.3　Abel多様体
第9章　Riemann面への応用
　§9.1　Riemann面上の線束と因子
　§9.2　Jacobi多様体
　§9.3　Abelの定理
　§9.4　Jacobi多様体の周期行列

14 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 14:25:08.92 ID:u4aV0a5W.net

>>12
＞Griffiths & Harrisの2章の後半

ここの後半の節か

Riemann Surfaces and Algebraic Curves
　Preliminaries
　Abel's Theorem
　Linear Systems on Curves
　Plücker Formulas
　Correspondences
　Complex Tori and Abelian Varieties
　Curves and Their Jacobians

15 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 14:26:59.07 ID:u4aV0a5W.net

結論
　♪ヤコビア~ン
https://www.youtube.com/watch?v=7VXwlZZW2JM&ab_channel=%E8%91%9B%E5%9F%8E%E3%83%A6%E3%82%AD-Topic

16 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 14:48:16.42 ID:C3EBuX8E.net

>>9
絶対Galois群が作用するl進数係数のベクトル空間になる

有限体上の代数多様体なら、その有理点はFrobenius写像の不動点
この個数は、Frobenius写像がエタールコホモロジー群に誘導する線型写像のトレースの交代和で表される

また、合同ゼータ関数はFrobenius写像が誘導する線型写像の行列式の積になっている
楕円曲線の場合、1次のエタールコホモロジー群への作用の固有多項式は2次だから、ここから有理点の個数を評価するHasseの定理が出る

これを、重さ12のカスプ形式の空間に対応する11次元代数多様体に適用したのが、DeligneによるRamanujan予想の証明

17 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 15:07:10.38 ID:u4aV0a5W.net

>>16
>（不動点の）個数は・・・線型写像のトレースの交代和

レフシェッツの不動点定理　でしたっけ？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%95%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%83%83%E3%83%84%E4%B8%8D%E5%8B%95%E7%82%B9%E5%AE%9A%E7%90%86

レフシェッツ不動点定理(Lefschetz fixed-point theorem)は、
コンパクトな位相空間 X からそれ自身への連続写像の不動点の数を、
X のホモロジー群の上の誘導された写像のトレースによって数える公式である。

18 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 15:37:58.22 ID:u4aV0a5W.net

>>16
>ゼータ関数は…線型写像の行列式の積

レフシェッツといえば、こんなのもあったな

Lefschetz zeta function
https://en.wikipedia.org/wiki/Lefschetz_zeta_function

19 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 16:57:47.69 ID:ffNbEJ0s.net

>>16
thx

20 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 21:05:10.02 ID:Oqd/9tFF.net

最近じゃ物理学板で相手されなくなった俺。
数論はなんかモチベーションが…

21 ：１３２人目の素数さん：2021/01/21(木) 18:13:42.77 ID:6zmE/i6D.net

モジュライって、別に分類問題の解を与えるから重要なんじゃなくて、その数学的構造自体が重要なんだよな

22 ：１３２人目の素数さん：2021/01/22(金) 00:08:40.60 ID:oPO2wzT8.net

>>12,>>13
>まずは小林昭七の複素幾何の最後とか、
>Griffiths & Harrisの2章の後半とか読んだ方が役に立つかも

というかリーマン面はマストでしょう
俺は岩沢先生の代数関数論をめっちゃ読みたい
でもその前にルベーグ積分を(要するに解析の基礎を)キチンと学んでおきたい
ルベーグ積分はRudinが読めたら、haar測度を使って類体論を
証明してるweilの本を次に読みたい
代数関数論を読むのはそれからになるだろうな
その後はやっとこさ志村の保型形式の本に挑める、ここでやっと一区切りかな
その後は肥田のR＝Tの教科書か、保型表現の本か
あとSGAも読まなきゃいけない、おっと、もっと素朴な初等整数論も決して
侮れないからHardyの本でも、・・・って、生きてるうちに絶対終わらねーなこれ
物理もやりたいし

23 ：１３２人目の素数さん：2021/01/22(金) 12:26:35.32 ID:GpU7tMdw.net

スキーム論なんて、可逆層と射影スキームだけ覚えとけばいいぞよ

24 ：１３２人目の素数さん：2021/01/22(金) 17:23:03.34 ID:kl+0ajN3.net

>>22
あなたの専攻を教えてください

25 ：１３２人目の素数さん：2021/01/23(土) 09:15:46.86 ID:0w8ThFcN.net

Abel多様体のモジュライに関する完結なノートを見つけた
https://www.math.purdue.edu/~arapura/preprints/abelian.pdf

Tata Lectures on Theta 1と合わせて読むと良さそう

26 ：１３２人目の素数さん：2021/01/23(土) 19:00:14.83 ID:6aG2aT84.net

Weilのケーラー多様体の本にも、Abel多様体とテータ関数の解説あるんだな

27 ：１３２人目の素数さん：2021/01/24(日) 00:39:15.48 ID:N3jXm7Or.net

>>24
専攻も何も
とうの昔に大学卒業したただのオッサンですよ
散歩が趣味

28 ：１３２人目の素数さん：2021/01/25(月) 16:31:12.71 ID:vpFTLc68.net

SilvermanのThe Arithmetic of Elliptic Curvesの有限体上とC上のところまで
Abel多様体とテータ関数（たとえばWeilのIntroduction à L'Étude des Variétés Kähleriennes）
1変数の保型形式を何か

あたりの予備知識があればなんとか読めそうなんだがなぁ
難しいな

29 ：１３２人目の素数さん：2021/01/25(月) 16:31:25.32 ID:vpFTLc68.net

あと類体論も必要か

30 ：１３２人目の素数さん：2021/01/26(火) 01:05:24.89 ID:oiVUdyRf.net

>>28
>なんとか読めそう

それって
Shimura, Abelian Varieties with Complex Multiplication and Modular Functions
のこと？
そんなに楕円曲線やテータ関数の予備知識って必要なん？

31 ：１３２人目の素数さん：2021/01/26(火) 08:17:31.79 ID:LhySJJid.net

知らん

32 ：１３２人目の素数さん：2021/01/26(火) 11:58:15.54 ID:xoEaYIid.net

Abel多様体の知識を前提としているのだから、楕円曲線は知っていて当然でしょ。別にあらゆる事項を把握していなければいけないわけではないが。
そもそも、そこら辺に書いてあること（有限体上の楕円曲線の有理点とか、複素数体上の楕円曲線の射影空間への埋め込みだとかモジュライだとか）は、このレベルの本を読む人にとって大して高度な知識ではない

33 ：１３２人目の素数さん：2021/01/27(水) 03:00:07.40 ID:03IW+JFD.net

>>32
>Abel多様体の知識を前提としているのだから

前提なの？？
その知識自体をゼロからレクチャーする本じゃないの？

34 ：１３２人目の素数さん：2021/02/02(火) 22:47:00.70 ID:4fmq+eXp.net

Abel多様体のためにコンパクトKähler多様体とか群スキームとかを時間かけて勉強するよりも、単に結果を認めればいいと思う

Riemann-Rochの定理やSerre双対性なんかを証明してから楕円曲線を勉強し始めるくらい遠回りだと思う

35 ：１３２人目の素数さん：2021/02/09(火) 07:24:27.04 ID:KmcX9ova.net

>>34
そんなのは当人の自由
私は自分が必要だと思った事はどんな遠回りでもキチンとフォローしたい

36 ：１３２人目の素数さん：2021/02/09(火) 11:35:31.00 ID:gj77K+Km.net

そうですか。

37 ：１３２人目の素数さん：2021/02/25(木) 05:07:06.79 ID:aBj64iNQ.net

志村の保型形式の本を読むために
今はもう淘汰されてしまったヴェイユの代数幾何学を知らなきゃいけないと
聞いたことあるけど
これはハーツホーン1章の古典代数幾何学ともまた違うの？

38 ：１３２人目の素数さん：2021/03/05(金) 11:37:28.71 ID:2mzS1rcJ.net

万有体とかいう謎の概念が出てくる
また、代数多様体の積は代数のテンソル積と対応するが、整域のテンソル積は整域になるとは限らないので、正則拡大とかいう条件を考慮する必要がある

39 ：１３２人目の素数さん：2021/03/05(金) 11:39:13.37 ID:2mzS1rcJ.net

Weilの原典を読まずとも、おそらく志村本（Introduction to arithmetic theory of automorphic functions）の附録に必要事項は書いてある

40 ：１３２人目の素数さん：2021/03/16(火) 16:45:35.17 ID:1LG9DdXP.net

>>1を読んでて気付いた（正確には、薄々気付いていたが、確信に変わりつつある）

これの後ろの2章はそれ以前の章とはあまり関係ない
これはAbelian Varieties with Complex Multiplication and its Applications to Number Theoryの続編というより、
後半の内容の本を書いていて、それをself-containedにするために、前の本を微修正したものを付け足しただけ

41 ：１３２人目の素数さん：2021/03/22(月) 15:33:50.74 ID:2Gk1S8LQ.net

保型性の裏には2次元のトーラスが隠されていることが多い。

数学セミナー, vol.36, no.8, p.34 (1997/Aug)

42 ：１３２人目の素数さん：2021/08/18(水) 21:17:34.69 ID:cqMCjG1x.net

重さ2のカスプ形式は

f(z)dz

が正則ということだから、正則な微分形式
つまり、重さ2のカスプ形式の空間の次元は、モジュラー曲線の種数

43 ：１３２人目の素数さん：2021/08/23(月) 21:02:40.10 ID:kX9dw/sT.net

XをAbel多様体
x∈Xに対して、t_x: X → Xを

t_x(y) = x + y

で定める。

44 ：１３２人目の素数さん：2021/08/23(月) 21:09:51.45 ID:kX9dw/sT.net

Abel多様体の射f: X→Yと、Yのline bumdle L（π: L → Y）に対して、Xのline bundle f*Lが

X ×_Y L

で定まる。（x∈Xのファイバーf*L_xが、{ (x, a)∈ {x}×L | π(a) = f(x) }ということ）

45 ：１３２人目の素数さん：2021/08/23(月) 21:12:19.06 ID:kX9dw/sT.net

X: Abel多様体
L: Xのline bundle

Φ_L: X → Pic(X)

を

Φ_L(x) := (t_x)*L ⊗ L^(-1)

で定める。

46 ：１３２人目の素数さん：2021/08/23(月) 21:37:07.04 ID:kX9dw/sT.net

Pic0(X)⊂Pic(X)を、

Pic^0(X) := { L∈Pix(X) | Φ_Lが恒等的に0 }

で定める。Pic^0(X)にはAbel多様体の構造が入る。これをXの双対Abel多様体という。

47 ：１３２人目の素数さん：2022/01/22(土) 23:21:16.55 ID:J/u1Mx+0.net

レベルNのモジュラー曲線X(N)の種数gは、レベルN重さ2のカスプ形式の空間の次元であり、g ≥ 1ならそのJacobi多様体を調べることで、X(N)の性質も分かった。
ところが、g = 1の場合はJacobi多様体は自明になってしまう。[D71]では、X(N)のJacobi多様体を考える代わりに、X(N)上の普遍楕円曲線族を考えることで、l進コホモロジーを用いて、モジュラー判別式Δに対するRamanujan予想を示している。
これの類推で、ある程度分かりやすくてかつ豊かな構造を持っている対象のモジュライ空間のコホモロジーを弄ることで、何か出てこないだろうか。

……と去年の暮れから考えているのだけど、何も出てこないね。代数群とか志村多様体とか勉強してるんだけども。

ところで、一元体Funも上記のJacobi多様体ような「位数1だと自明になってしまう」という問題を抱えている。
これも、やっぱり何かのモジュライ空間の中に、その本質が宿っているのではないだろうか。

[D71] P. Deligne, Formes modulaires et représentations l-adiques.

48 ：１３２人目の素数さん：2023/01/23(月) 13:43:31.40 ID:640/6xWh.net

保型表現論おもしろい

49 ：１３２人目の素数さん：2023/01/23(月) 14:15:56.81 ID:640/6xWh.net

Hasse-Weilゼータ函数も、局所コンパクト群の積分で書けるの？

50 ：１３２人目の素数さん：2023/01/23(月) 16:52:06.72 ID:QHM8WHFS.net

何がどう面白いのか
ここで日記風に書いていこう

51 ：１３２人目の素数さん：2023/01/23(月) 16:52:36.87 ID:Dbj/UuHR.net

>>49
2次元arithmetic schemeの場合をIvan Fesenkoがやってる
一般は未解決だと思う

52 ：１３２人目の素数さん：2023/01/23(月) 23:35:27.42 ID:0E/p1Jd4.net

代数体の整数環は係数体が無いからF_1が見つかるといいな、って話だけど
よく考えたらl進コホモロジーは、p≠lならmod pの還元で上手く機能して、全部Q_lベクトル空間じゃん
これ集めてベクトル束みたいにしようぜ

53 ：１３２人目の素数さん：2023/01/23(月) 23:43:23.51 ID:QHM8WHFS.net

l進コホモロジーはいいとして、p進コホモロジーはどうなる？

54 ：１３２人目の素数さん：2023/01/24(火) 00:43:56.56 ID:/fJXR91J.net

p進コホモロジーは難しいから分からない
正直、p進化はFaltingsとかが全部やっちゃってもう凡人に開拓できるもの残ってないでしょ

55 ：１３２人目の素数さん：2023/01/24(火) 09:31:10.49 ID:fACuCKQV.net

保型表現と志村多様体の関係はどうなってる？

56 ：１３２人目の素数さん：2023/01/25(水) 03:44:32.55 ID:OQCinSI8.net

何年数学板にはりついてんだお前は
中身の無いこと書き込んでる暇あったら
本の一冊でも読んだらどうなんだ

57 ：１３２人目の素数さん：2023/01/25(水) 15:49:48.75 ID:ED63O1Xq.net

いいんじゃないか？
そんなのに決まりはないから