純粋・応用数学（含むガロア理論）6

309 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/02(土) 00:09:38.45 ID:k00K5jWz.net

>>308
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0
部分群の指数

群 G における部分群 H の指数 (index) は G における H の「相対的な大きさ」である。同じことだが、G を埋め尽くす H の「コピー」（剰余類) の個数である。

H の G における指数は通常 |G : H| あるいは [G : H] あるいは (G:H) で表記される。

正式には、H の G における指数は H の G における剰余類の個数として定義される。（H の G における左剰余類の個数はつねに右剰余類の個数と等しい。）

N が G の正規部分群であれば、G における N の指数はまた商群 G / N の位数にも等しい、なぜならばこれは G における N の剰余類の集合における群構造の言葉で定義されるからである。

G が無限であれば、部分群 H の指数は一般には 0 でない基数になる。上の例が示すように、それは有限 - つまり、正の整数 - かもしれない。

G と H が有限群であれば、H の G における指数は 2 つの群の位数の商に等しい：
|G:H|=|G|/|H|.
これはラグランジュの定理であり、この場合商は必ず正の整数である。

つづく