純粋・応用数学（含むガロア理論）6

現代数学の系譜雑談

>>745
つづき

2 $[(a)$ naive set theory $=$ Cantor の集合論』の場合
“naive set theory” を (a) の意味で解釈する立場からは，
$(\dagger$ $)$ [素朴集合論は (ラッセルのパラドックスなどにより) 矛盾している」
あるいはこれに類した表明が屡々なされ，このような主張がインターネット上で広く流
布さえしている．置かれた文脈によっては必ずしも間違いとは言えない場合もあるかも
しれないが，少なくとも，この表明自身は，以下の意味で歴史的，数学的な事実に対し
て間違っている力$\searrow$ 間違っていないとしても，極めて misleading なものになっている．
また，この表明が初学者に間違った印象を与えることを恐れるものだが，実際，これが
なされている場所を見てみると，ある種の儒数学のプロパガンダと組になっていて，む
しろ意図的に歴史的な事実を曲解させることを目論んでいることも少なくないように思
える．
いずれにしても，$na$ive set theory としてのカントルの集合論は，「矛盾していた」と
いういう表明は，それ自身 nalve すぎるし，数学的な事実を反映もしていない，と確言
できそうである

3 『 $(b)$ naive set theory $=$ 数理論理学を用いた厳密な公理化の
行なわれる前の (公理的) 集合論』の場合

(b) の意味で nalve な集合論は通常の数学を展開するのに十分に厳密な枠組を提供し
ている．そのことは，[11] の後半での展開がすでに示唆しているし 5), たとえば Halmos
の教科書 [7] がより明白な形で示していることでもある．

5 $)$ [11] では，関数も特別な集合として扱う，という Dedekind らの議論には決定的に欠けていたアイデ
アが明確に現れている．しかし，順序対の導入がまだできていないために．そこでの関数の扱いは，定義
域と値域が disjoint な場合のみの 1 対 1 関数のみを扱かう，という，非常に不器用な形でしかできていな
い．ただし，そのことを除くと，[11] での議論は．集合論の内部ですべての数学が展開できることを十分
に示唆するものになっていると言えると思う．

つづく