純粋・応用数学（含むガロア理論）6

379 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/03(日) 12:49:20.93 ID:zqyRRCig.net

>>338
分かりました 分かりました
（>>131より 再録）
　"昔々、多分１９６０年ころの東大の院試問題で
　「群が指数有限の部分群を含めば、指数有限の正規部分群を含む」

１．これ、”軌道・固定群定理 (orbit-stabilizer theorem) ＋準同型写像の第一同型定理”という筋ですね
２．軌道・固定群定理 (orbit-stabilizer theorem)は、下記及び大矢>>304＆>>291をご参照
　つまり、群Gの指数有限の部分群Hがあると、Hによる剰余類 G/H={g1H,g2H,・・・,gn-1H,H} 完全代表系を作って、これから軌道を考える
　n次対称群Snの部分群ができて、準同型写像Φ：G→G’⊆Sn を考えることができる
　stabilizer（固定群）が、kerΦになる（G’の位数はn！の約数m）
３．N：＝kerΦとして、あらためて剰余類G/Nを考えると、G/Nは群を成し（準同型定理）、G/N≡G’⊆Sn（G/N≡G’は同型（第一同型定理））
　G/Nの位数はm（有限）で、従って、Gは指数m（有限）の正規部分群Nを持つ。QED
４．>>288 龍氏の動画”定理 群準同型 Φ：G→G’による正規部分群N’の逆像Φ-1(N’)はGの正規部分群である”
　は、Gを有限群として、N：＝kerΦとして、G/N≡G’⊆Sn（G/N≡G’は同型（第一同型定理）だから、
　N’⊆G’なる正規部分群N’が存在すると、同型G/N≡G’から、N’の逆像 ’N：＝Φ-1(N’）⊆G/N として、
　’N がG/N 中の正規部分群であることを示す。これで実質終わっているが、群’NをG/N→Gの形で、G中に正規部分群を構成する
　まあ、そんな筋で、証明できますね。（きっちり書くには、群の記号を更に整備しないといけないが、この板では上下の添え字とか使えないので、面倒だからやめる）
５．ケーリーの定理（大矢 定理 11.3）（>>305もご参照）も、orbit-stabilizer theoremの応用と考えることができる（orbitがG自身）

つづく