純粋・応用数学（含むガロア理論）6

434 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/06(水) 23:54:43.94 ID:3b8T7quc.net

>>394
まず、訂正
群順同型→群準同型

(引用開始)
２．だから、完全な数学命題としては、
　「群Gが指数有限nの部分群Hを含めば、HによるGの剰余類から完全代表系を作って、X＝{g1H,g2H,・・,gn-1H,H}として、群GよりXへの左からの作用で (下記 orbit-stabilizer theorem) 、n次対象群の部分群G'を作ることができ、群準同型Φ：G→G’から、Gの正規部分群N：＝kerΦを取ることができる。商群G/kerΦの位数はm(ここにmはn！の約数（ラグランジュの定理）であり、よって指数有限mの正規部分群Nを含む」
　となるね
(引用終り)

１．完全な数学命題（「orbit-stabilizer theorem + 第一同型定理」とでも名付けますかね）から、
　直ちにいくつかの系が浮かぶ
２．例えば、
　・Gの正規部分群N：＝kerΦで、群同型 G/kerΦ≡G’ができるから、これはHには依存しない。たんに正規部分群Nの存在のみで決まる
　（例えば、Gが単純群だとすると、部分群Hがいくつもあるとしても「そんなのカンケーネェ〜」！（小島よしお）となり、単にkerΦ＝{e}で、群同型 G≡G’になる）
　・Gで、複数の正規部分群 N1⊃N2⊃・・⊃{e} があると、Gの正規部分群の数だけGの準同型の種類がある
　・有限群Gにおいて、kerΦ＝{e}ととると（{e}自身が（自明な）部分群であり）、位数をnとして、orbit X=Gと取って、対称群Snの部分群G’⊆Snとして
　　G≡G/kerΦ≡G’とできる。「これぞ、ケーリーの定理」！であり、これも一つの系になる

などなどね（＾＾