純粋・応用数学（含むガロア理論）6

380 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/03(日) 12:50:37.70 ID:zqyRRCig.net

>>379
つづき

６．>>288 龍氏の動画”定理 群準同型 Φ：G→G’による正規部分群N’の逆像Φ-1(N’)はGの正規部分群である”
　を使って、「kerΦが正規部分群」を証明するのは、東大の院試としてはまずいだろう
　龍氏の定理を示す方が、「kerΦが正規部分群」を証明するよりも、難しい
　そして、証明なしに龍氏の定理を使って、「kerΦが正規部分群」を証明したことにすると、かなり低い点で終わりそうです（＾＾；

追伸
考えてみると、東大の院試、良問ですね。初見では、さっぱりでした（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8
群作用

5 軌道と等方部分群

群 G が集合 X に作用しているとき、X の点 x の軌道 (orbit) とは、G の各元を x に作用させた要素の集合である。x の軌道を Gx で表せば、
Gx={gx｜ g∈ G}
と書くことができる。群の性質から、X における（各点の）G の作用に関する軌道全体の成す集合が X の類別を与えることが保証される。この類別に対応する同値関係 〜 は「x 〜 y となる必要十分条件は gx = y となる g ∈ G が存在すること」として得られる。軌道はこの同値関係に関する同値類であり、二つの元 x, y が同値であることは、それらが属する軌道が一致 (Gx = Gy) することとして述べることもできる。

G の作用に関する X の軌道全体の成す集合は X/G（あるいは多少稀だが G ?X）で表され、G の作用による X の商 (quotient) とも呼ばれる。幾何学的な設定では軌道空間 (orbit space) とも、代数的な設定では余不変式 (coinvariant) の空間とも呼ばれ、XG で表される（これに対して不変式（不動点）の全体は XG で表される。余不変式の全体が「商」なのに対し、不変式の全体は「部分集合」となる）。余不変式の概念と記法は特に群コホモロジーと群ホモロジー（これも同様の添字の上付き・下付きで区別する慣習がある）で用いられる。

つづく