純粋・応用数学（含むガロア理論）6

304 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/02(土) 00:06:43.38 ID:k00K5jWz.net

>>303
つづき

定義 11.4
G × X → X, (g, x) → g ・ x を集合 X 上の群 G の作用とする．G の作用による x ∈ X の G-軌道(G-orbit) を
G ・ x := {g ・ x | g ∈ G}(⊂ X)
と定める．また，x ∈ X における G の固定部分群 (stabilizer) を
Gx := {g ∈ G | g ・ x = x}(⊂ G)
と定める．記号は似ているが G ・ x は X の部分集合であり，Gx は G の部分集合であることを注意して
おく．
軌道と固定部分群に関する以下の基本命題を述べよう．
命題 11.5
G × X → X, (g, x) → g ・ x を集合 X 上の群 G の作用とする．このとき，以下が成立する．
(1) 集合 X において，
x 〜 y ⇔ 　ある g ∈ G が存在して，x = g ・ y
とすると，〜 は X 上の同値関係を定める．このとき，x ∈ X の G-軌道 G ・ x は同値関係 〜 に関
する x の同値類である．
(2) 各 x ∈ X に対し，固定部分群 Gx は G の部分群である．
証明.
(1) 関係 〜 が同値関係であれば，G 軌道 G ・ x が 〜 に関する x の同値類であることは定義から明らかである．
よって，〜 が同値関係であること，つまり，反射律，対称律，推移律を満たすことをチェックすればよい．
略

つづく