純粋・応用数学（含むガロア理論）6

294 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/02(土) 00:02:13.71 ID:k00K5jWz.net

>>293
つづき

P12
代数学 I 第 4 回講義資料
3.1 群と部分群
定義 3.1
空でない集合 G にある写像
・: G × G → G, (g1, g2) → g1 ・ g2
(二項演算と呼ばれる) が与えられていて，以下の 3 条件を満たすとき，G を群 (group) であるという:
(I) 任意の g1, g2, g3 ∈ G に対して，(g1 ・ g2) ・ g3 = g1 ・ (g2 ・ g3) が成り立つ. (結合法則)
(II) ある e ∈ G が存在して，任意の g ∈ G に対し，e ・ g = g = g ・ e が成り立つ. (この e を G の単位
元と呼ぶ. )
(III) 任意の g ∈ G に対して，ある g′ ∈ G が存在し，g′・ g = e = g ・ g′ が成り立つ.
(この g′ を G における g の逆元と呼ぶ．以下でも用いるが，g-1 と書かれることが多い．)
さらに，G の二項演算 ・ が
(IV) 任意の g, h ∈ G に対し，g ・ h = h ・ g
を満たすとき，G を可換群 (commutative group) 又はアーベル群 (abelian group) という．
定義 3.2
群 G の部分群とは，群 G の空でない部分集合であって，G の二項演算によって群をなすものである.

つづく