純粋・応用数学（含むガロア理論）6

353 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/02(土) 11:45:21.02 ID:k00K5jWz.net

>>338 自己レス
(引用開始)
（補足）
準同型写像Φで
　Im Φ＝G’⊇　Ｎ’　　　⊇{e’} で、
　　↑↓
逆像　 Ｇ　　⊇Φ-1(N’)⊇kerΦ⊇{e}
という対応関係になる
(引用終り)

「逆像　 Ｇ　　⊇Φ-1(N’)⊇kerΦ⊇{e}」
の部分だけを見ると、それぞれが正規部分群だから
第三同型定理の形に見える
が、「準同型写像Φで
　Im Φ＝G’⊇　Ｎ’　　　⊇{e’} 」
を仮定して
「逆像　 Ｇ　　⊇Φ-1(N’)⊇kerΦ⊇{e}」
を言わないといけないとなると
第一同型定理が使いやすいね

それで、kerΦが正規部分群で、商群の同型 Ｇ/kerΦ≡G’（＝ＩｍΦ） を使う証明をすると
これを、「kerΦが正規部分群」の証明に使うと、完全に循環論法になる
もちろん、「kerΦが正規部分群」ということを使わない証明を考えることができれば良いが、結構大変になると思うし、思い付かないし
しかも、「kerΦが正規部分群」は簡単に言えるし、なので龍氏の動画はちょっとね