純粋・応用数学（含むガロア理論）6

現代数学の系譜雑談

>>301
つづき

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代数学 I 第 12 回講義資料
11.1 群の作用
定義 11.1
群 G と集合X に対し，X 上の G の作用 (action of G on X)*1とは，写像
ψ: G × X → X, (g, x) → ψ(g, x)
であって，次の 2 条件を満たすもののことを言う．
(1) 任意の x ∈ X に対し，ψ(e, x) = x．ただし，e は G の単位元．
(2) 任意の g, h ∈ G, x ∈ X に対し，ψ(gh, x) = ψ(g, ψ(h, x))．この条件は以下の図式で表される．
図略
作用の定義条件は ψ(g, x) を単に g ・ x と書くことにすると以下のように見やすくなる．以下ではこの記号
をしばしば用いる．(群の二項演算と混乱しないように．)
(1)′ 任意の x ∈ X に対し，e ・ x = x．
(2)′ 任意の g, h ∈ G, x ∈ X に対し，gh ・ x = g ・ (h ・ x).

例 2. 例 1 は次のように一般化できる．X を任意の空でない集合とする．第 5 回講義資料例 1 で考えた，X
から X への全単射写像全体のなす群
B(X) := {f : X → X | f は全単射 }
を考える．ここで，二項演算は写像の合成 ◯，単位元は X 上の恒等写像 idX であった．さらに，n 次対称群
Sn の定義は X を {1, 2, . . . , n} としたときの B(X) = B({1, 2, . . . , n}) であったということを思い出してお
こう (第 5 回講義資料例 2)*2．このため，上の B(X) という群は対称群の一般化と思うことができる．
さて，写像 ψ を
ψ: B(X) × X → X, (f, x) → f ・ x := f(x)
とすると，これは X 上の B(X) の作用を定める．これは例 1 の一般化であり，作用であることのチェックは
例 1 と全く同様である．

例 6. G を群とし，e をその単位元とする．このとき，二項演算の写像
ψL : G × G → G, (g, h) → gh
は集合 G 上の群 G の作用を定めているとも考えられる (G × G の左側の G が群と思う方)．実際，以下のよ
うに作用であることが確かめられる．
(1) 任意の g ∈ G に対し，ψL(e, g) = eg = g．
(2) 任意の g1, g2, h ∈ G に対し，ψL(g1g2, h) = (g1g2)h = g1(g2h) = ψL(g1, ψL(g2, h)) (群の二項演算の結
合法則).

つづく