純粋・応用数学（含むガロア理論）6

１３２人目の素数さん

つづき

以下、本節では一つ目の意味で「決定不能」と書く。特定の形式的体系の下である命題が決定不能であることは、その命題の真理値がwell-definedであるかどうかや他の手段で決定可能かどうかについては明らかにしない。決定不能ということが意味するのは、あくまで使用されている特定の形式的体系の下ではその命題の真偽をいずれも証明できないということにすぎない。真理値を決して知ることができないか、または真理値の定義自体が無効となるような、いわゆる「絶対的決定不能」命題が存在するのかどうかは数理哲学における論争の的となっている。

ゲーデルとポール・コーエンの仕事を合わせて、決定不能命題の確かな実例が得られた。連続体仮説はZFC（集合論における標準的な公理系）の下では証明も否定の証明もできない。また、選択公理もZF（ZFCに含まれる公理から選択公理を除いたもの）では証明も否定の証明もできない。これらの結果は不完全性定理を必要としない。1940年、ゲーデルはこれらの命題が何れも ZF または ZFC 集合論では否定を証明できないことを証明した。1960年代、コーエンはこれらがいずれも ZF から証明できず、また連続体仮説が ZFC から証明できないことを証明した。

マチャセビッチによるヒルベルトの第10問題の解決により、決定不能な命題の例が得られる。そのような例はディオファントス方程式の外側に存在量化子を幾つか並べた形として得られる。すなわち不完全性定理の前提条件を満たす形式的体系において、解の存在が証明も反証もできないようなディオファントス方程式が存在する。

1973年、群論におけるホワイトヘッドの問題（英語版）が標準的な集合論では決定不能であることが示された。

つづく