純粋・応用数学（含むガロア理論）6

317 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/02(土) 00:13:20.70 ID:k00K5jWz.net

>>316
つづき

（正規部分群でなければ、うまくいかない例が下記にあるよ）
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/index-j.html
星　明考 (HOSHI, Akinari)
新潟大学理学部理学科数学プログラム准教授
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/teaching2012-j.html
　[ 2012 ] [非常勤講師] 前期 早稲田大学教育学部数学科 代数序論A (木3)
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/2012/algint13.pdf
代数序論（第 13 回・2012/07/12）

P43
定義 (正規部分群)．群 G の部分群 H が，gH = Hg (∀g ∈ G) を満たすとき，H を G の正規部分群 (normal
subgroup) といい，H ＜△ G とかく．このとき，(左，右剰余類は一致するので) gH を単に剰余類という．
定理．H を G の正規部分群 (H ＜△ G) とする．剰余類の集合 G/H = {gH | g ∈ G} に対して，積 * を
(g1H) * (g2H) = (g1g2)H
と定義すれば，well-defined であり，この演算で (G/H, *) は群をなす．
群 G/H の単位元は H (= eH)，gH の逆元は (gH)-1 = g-1H である．
(← G が加法群の場合には，単位元は H (= 0 + H)，g + H の逆元は -g + H)
注意．上記命題の (2) から well-defined が分かる，逆に言えば，左剰余類と右剰余類が一致しない (正規部
分群でない) 場合には，積 * は well-defined ではない．例 3 (p.39) 参照)
定義 (剰余群，商群)．群 (G/H, *) を群 G の正規部分群 H による剰余群または商群という．

つづく