純粋・応用数学（含むガロア理論）6

689 ：１３２人目の素数さん：2021/04/02(金) 20:57:27.74 ID:btZRWXcD.net

>>686
>>試しに数1を、空集合{} に、"通常の集合演算"を施したものとして表してみて？

おサルの「教えてくれくれ」発言か
文典調べれば分かるよ
自得しろよ

1）例えば、下記の「0 := {{}}, suc(a) := a ∪ {a} と定義したならば、・・・のような多少複雑な自然数になる。」のところを、しっかり読んで理解しなよ（”ペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べる”とある）
2）それで、”数1を空集合{} ”にして、適当に後者関数 suc(a) を使って、ペアノの公理を認めれば、1から始まる自然数の集合Nが構成できるよね（0はまだ構成できていないが）
3）次に、整数wikipedia の”厳密な構成”をご覧あれ。直積集合 N^2と同値関係〜を使って、負の整数 -mを定義するとある
4）m + (-m) =R として、R をあらためて 0 と書くこととするってよ。ゼロ”0”を導入できたね。これで、”整数の集合 Z が厳密に定義された”とあります
5）後は、Zに積を入れて、逆元を入れて、有理数の集合Qを構成して、そこから有理数Qを完備化して実数体Rを構成する（コーシー列とか、デデキントの切断を使う）

繰り返すが
文典調べれば分かるよ
自得しろよ

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数

形式的な定義
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。

空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}.
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc (a):=a∪{a}.
・0 := {}
・1 := suc(0) = {0} = {{}}
・2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
・3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。

以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。

0 := {{}}, suc(a) := a ∪ {a} と定義したならば、
・0 := {{}}
・1 := {{}, 0} = {{}, {{}}}
・2 := {{}, 0, 1} = {{}, {{}}, {{},{{}}} }
・3 := {{}, 0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{},{{}}}, {{},{{}},{{},{{}}}} }
のような多少複雑な自然数になる。

つづく