純粋・応用数学（含むガロア理論）6

298 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/02(土) 00:03:53.58 ID:k00K5jWz.net

>>297
つづき

命題 9.3
Φ: G → G′ を準同型とする．このとき，以下が成立する：
(1) Im Φ は G′ の部分群．
(2) Ker Φ は G の正規部分群．
証明.
(1) 定義より Im Φ の元は Φ(g) (g ∈ G) の形で書けるものであったので，Im Φ は明らかに空ではない．次に，
任意の Φ(g1), Φ(g2) ∈ Im Φ に対し，準同型の性質から，
Φ(g1)Φ(g2) = Φ(g1g2) ∈ Im Φ.
また，任意の Φ(g) ∈ Im Φ に対し，命題 9.2 (2) から，
Φ(g)-1 = Φ(g-1) ∈ Im Φ.
よって，Im Φ は二項演算と逆元を取る操作について閉じているので，Im Φ は G′ の部分群である．
(2) G の単位元を e，G′ の単位元を e′ とする．命題 9.2 (1) より，Φ(e) = e′ なので，e ∈ Ker Φ となり，特に
Ker Φ は空ではない．次に，任意の g1, g2 ∈ Ker Φ に対し，準同型の性質から，
Φ(g1g2) = Φ(g1)Φ(g2) = e′e′ = e′
より，g1g2 ∈ Ker Φ．また，任意の g ∈ Ker Φ に対し，命題 9.2 (2) から，
Φ(g-1) = Φ(g)-1 = (e′)-1 = e′より，g-1 ∈ Ker Φ．よって，Ker Φ は二項演算と逆元を取る操作について閉じているので，
Ker Φ は G の部分群である．
次に正規性を確かめる．任意の g ∈ G, k ∈ Ker Φ に対し，
Φ(gkg-1) = Φ(g)Φ(k)Φ(g-1) = Φ(g)e′Φ(g-1) = Φ(g)Φ(g-1) = Φ(gg-1) = Φ(e) = e′
(命題 9.2(1))
となるので，gkg-1 ∈ Ker Φ．よって，第 9 回講義資料命題 8.2 より，Ker Φ は正規部分群．

つづく