純粋・応用数学（含むガロア理論）6

313 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/02(土) 00:11:34.98 ID:k00K5jWz.net

>>312
つづき

一般的性質
H は群（部分群）であるので、gH = H となるのは、g が H の元であるとき、かつそのときに限る。必然的に、H は演算に対して閉じており、単位元を含む。

G における H を法とする左剰余類がふたつ与えられたとき、それらは一致するかさもなくば交わりを持たない。すなわち、左剰余類全体の成す集合は（G の各元がちょうど一つの左剰余類に属すような）G の類別である[1]。特に単位元はただ一つの剰余類（それは H 自身である）のみに属する。それは部分群となる唯一の剰余類である。上記の例も参照のこと。右剰余類についても同様。

H の G における左剰余類は、x 〜 y となるのは x-1y ∈ H となるとき、かつそのときに限るとして定まる G の同値関係に関する同値類である。右剰余類に関しても同様のことが言える。剰余類の代表元とは、この同値関係に関する同値類における代表元の意味でいう。すべての剰余類から代表元をとって得られる集合を完全代表系（complete system of representative）という。

群には（部分群の共軛のような）ここで述べた性質を持たない同値類を与えるような別の種類の同値関係も存在する。（特に応用群論の）文献のなかには、共軛類を同値類の一種としてではなく「唯一の」同値類であると誤って考えているものもある。

つづく