純粋・応用数学（含むガロア理論）6

291 ：現代数学の系譜 雑談 ：2021/01/02(土) 00:00:31.90 ID:k00K5jWz.net

>>290
つづき

５．最後に英文情報で、下記のmathoverflow 質問で、Infinite subgroups with finite index 　があって、やはり英語圏でも、無限群の定理として意識されているみたい
　　なお、"This is a somewhat tautological answer, but: if you can show that the subgroup contains the kernel of a finite representation (i.e. a homomorphism to a finite group), you're done. Intuitively: "I only need a finite number of things to go my way in order to belong to this subgroup."
　If the group (or some representation of that group) is compact in some topology, and the subgroup contains the connected component of the identity (or an open neighbourhood of the identity), you're also done.
　answered Oct 26 '09 at 16:08
　Terry Tao”とか出ていました。（例のテレンス タオ氏です）
　ご参考まで。（この手の”Infinite subgroups with finite index ”の質問は、何度も繰返されているようですね。検索で複数ヒットします）
　テレンス タオの後の解答に、”1) Find an action of G on a finite set X and an element x∈X such that H is the stabilizer of x. Then, by the Orbit-Stabilizer Theorem, G/H is isomorphic to the orbit space Gx, so is finite.”
　と出てきます。大矢 浩徳 定義 11.4 G-軌道(G-orbit) G の固定部分群 (stabilizer) と出てきます。
　要するに、群Gが、ある集合Xに作用する話
　これが、冒頭の剰余類の置換群とか、大矢 ”定理 11.3 　G が位数 n の有限群であるとき，単射準同型 Φ: G → Sn が存在する．つまり，任意の位数 n の有限群は n 次対称群のある部分群と同型になる．”
　の関連です。だから、ケーリーの定理（大矢 定理 11.3）とも繋がっている
　最初に、冒頭の１９６０年ころの東大の院試問題を紹介されたときは、不勉強で意味分からなかったけど、そういうことですね

つづく