純粋・応用数学（含むガロア理論）6

現代数学の系譜雑談

>>288
つづき

　４）また、龍氏の動画6分40秒くらいで、同値類G/H={g1H,g2H,・・・,gsH}でsを使った説明をしているが、G/H={g1H,g2H,・・・,gn-1H,H}とHを書いておくのがテクニックとして綺麗でしょう
　　あと、板書でsの定義がないけど（口頭説明はある）書いておくべき。例えば「問題の有限指数をn(動画ではs）とする」みたく。あとで、対称群の話が出るのでnを使うのが良い
　　{g1H,g2H,・・・,gn-1H,H}に、∀g∈ H を作用させると、{g1H,g2H,・・・,gn-1H,H}のｎ個の要素の”置換群”になる。（動画では”置換”で放り出しているが、これはまずい）
　　群の置換作用 g∈ G として左からgをかけて、 g{g1H,g2H,・・・,gn-1H,H} →{gg1H,gg2H,・・・,ggn-1H,gH}を考えると置換群になる（結合則、単位元（恒等置換）、逆元の存在を確認する）
　　この置換群をG’とすると、明らかにn次の対称群Snの部分群である。つまり、G’⊆Sn
　　従って、G’の位数をmとすると、mはn!の約数である（これは書くべき）
　５）群準同型 Φ：G→G’を考える。任意の g1, g2 ∈ G に対して，Φ(g1g2) = Φ(g1)Φ(g2)を満たす写像である
　　G’の単位元（恒等置換）の逆像 ker Φ ＝Φ-1(e)が、Gの正規部分群になる（まず群になることをいう（結合則、単位元、逆元）。次に、ker Φ＝Nとして、"gNg-1=N"を示す。
　　Φ(gNg-1)=Φ(g)Φ(N)Φ(g-1)＝Φ(g)・e・Φ(g)-1＝e'だから、gNg-1は単位元e'の逆像であり、Nである）
　６）H⊇Nである（要証明（動画にもある））（但し時間が無ければ、”H⊇N”省けるでしょう。触れなくても可）
　　正規部分群Nを使って、商群G/Nを考える。Hのとき同様に、Nによる剰余類を考えることができる。
　　第 1 同型定理（証明は下記大矢など）より、G/N≡G’（＝Im Φ）（同型）であり、G’の位数がmだから、NのGに対する指数はmで有限である。よって、問題の命題は示された。QED

つづく