純粋・応用数学（含むガロア理論）6

312 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/02(土) 00:11:15.60 ID:k00K5jWz.net

>>311
つづき

定義
G が群で、H がその部分群、g は G の元とする。このとき、

gH={gh:h∈ H}
を G における H の（H による、H に関する、H を法とする）左剰余類 (left coset) といい、

Hg={hg:h∈ H}
を G における H の（H による、H に関する、H を法とする）右剰余類 (right coset) という。文献によってはここでいうものと左右が逆になっているものもあるので注意を要する。H が正規部分群である場合に限り左剰余類と右剰余類の両概念は一致する（これを以って正規部分群の定義とする場合もある）。

剰余類は、G において何らかの部分群による左剰余類や右剰余類となるものの総称である。Hg = g(g-1Hg) が成立するから、部分群 H についての「右剰余類 Hg」というのと、H と共役な部分群 g-1Hg についての「左剰余類 g(g-1Hg)」というのとでは同じことを言っていることになる。これはつまり「まずどの部分群に関する剰余類を考えているのか」を明らかにすることなしに、その剰余類が右なのか左なのかを云々することには意味が無いということである。

つづく